基于Mumford-Shah模型的圖像處理

李浩，畢翔，豆?jié)申?/p>

(中國傳媒大學 理學院，北京 100024)

基于Mumford-Shah模型的圖像處理

李浩，畢翔，豆?jié)申?/p>

(中國傳媒大學 理學院，北京 100024)

講述了偏微分方程的基礎數(shù)學理論，諸如：梯度、散度、變分定理、歐拉-拉格朗日方程等知識；然后重點介紹了Mumford-Shah模型及Ambrosio-Tortorelli的近似求解，最后進行了數(shù)值試驗并展開分析。

數(shù)字圖像；偏微分方程方法；變分定理；Mumford-Shah模型

1 數(shù)字圖像

我們處在圖像的世界里，圖像是客觀事物在人眼中的表現(xiàn)，可以幫助人們理解外部事物的變化。由于圖像的重要性日益凸顯，數(shù)字圖像處理應運而生。數(shù)字圖像處理是指通過計算機對圖像的處理和加工，使人們得到重要的信息。在最初，圖像處理主要在天文、軍事、醫(yī)學等實際方面應用，這也是數(shù)字圖像處理發(fā)展的源頭。隨著社會的發(fā)展，尤其是人們邁入了信息社會，圖像的產(chǎn)生來源成爆炸式增長，數(shù)字圖像處理更得到了飛速的發(fā)展。隨處可見的智能手機、平板電腦、數(shù)碼相機等設備都應用了數(shù)字圖像處理技術。隨著圖像處理和其他科學研究的不斷發(fā)展并由此產(chǎn)生出更加吸引人的領域，如人工智能、機器視覺、機器學習等。

數(shù)字圖像處理主要包括圖像去噪、圖像增強、圖像壓縮、圖像恢復、圖像分割等，這些圖像處理技術又稱為低層的圖像處理技術。但正是這些低層的處理技術制約著計算機視覺等領域的發(fā)展，所以對于低層處理技術的研究得到國際上的廣泛關注。圖像處理發(fā)展至今已經(jīng)產(chǎn)生了很多的分支，主要為三種：隨機過程建模、小波理論、偏微分方程方法(簡稱PDE方法)[1]。近年來，PDE方法處理圖像問題得到了飛速的發(fā)展，諸如熟知的P-M模型、ROF模型、C-V模型以及本文討論的Mumford-Shah模型等。PDE作為一門基礎的數(shù)學學科，理論較為復雜，對于非數(shù)學背景的研究人員來說理解較為困難。但不可否認的是，PDE處理圖像問題的一個優(yōu)勢在于：有嚴謹?shù)臄?shù)學理論做基礎。我們可以把具體的圖像處理問題抽象為數(shù)學模型，用穩(wěn)定的、成熟的數(shù)值計算方法求解。在講述模型之前，先了解一些PDE處理圖像問題的數(shù)學理論基礎。

2 數(shù)學理論基礎

PDE圖像處理涉及到的知識有平面微分幾何、變分學、數(shù)學物理方程、計算方法等，由于變分學、偏微分方程數(shù)值解等知識都可以分別的當做獨立的數(shù)學知識，所以在這里都不會進行詳盡的討論，重點放在了之后的圖像處理模型上面，這里只是簡要闡述這些知識。

2.1 梯度與散度

原圖像F 梯度分量Fx 梯度分量Fy 梯度模|▽F|圖1 原圖像及其梯度分量和梯度模圖像

2.2 變分問題

對泛函求極值的問題稱為變分問題，得到的解即為變分問題的解，也稱為極值點，這里就與一般空間上的函數(shù)求極值問題所對應上了，所不同的就是求解方法問題，這也是變分學所研究的內(nèi)容，下面引入變分定理。

定理1變分定理

有泛函：

F(u)=∫Cφ(x，y，u(x，y)，ux(x，y)，uy(x，y))dC

(1)

它的極值必滿足以下的方程：

(2)

