關(guān)于Euler函數(shù)一個方程的正整數(shù)解

張四保，劉啟寬

（1.喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，新疆喀什844008；2.昆明學(xué)院數(shù)學(xué)系，云南昆明650214）

關(guān)于Euler函數(shù)一個方程的正整數(shù)解

張四保1，劉啟寬2

（1.喀什大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，新疆喀什844008；2.昆明學(xué)院數(shù)學(xué)系，云南昆明650214）

研究了方程φ（abc）＝6（φ（a）＋φ（b）＋φ（c））的可解性問題，利用初等方法給出了該方程所有的204組正整數(shù)解，其中φ（n）為Euler函數(shù).

Euler函數(shù)；不定方程；正整數(shù)解

0 引言

不定方程是數(shù)論中的一個重要內(nèi)容，其研究范圍十分廣泛，如文獻(xiàn)［1］就研究了一類方程的正整數(shù)解問題.Euler函數(shù)φ（n）的值等于序列0，1，2，…，n－1中與n互素的整數(shù)的個數(shù).關(guān)于φ（n）方程的研究是初等數(shù)論中非常有意義的課題［2］.文獻(xiàn)［3-4］討論了φ（φ（n））＝2ω（n）的可解性問題；文獻(xiàn)［5］探討了φ（x1…xk）＝φ（x1）＋…＋φ（xk）的可解性；文獻(xiàn)［6］探討了φ（n2）＝2ω（n2）的可解性；文獻(xiàn)［7］探討了φ（x）＝S（x3）的可解性，其中S（x）為Smarandache函數(shù)；文獻(xiàn)［8］運用初等方法討論了方程φ（n）的可解性；文獻(xiàn)［9］討論了方程φ（abc）＝2（φ（a）＋φ（b）＋φ（c））的可解性，并給出其全部正整數(shù)解.本文將討論方程φ（abc）＝6（φ（a）＋φ（b）＋φ（c））的可解性，給出了如下結(jié)論：

定理 不定方程

有正整數(shù)解（a，b，c）＝（49，1，7），（98，1，7），（49，1，14），（49，2，7），（15，3，3），（24，3，3），（30，3，3），（26，3，4），（28，3，4），（12，3，4），（6，3，6），（8，3，6），（10，3，6），（15，3，6），（26，4，3），（28，4，3），（12，4，3），（13，4，4），（21，4，4），（13，4，6），（6，6，3），（8，6，3），（10，6，3），（15，6，3），（13，6，4），（5，6，6），（3，6，6），（49，7，1），（98，7，1），（49，7，2），（49，14，1），（19，3，5），（38，3，5），（9，3，5），（18，3，5），（19，3，10），（9，3，10），（6，3，10），（19，3，8），（9，3，8），（6，3，8），（7，3，12），（4，3，12），（19，4，5），（27，4，5），（3，4，12），（19，6，5），（9，6，5），（6，6，5），（3，6，10），（3，6，8），（19，5，3），（38，5，3），（9，5，3），（18，5，3），（19，10，3），（9，10，3），（6，10，3），（19，8，3），（9，8，3），（6，8，3），（7，12，3），（4，12，3），（19，5，4），（27，5，4），（3，12，4），（19，5，6），（9，5，6），（6，5，6），（3，10，6），（3，8，6），（20，3，7），（16，3，7），（7，3，7），（14，3，7），（12，3，7），（5，3，9），（10，3，9），（8，3，9），（7，3，14），（5，3，18），（15，4，7），（9，4，7），（7，4，9），（7，6，7），（5，6，9），（20，7，3），（16，7，3），（7，7，3），（14，7，3），（12，7，3），（5，9，3），（10，9，3），（8，9，3），（7，14，3），（5，18，3），（15，7，4），（9，7，4），（7，9，4），（7，7，6），（5，9，6），（7，3，20），（7，3，16），（3，3，15），（3，3，24），（3，3，30），（3，6，15），（6，3，15），（7，20，3），（7，16，3），（3，15，3），（3，24，3），（3，30，3），（3，15，6），（6，15，3），（3，4，26），（4，3，26），（3，4，28），（4，3，28），（4，4，13），（4，4，21），（4，6，13），（6，4，13），（3，26，4），（4，26，3），（3，28，4），（4，28，3），（4，13，4），（4，21，4），（4，13，6），（6，13，4），（3，5，9），（3，10，9），（3，5，18），（3，8，9），（3，12，7），（6，5，9），（3，9，5），（3，9，10），（3，18，5），（3，9，8），（3，7，12），（6，9，5），（1，7，49），（1，7，98），（1，14，49），（2，7，49），（1，49，7），（1，98，7），（1，49，14），（2，49，7），（3，5，19），（3，5，38），（3，19，5），（3，38，5），（4，5，19），（4，5，27），（4，19，5），（4，27，5），（6，5，19），（6，19，5），（3，8，19），（3，19，8），（3，10，19），（3，19，10），（3，7，7），（3，7，14），（3，14，7），（4，7，7），（6，7，7），（4，7，9），（4，9，7），（3，7，20），（3，20，7），（3，7，16），（3，16，7），（4，7，15），（4，15，7），（5，3，19），（5，3，38），（5，19，3），（5，38，3），（5，4，19），（5，4，27），（5，19，4），（5，27，4），（5，6，19），（5，19，6），（8，3，19），（8，19，3），（10，3，19），（10，19，3），（7，1，49），（7，1，98），（14，1，49），（7，2，49），（7，49，1），（7，98，1），（14，49，1），（7，49，2），（7，7，4），（7，4，7），（7，4，15），（7，15，4）.

1 主要引理

引理1［10］對任意正整數(shù)n與m

引理2［10］當(dāng)n≥2是整數(shù)時，φ（n）＜n；當(dāng)n≥3是整數(shù)時，φ（n）為偶數(shù).

引理3［9］對任意正整數(shù)n，p為素數(shù)，若（n，p）＝1，則φ（np）＝（p－1）φ（n）；若（n，p）＝p，則φ（np）＝pφ（n）.

引理4［11］方程φ（x）＝2P的解x為：當(dāng)P＝2時，x＝5，8，10，12.當(dāng)P＝3時，x＝7，9，14，18.當(dāng)P≥5時，若g＝2P＋1為素數(shù)，則方程φ（x）＝2P有兩個解x＝g，2g；若g＝2P＋1不為素數(shù)，則方程φ（x）＝2P無正整數(shù)解.

引理5［11］（1）當(dāng)q＝2p＋1，且2pq＋1為素數(shù)時，方程φ（x）＝2pq的解為x＝q，q2，2pq＋1，2（2pq＋1）；（2）當(dāng)q＝2p＋1，但2pq＋1不為素數(shù)時，方程φ（x）＝2pq的解為x＝q，2q2；（3）當(dāng)q≠2p＋1，但2pq＋1為素數(shù)時，方程φ（x）＝2pq的解為x＝2pq＋1，2（2pq＋1）；（4）其他情形，方程φ（x）＝2pq無解，其中p，q是滿足q＞p＞2的素數(shù).

2 定理證明

由于φ（abc）＝6（φ（a）＋φ（b）＋φ（c）），則有

從而有

即

下面將φ（b）φ（c）值分兩種情況分別加以討論：

情況1 φ（b）φ（c）≤6.

當(dāng)φ（b）φ（c）≤6時，有（b，c）＝（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（1，7），（1，8），（1，9），（1，10），（1，12），（1，14），（1，18），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（2，7），（2，8），（2，9），（2，10），（2，12），（2，14），（2，18），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，6），（5，1），（5，2），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，6），（7，1），（7，2），（8，1），（8，2），（9，1），（9，2），（10，1），（10，2），（12，1），（12，2），（14，1），（14，2），（18，1），（18，2）.

將以上（b，c）的可能值代入方程（1），結(jié)合以上所給的引理可得，方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（49，1，7），（98，1，7），（49，1，14），（49，2，7），（15，3，3），（24，3，3），（30，3，3），（26，3，4），（28，3，4），（12，3，4），（6，3，6），（8，3，6），（10，3，6），（15，3，6），（26，4，3），（28，4，3），（12，4，3），（13，4，4），（21，4，4），（13，4，6），（6，6，3），（8，6，3），（10，6，3），（15，6，3），（13，6，4），（5，6，6），（3，6，6），（49，7，1），（98，7，1），（49，7，2），（49，14，1）.