稱為泛函F(u)的歐拉-拉格朗日方程。

2.3 梯度下降法求解變分問題

直接求解歐拉-拉格朗日方程十分困難，我們求得的解很多時候也不是解析解，最常用的方法就是梯度下降迭代法。梯度下降法的基本原則簡要說是：某函數(shù)從初始位置u0出發(fā)，沿著其負梯度方向進行搜索，最終達到函數(shù)的局部極小值點。上述變分定理中，(2)式可以看做是(1)式的求梯度，故由梯度下降法，求解歐拉-拉格朗日方程極值點的方法可以寫為：

(3)

3 Mumford-Shah模型及其求解

3.1Mumford-Shah模型

在圖像分割的任務中，我們要求分割出圖像中的同性質(zhì)的區(qū)域，劃分出圖像的組成部分，提取信息。而圖像恢復中，我們要求得光滑圖像，更好的復原圖像的原本面貌。在1985，Mumford-Shah提出了以他們名字命名的模型Mumford-Shah模型[3]，即M-S模型，此模型能同時完成圖像分割和圖像恢復的任務。

M-S模型是一種能量極小化泛函，函數(shù)u：→R，是有界開區(qū)域，不連續(xù)邊界集K?。

minF(u，K)=∫(u-g)2dx+p∫|▽u|2dx+τ∮Kds

(4)

F(u，K)中u表示要求得的圖像，K表示求得的邊界集，g是初始的圖像，一般為帶噪聲的圖像，p與τ為正整數(shù)參數(shù)。在M-S極小化泛函中，第一積分項為保真項，這使得求得的新圖像與初始圖像最接近；第二積分項使得解到的新圖像在不連續(xù)的集合外盡可能的光滑；第三積分項使得不連續(xù)的邊界集合的長度最小。在這三個積分項的約束下，就可以得到原圖像的光滑圖像和分割圖像。

3.2 Ambrosio-Tortorelli近似模型

在(4)式中的第三積分項是不連續(xù)的點集K的Hausdroff測度的幾何項，而K的離散化非常復雜，由于該項的存在，使得M-S模型求解非常麻煩[1]。一般的求解方法是在sobloev空間尋找正則泛函序列Fδ來逼近F(u，K)，這里討論的就是Ambrosio-Tortorelli提出的橢圓逼近方法。所謂的橢圓逼近方法就是不去直接離散化M-S模型，而是通過求取它的橢圓逼近來近似求解M-S模型的解。Ambrosio-Tortorelli提出的方法為[4]：

minF(u，v)=∫(u-g)2dx+p∫|▽u|2dx+τ∫(ε|▽

(5)

下面開始對(5)式進行求解，我們需要用到歐拉-拉格朗日方程式(2)，得：

即：

(8)

在上式中，為了使梯度下降格式更加穩(wěn)定我們分別加入了系數(shù)θu、θv?，F(xiàn)在需要用有限差分方法來離散求解(8)式，并應用的是高斯-賽德爾迭代[5]。我們規(guī)定區(qū)域是一個(0，m)×(0，n)的矩形區(qū)域，讓xi=ih，yj=jh是區(qū)域里步長為h的離散格式。

規(guī)定：

ui，j→u(xi，yj)，vi，j→v(xi，yj)，gi，j→g(xi，yj)

△u→(ui+1，j+ui-1，j+ui，j+1+ui，j-1)/(h2)；

對于vi，j也是同樣的離散方法。

(8)式可變?yōu)椋?/p>

在開始迭代之前，ui，j是給定的初始圖像gi，j，vi，j中的值全部為1。

3.3 數(shù)值試驗

通過調(diào)節(jié)ρ，τ，ε這些系數(shù)，可以達到對大多數(shù)圖像的分割和去噪，SNR曲線和分割效果如下所示，SNR曲線中第一步是初始圖像的信噪比，第二步是第一次迭代的信噪比，如此類推。