情況2 φ（b）φ（c）＞6.

情況2.1 當(dāng)φ（b）φ（c）＝8時，有：φ（b）＝1，φ（c）＝8或φ（b）＝2，φ（c）＝4或φ（b）＝4，φ（c）＝2或φ（b）＝8，φ（c）＝1.

當(dāng)φ（b）＝1，φ（c）＝8時，有b＝1，2；c＝15，16，20，24，30.此時，當(dāng)（b，c）＝（1，15）時，有φ（15a）＝6φ（a）＋54.而當(dāng)（a，15）＝1時，φ（15a）＝8φ（a）；當(dāng)（a，15）＝3時，φ（15a）＝12φ（a）；當(dāng)（a，15）＝5時，φ（15a）＝10φ（a）；當(dāng)（a，15）＝15時，φ（15a）＝15φ（a）.因而，方程（1）無正整數(shù)解.仿（b，c）＝（1，15）的討論可得，對于b與c的所有組合，方程（1）無正整數(shù)解.由此可知，當(dāng)φ（b）＝1，φ（c）＝8與φ（b）＝8，φ（c）＝1時，方程（1）無正整數(shù)解.

當(dāng)φ（b）＝2，φ（c）＝4時，有：b＝3，4，6；c＝5，10，8，12.此時，當(dāng)（b，c）＝（3，5）時，方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（19，3，5），（38，3，5），（9，3，5），（18，3，5）；當(dāng)（b，c）＝（3，10）時，方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（19，3，10），（9，3，10），（6，3，10）；當(dāng)（b，c）＝（3，8）時，方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（19，3，8），（9，3，8），（6，3，8）；當(dāng)（b，c）＝（3，12）時，方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（7，3，12），（4，3，12）；當(dāng)（b，c）＝（4，5）時，方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（19，4，5），（27，4，5）；當(dāng)（b，c）＝（4，12）時，方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（3，4，12）；當(dāng)（b，c）＝（6，5）時，方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（19，6，5），（9，6，5），（6，6，5）；當(dāng)（b，c）＝（6，10）時，方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（3，6，10）；當(dāng)（b，c）＝（6，8）時，方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（3，6，8）；而其余情況均無正整數(shù)解.

由此可得，當(dāng)φ（b）＝4，φ（c）＝2時，方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（19，5，3），（38，5，3），（9，5，3），（18，5，3），（19，10，3），（9，10，3），（6，10，3），（19，8，3），（9，8，3），（6，8，3），（7，12，3），（4，12，3），（19，5，4），（27，5，4），（3，12，4），（19，5，6），（9，5，6），（6，5，6），（3，10，6），（3，8，6）.

情況2.2 當(dāng)φ（b）φ（c）＝10時，有φ（b）＝1，φ（c）＝10或φ（b）＝10，φ（c）＝1.

當(dāng)φ（b）＝1，φ（c）＝10時，有：b＝1，2；c＝11，22.仿φ（b）φ（c）＝8情況的討論可得，此時方程（1）無正整數(shù)解.從而，當(dāng)φ（b）φ（c）＝10時，方程（1）無正整數(shù)解.

情況2.3 當(dāng)φ（b）φ（c）＝12時，有φ（b）＝1，φ（c）＝12或φ（b）＝2，φ（c）＝6或φ（b）＝6，φ（c）＝2或φ（b）＝12，φ（c）＝1.

當(dāng)φ（b）＝1，φ（c）＝12時，有：b＝1，2；c＝13，21，26，28，36，42.此時，方程（1）無正整數(shù)解.

當(dāng)φ（b）＝2，φ（c）＝6時，有：b＝3，4，6；c＝7，9，14，18.此時，當(dāng)（b，c）＝（3，7）時，方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（20，3，7），（16，3，7），（7，3，7），（14，3，7），（12，3，7）；當(dāng)（b，c）＝（3，9）時，方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（5，3，9），（10，3，9），（8，3，9）；當(dāng)（b，c）＝（3，14）時，方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（7，3，14）；當(dāng)（b，c）＝（3，18）時，方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（5，3，18）；當(dāng)（b，c）＝（4，7）時，方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（15，4，7），（9，4，7）；當(dāng)（b，c）＝（4，9）時，方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（7，4，9）；當(dāng)（b，c）＝（6，7）時，方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（7，6，7）；當(dāng)（b，c）＝（6，9）時，方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（5，6，9）；而其余情況均無正整數(shù)解.

從而，此時方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（20，3，7），（16，3，7），（7，3，7），（14，3，7），（12，3，7），（5，3，9），（10，3，9），（8，3，9），（7，3，14），（5，3，18），（15，4，7），（9，4，7），（7，4，9），（7，6，7），（5，6，9），（20，7，3），（16，7，3），（7，7，3），（14，7，3），（12，7，3），（5，9，3），（10，9，3），（8，9，3），（7，14，3），（5，18，3），（15，7，4），（9，7，4），（7，9，4），（7，7，6），（5，9，6）.

情況2.4 當(dāng)φ（b）φ（c）＝14時，有φ（b）＝1，φ（c）＝14或φ（b）＝14，φ（c）＝1.

根據(jù)引理4可知，φ（b）＝14無正整數(shù)解，因而，此時方程（1）無正整數(shù)解.

情況2.5 當(dāng)φ（b）φ（c）＝16時，有φ（b）＝1，φ（c）＝16或φ（b）＝2，φ（c）＝8或φ（b）＝4，φ（c）＝4或φ（b）＝8，φ（c）＝2或φ（b）＝16，φ（c）＝1.

當(dāng)φ（b）＝1，φ（c）＝16時，有：b＝1，2；c＝17，34，60，40，32，48.此時，方程（1）無正整數(shù)解.

當(dāng)φ（b）＝2，φ（c）＝8時，有：b＝3，4，6；c＝15，30，20，16，24.此時，方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（7，3，20），（7，3，16），（3，3，15），（3，3，24），（3，3，30），（3，6，15），（6，3，15）.

因而，此時方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（7，3，20），（7，3，16），（3，3，15），（3，3，24），（3，3，30），（3，6，15），（6，3，15），（7，20，3），（7，16，3），（3，15，3），（3，24，3），（3，30，3），（3，15，6），（6，15，3）.

當(dāng)φ（b）＝4，φ（c）＝4時，有b＝c＝5，8，10，12.此時，方程（1）無正整數(shù)解.

情況2.6 當(dāng)φ（b）φ（c）＝18時，有φ（b）＝1，φ（c）＝18或φ（b）＝18，φ（c）＝1.

當(dāng)φ（b）＝1，φ（c）＝18時，有：b＝1，2；c＝27，54，19，38.此時，方程（1）無正整數(shù)解.

情況2.7 當(dāng)φ（b）φ（c）＝20時，有φ（b）＝1，φ（c）＝20或φ（b）＝2，φ（c）＝10或φ（b）＝10，φ（c）＝2或φ（b）＝20，φ（c）＝1.經(jīng)計算可知，此時方程（1）無正整數(shù)解.

情況2.8 當(dāng)φ（b）φ（c）＝22時，有φ（b）＝1，φ（c）＝22或φ（b）＝22，φ（c）＝1.

當(dāng)φ（b）＝1，φ（c）＝22時，有：b＝1，2；c＝23，46.此時，方程（1）無正整數(shù)解.

情況2.9 當(dāng)φ（b）φ（c）＝24時，有φ（b）＝1，φ（c）＝24或φ（b）＝2，φ（c）＝12或φ（b）＝4，φ（c）＝6或φ（b）＝6，φ（c）＝4或φ（b）＝12，φ（c）＝2或φ（b）＝24，φ（c）＝1.