下面令ρ=0.008，τ=1，ε=0.015，分別對lena圖像和man圖像處理。

初始圖像 去噪圖像 嗓聲圖像 分割圖像圖2 lena圖像處理結(jié)果

圖3 去噪的lena圖像snr曲線

初始圖像 去噪圖像 嗓聲圖像 分割圖像圖4 man圖像處理結(jié)果

圖5 去噪的man圖像snr曲線

圖2和圖4表明：對不同的圖像進行試驗得到的結(jié)果，匯總了分割效果圖和去噪效果圖，圖3和圖4是關于這兩幅圖像的去噪的SNR曲線示意圖，橫軸表示了迭代次數(shù)，縱軸表示了SNR大小。由以上4幅圖像可以看出，在上述的系數(shù)確定的情況下，迭代次數(shù)在6次之后，圖像的結(jié)構趨于平穩(wěn)，得到了這兩個解：分割圖像和去噪圖像。同樣也試了一些其他的灰度圖像，如：pepper圖像和grid圖像，圖6、圖7為實驗結(jié)果。

初始圖像 去噪圖像 嗓聲圖像 分割圖像圖6 pepper圖像處理結(jié)果

初始圖像 去噪圖像 嗓聲圖像 分割圖像圖7 grid圖像處理結(jié)果

4 總結(jié)

本文在對數(shù)學基礎理論討論的基礎上，對PDE圖像處理的模型Mumford-Shah泛函進行闡述，讓讀者有了大致的了解，并知道了在M-S模型中不連續(xù)邊界點集在離散化方面十分困難，所以接著討論了Ambrosio-Tortorelli提出用橢圓型方程近似代替M-S模型的方法，利用歐拉-朗格朗日方程和梯度下降流來實現(xiàn)方程的求解，并用有限差分法來離散，最后用Matlab進行了數(shù)值實驗。由以上實驗可見，本文討論的方法可以說是雙變量系統(tǒng)，在變分引理的條件下進行求解，得到了兩個“最優(yōu)解”，即：去噪圖像和分割圖像，在這個情況下，調(diào)節(jié)各個系數(shù)的取值可以得到更優(yōu)的結(jié)果。由此可見，PDE圖像處理的方法是十分清晰的，理論的證明也是十分的嚴謹，在實現(xiàn)上也比較簡單，并且對許多的圖像都有很好的處理效果。

[1]朱才志.基于偏微分方程的數(shù)字圖象處理的研究[D].合肥：中國科學技術大學論文集，2007.

[2]Alfonso Vitti.The Mumford-Shah variational model for image segmentation：An overview of the theory，implementation and use[J].Journal of Photogrammetry and Remote Sensing(ISPRS)，2012，69(3)：50-64.

[3]Mumford D，Shah J.Optimal approximation by piecewise smooth functions and associated variational problem[J].Comm Pure Appl Math，1989，42(5)：577-685.

[4]Ambrosio L，Tortorelli V.Approximation of functionals depending on jumps by elliptic functionals via C-convergence[J].Communications on Pure and Applied Mathematics，1990，43 (8)：999-1036.

[5]Antonin Chambollet.Image segmentation by variational methods：mumford and shah functional and the discrete approximations[J].Society for Industrial and Applied Mathematics，1995，55(3)：827-863.

(責任編輯：王謙)

The Image Processing Based on Mumford-Shah Model

LI Hao，BI Xiang，DOU Ze-yang

(School of Science，Communication University of China，Beijing 100024，China)

this paper introduces some mathematic theories，such as gradient，divergence，variational theorem，the Euler-Lagrange equation and so on.Then we discuss the Mumford-Shah model and its approximation，named Ambrosio-Tortorelli model.At last we implement the model and analysis the result.

digital image；partial differential equation；variational theorem；Mumford-Shah model

2015-04-12

李浩(1990-)，男(漢族)，山東濟寧人，中國傳媒大學碩士研究生.E-mail：imagelihao@163.com

O24

A

1673-4793(2015)06-0056-07