經(jīng)計算，當(dāng)φ（b）＝1，φ（c）＝24時，方程（1）無正整數(shù)解；當(dāng)φ（b）＝2，φ（c）＝12時，方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（3，4，26），（4，3，26），（3，4，28），（4，3，28），（4，4，13），（4，4，21），（4，6，13），（6，4，13）；當(dāng)φ（b）＝4，φ（c）＝6時，方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（3，5，9），（3，10，9），（3，5，18），（3，8，9），（3，12，7），（6，5，9）.

因而，此時方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（3，4，26），（4，3，26），（3，4，28），（4，3，28），（4，4，13），（4，4，21），（4，6，13），（6，4，13），（3，26，4），（4，26，3），（3，28，4），（4，28，3），（4，13，4），（4，21，4），（4，13，6），（6，13，4），（3，5，9），（3，10，9），（3，5，18），（3，8，9），（3，12，7），（6，5，9），（3，9，5），（3，9，10），（3，18，5），（3，9，8），（3，7，12），（6，9，5）.

情況2.10 當(dāng)φ（b）φ（c）＝26時，有φ（b）＝1，φ（c）＝26或φ（b）＝26，φ（c）＝1.

由引理4可知，φ（c）＝26無正整數(shù)解，因而此時，方程（1）無正整數(shù)解.

情況2.11 當(dāng)φ（b）φ（c）≥28時，由于φ（b），φ（c）均為正整數(shù)，所以有（φ（b）－1）（φ（c）－1）≥0，即φ（b）φ（c）＋1≥φ（b）＋φ（c）.由方程（1）有

所以，φ（a）＝1，2，4，6.

情況2.11.1 若φ（a）＝1時，方程（1）可化為

于是有

當(dāng)（φ（b）－6）（φ（c）－6）＜0時，若φ（b）＝1，2，4，則φ（c）＞6.此時，有φ（a）＝φ（b）＝1或φ（a）＝1，φ（b）＝2或φ（a）＝1，φ（b）＝4.根據(jù)情況1中有關(guān)φ（b）φ（c）≤6的討論可知，此時方程（1）無正整數(shù)解.同理，當(dāng)φ（c）＝1，2，4和φ（a）＞6時，方程（1）無正整數(shù)解.

當(dāng)（φ（b）－6）（φ（c）－6）≥0時，此時有（φ（b）－6）（φ（c）－6）＝0，1，2，…，42.

當(dāng)（φ（b）－6）（φ（c）－6）＝0時，φ（b），φ（c）至少有一個等于6.根據(jù)情況1中有關(guān)φ（b）φ（c）≤6的討論可知，此時方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（1，7，49），（1，7，98），（1，14，49），（2，7，49），（1，49，7），（1，98，7），（1，49，14），（2，49，7）.

根據(jù)引理2可得，當(dāng)（φ（b）－6）（φ（c）－6）＝1，2，3，5，6，7，9，10，11，13，14，15，17，18，19，21，22，23，25，26，27，29，30，31，33，34，35，37，38，39，41，42時，φ（b），φ（c）中至少有一個為奇數(shù)，因而只需考慮（φ（b）－6）（φ（c）－6）＝4，8，12，16，20，24，28，32，36，40的情形.

當(dāng)（φ（b）－6）（φ（c）－6）＝4時，有φ（b）＝φ（c）＝8；當(dāng)（φ（b）－6）（φ（c）－6）＝8時，有φ（b）＝8，φ（c）＝10或φ（b）＝10，φ（c）＝8；當(dāng)（φ（b）－6）（φ（c）－6）＝12時，有φ（b）＝8，φ（c）＝12或φ（b）＝12，φ（c）＝8；當(dāng)（φ（b）－6）（φ（c）－6）＝20時，有φ（b）＝8，φ（c）＝16或φ（b）＝16，φ（c）＝8；當(dāng)（φ（b）－6）（φ（c）－6）＝24時，有φ（b）＝8，φ（c）＝18或φ（b）＝18，φ（c）＝8；當(dāng)（φ（b）－6）（φ（c）－6）＝28時，有φ（b）＝8，φ（c）＝20或φ（b）＝20，φ（c）＝8；當(dāng)（φ（b）－6）（φ（c）－6）＝32時，有φ（b）＝8，φ（c）＝22或φ（b）＝22，φ（c）＝8；當(dāng)（φ（b）－6）（φ（c）－6）＝36時，有φ（b）＝8，φ（c）＝24或φ（b）＝24，φ（c）＝8.由此可知，當(dāng)（φ（b）－6）（φ（c）－6）＝4，8，12，20，24，28，32，36時，有φ（b）＝8或φ（c）＝8，那么可以通過討論φ（a）＝1且φ（b）＝8來確定方程（1）是否有解.當(dāng)φ（a）＝1，φ（b）＝8時，有：a＝1，2；b＝15，16，20，24，30.此時，方程（1）無正整數(shù)解.

當(dāng)（φ（b）－6）（φ（c）－6）＝16時，有φ（b）＝φ（c）＝10；當(dāng)（φ（b）－6）（φ（c）－6）＝24時，有φ（b）＝10，φ（c）＝12或φ（b）＝12，φ（c）＝10；當(dāng)（φ（b）－6）（φ（c）－6）＝40時，有φ（b）＝10，φ（c）＝16或φ（b）＝16，φ（c）＝10.在這些情況中，可通過討論φ（a）＝1，φ（b）＝10的情形來確定方程（1）是否有解.當(dāng)φ（a）＝1，φ（b）＝10時，有a＝1，2；b＝11，22.此時，方程（1）無正整數(shù)解.

情況2.11.2 若φ（a）＝2時，方程（1）可化為

于是有

當(dāng)（φ（b）－3）（φ（c）－3）＜0時，若φ（b）＝1，則φ（c）≥4，此時有a＝3，4，6；b＝1，2.根據(jù)情況1中有關(guān)φ（b）φ（c）≤6的討論可知，此時方程（1）無正整數(shù)解.同理，當(dāng)φ（c）＝1，φ（b）≥4時，方程（1）無正整數(shù)解.

當(dāng)（φ（b）－3）（φ（c）－3）＝0時，φ（b），φ（c）中至少有一個等于3.由引理2可知，方程φ（b）＝3無正整數(shù)解，因而，此時方程（1）無正整數(shù)解.

當(dāng)（φ（b）－3）（φ（c）－3）＝1時，有φ（b）＝φ（c）＝4或φ（b）＝φ（c）＝2.當(dāng)φ（b）＝φ（c）＝4時，方程（1）無正整數(shù)解；當(dāng)φ（b）＝φ（c）＝2時，方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（6，3，6），（6，6，3），（3，6，6）.

當(dāng)（φ（b）－3）（φ（c）－3）＝2，4，6，8，10，12，14時，φ（b），φ（c）中至少有一個為奇數(shù)，因而此時方程（1）無正整數(shù)解，只需討論（φ（b）－3）（φ（c）－3）＝3，5，7，9，11，13，15的情形.

當(dāng)（φ（b）－3）（φ（c）－3）＝11時，有φ（b）＝4，φ（c）＝14或φ（b）＝14，φ（c）＝4.由引理4可知，方程φ（x）＝14無正整數(shù)解，因而此時方程（1）無正整數(shù)解.

除去當(dāng)（φ（b）－3）（φ（c）－3）＝9中的φ（b）＝φ（c）＝6與當(dāng)（φ（b）－3）（φ（c）－3）＝15中的φ（b）＝6，φ（c）＝8或φ（b）＝8，φ（c）＝6的情況之外，在（φ（b）－3）（φ（c）－3）＝3，5，7，9，11，13，15的情形中都有φ（x）＝4這樣的式子，結(jié)合φ（a）＝2的情況，只需討論φ（a）＝2，φ（b）＝4的情況來決定方程（1）是否有正整數(shù)解.當(dāng)φ（a）＝2，φ（b）＝4時，有a＝3，4，6；b＝5，8，10，12.因而，方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（3，5，9），（3，5，18），（3，9，5），（3，18，5），（6，5，9），（6，9，5），（3，8，9），（3，9，8），（3，5，19），（3，5，38），（3，19，5），（3，38，5），（4，5，19），（4，5，27），（4，19，5），（4，27，5），（6，5，19），（6，19，5），（3，8，19），（3，19，8），（3，10，19），（3，19，10）.

在當(dāng)（φ（b）－3）（φ（c）－3）＝9時，φ（b）＝φ（c）＝6與當(dāng)（φ（b）－3）（φ（c）－3）＝15時，φ（b）＝6，φ（c）＝8或φ（b）＝8，φ（c）＝6這些情況下，都有φ（x）＝6，結(jié)合φ（a）＝2，討論φ（a）＝2，φ（b）＝6的情況來決定方程（1）是否有正整數(shù)解.當(dāng)φ（a）＝2，φ（b）＝6時，有：a＝3，4，6；b＝7，9，14，18.因而，方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（3，7，7），（3，7，14），（3，14，7），（4，7，7），（6，7，7），（4，7，9），（4，9，7），（3，7，20），（3，20，7），（3，7，16），（3，16，7），（4，7，15），（4，15，7）.

情況2.11.3 若φ（a）＝4時，方程（1）可化為

于是有

當(dāng)（2φ（b）－3）（2φ（c）－3）＜0時，有φ（b）＝1，φ（c）≥2或φ（b）≥2，φ（c）＝1.根據(jù)情況1中有關(guān)φ（b）φ（c）≤6的討論可知，此時方程（1）無正整數(shù)解.

當(dāng)（2φ（b）－3）（2φ（c）－3）＝1時，有φ（b）＝φ（c）＝1或φ（b）＝φ（c）＝2.根據(jù)情況1中有關(guān)φ（b）φ（c）≤6的討論可知，當(dāng)φ（b）＝φ（c）＝1時，方程（1）無正整數(shù)解；而當(dāng)φ（b）＝φ（c）＝2時，方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（5，6，6），（8，3，6），（8，6，3），（10，3，6），（10，6，3），（12，3，4），（12，4，3）.

當(dāng)（2φ（b）－3）（2φ（c）－3）＝2，3，4，6，7，8，10，11，12，14，15，16，18，19，20，22，23，24，26，27，28，30，31，32時，方程（1）無正整數(shù)解.

當(dāng)（2φ（b）－3）（2φ（c）－3）＝25時，有φ（b）＝2，φ（c）＝14或φ（b）＝14，φ（c）＝2或φ（b）＝φ（c）＝4.由于方程φ（x）＝14無正整數(shù)解，因而只需討論φ（b）＝φ（c）＝4的情形.

當(dāng)（2φ（b）－3）（2φ（c）－3）＝5，9，13，17，21，29，33時，都有（b）＝2或φ（c）＝2這一關(guān)系式，結(jié)合φ（a）＝4，方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（5，3，9），（5，3，18），（5，9，3），（5，18，3），（5，6，9），（5，9，6），（8，3，9），（8，9，3），（5，3，19），（5，3，38），（5，19，3），（5，38，3），（5，4，19），（5，4，27），（5，19，4），（5，27，4），（5，6，19），（5，19，6），（8，3，19），（8，19，3），（10，3，19），（10，19，3）.

當(dāng)（2φ（b）－3）（2φ（c）－3）＝25時，有φ（b）＝φ（c）＝4.此時，方程（1）無正整數(shù)解.

情況2.11.4 若φ（a）＝6時，方程（1）可化為

于是有

當(dāng)（φ（b）－1）（φ（c）－1）＝0時，有φ（b）＝1或φ（c）＝1.根據(jù)情況1中有關(guān)φ（b）φ（c）≤6的討論可知，此時方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（7，1，49），（7，1，98），（14，1，49），（7，2，49），（7，49，1），（7，98，1），（14，49，1），（7，49，2）.

當(dāng)（φ（b）－1）（φ（c）－1）＝2，4，6時，φ（b），φ（c）中至少有一個不成立，方程（1）無正整數(shù)解.

當(dāng)（φ（b）－1）（φ（c）－1）＝1時，有φ（b）＝φ（c）＝2；當(dāng)（φ（b）－1）（φ（c）－1）＝3時，有φ（b）＝2，φ（c）＝4或φ（b）＝4，φ（c）＝2；當(dāng)（φ（b）－1）（φ（c）－1）＝5時，有φ（b）＝2，φ（c）＝6或φ（b）＝6，φ（c）＝2；當(dāng)（φ（b）－1）（φ（c）－1）＝7時，有φ（b）＝2，φ（c）＝8或φ（b）＝8，φ（c）＝2.這4種情況中都有φ（b）＝2或φ（c）＝2，結(jié)合φ（a）＝6，只需討論φ（a）＝6，φ（b）＝2.此時，有a＝7，9，14，18；b＝3，4，6.從而，方程（1）有正整數(shù)解（a，b，c）＝（9，3，5），（18，3，5），（9，5，3），（18，5，3），（9，3，8），（9，8，3），（9，3，10），（9，10，3），（7，3，12），（7，12，3），（9，5，6），（9，6，5），（7，3，7），（7，3，14），（7，7，3），（7，14，3），（7，7，4），（7，4，7），（7，7，6），（7，6，7），（14，3，7），（14，7，3），（7，3，20），（7，3，16），（7，20，3），（7，16，3），（7，4，15），（7，15，4）.

對上述正整數(shù)解進行歸納即可得本文結(jié)論.證畢.

［1］ 瞿云云，曹慧，牟全武.關(guān)于廣義Ramanujan-Nagell方程x2－D＝3n的解數(shù)［J］.東北師大學(xué)報：自然科學(xué)版，2014，46（4）：52-55.

［2］ 呂志宏.兩個數(shù)論函數(shù)及其方程［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2006，22（3）：303-306.

［3］ 呂志宏.一個包含Euler函數(shù)的方程［J］.西北大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2006，36（1）：17-20.

［4］ 田呈亮，付靜，白維祖.一個包含歐拉函數(shù)的方程［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2010，26（1）：96-98.

［5］ 左可正.含歐拉函數(shù)不定方程的可解性探討［J］.黃石理工學(xué)院學(xué)報，2008，24（2）：49-50.

［6］ 陳斌，吉宇鋒.關(guān)于一類包含Euler函數(shù)方程的解［J］.河南科學(xué)，2009，27（12）：1500-1501.

［7］ 劉艷艷.一個算術(shù)函數(shù)方程及其正整數(shù)解［J］.西安石油大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，27（2）：108-110.

［8］ 呼家源，秦偉.一個包含Smarandache Ceil函數(shù)的對偶函數(shù)及Euler函數(shù)的方程及其可解性［J］.西北大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2013，43（3）：364-366.

［9］ 孫翠芳，程智.關(guān)于方程φ（xyz）＝2（φ（x）＋φ（y）＋φ（z））［J］.數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2012，42（23）：267-271.

［10］ ROSEN K H.Elementary theory and its applications［M］.Fifth edition.NJ：Pearson Educatin，Inc，Addison Wesley，2005：225.

［11］ 姜友誼.關(guān)于Euler函數(shù)方程φ（x）＝m的解［J］.重慶工業(yè)管理學(xué)院學(xué)報，1998，12（5）：91-94.

The positive integer solutions of an equation on the Euler function

ZHANG Si-bao1，LIU Qi-kuan2
（1.School of Mathematics and Statistics，Kashgar University，Kashgar 844008，China；2.Department of Mathematics，Kunming University，Kunming 650214，China）

The main purpose of this paper is to study the solvability of the equationφ（abc）＝6（φ（a）＋φ（b）＋φ（c）），and all positive integer solutions were obtained by using the elementary method，where φ（n）is Euler function.

Euler function；diophantine equation；positive integer solutions

O 156 ［學(xué)科代碼］ 110·17

A

（責(zé)任編輯：陶 理）

1000-1832（2015）03-0049-06

10.16163／j.cnki.22-1123／n.2015.03.011

2013-10-16

四川省應(yīng)用基礎(chǔ)研究計劃項目（2010JY0079）；昆明學(xué)院引進人才科研項目（YJL12005）.

張四保（1978—），男，碩士，副教授，主要從事數(shù)論研究.