一維雙極量子流體動(dòng)力學(xué)等溫模型穩(wěn)態(tài)解的唯一性

董建偉，張又林

（1.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院數(shù)理系，河南鄭州450015；2.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院圖書(shū)館，河南鄭州450015）

一維雙極量子流體動(dòng)力學(xué)等溫模型穩(wěn)態(tài)解的唯一性

董建偉1，張又林2

（1.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院數(shù)理系，河南鄭州450015；2.鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院圖書(shū)館，河南鄭州450015）

研究一個(gè)耦合的四階橢圓方程組此方程組來(lái)源于一維半導(dǎo)體器件中雙極量子流體動(dòng)力學(xué)等溫穩(wěn)態(tài)模型.在某些條件下利用一些不等式技巧證明了此方程組解的唯一性.

量子流體動(dòng)力學(xué)模型；穩(wěn)態(tài)解；唯一性

1 主要結(jié)果

眾所周知，量子流體動(dòng)力學(xué)模型是重要的半導(dǎo)體宏觀量子模型之一.由于半導(dǎo)體器件的宏觀模型便于給出合適的物理邊界條件，也便于進(jìn)行數(shù)值模擬，所以這一類(lèi)模型是眾多數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的研究熱點(diǎn).文獻(xiàn)［1-6］研究了一種耗散的量子流體動(dòng)力學(xué)模型，即量子Navier-Stokes方程組.文獻(xiàn)［7-10］研究了一種雙極量子流體動(dòng)力學(xué)模型.由于雙極量子流體動(dòng)力學(xué)模型具有非線性、耦合性及高階性的特點(diǎn)［11］，所以其解的存在性及唯一性的研究比較困難.

文獻(xiàn)［10］在一維有界區(qū)域（0，1）上研究了雙極量子流體動(dòng)力學(xué)等溫穩(wěn)態(tài)模型解的存在性，作者通過(guò)變形把該模型轉(zhuǎn)化為一個(gè)四階橢圓方程組的混合邊值問(wèn)題：

其中：eu，ev分別表示電子濃度和空穴濃度；δ＞0表示標(biāo)度的普朗克常數(shù)；C（x）表示帶電粒子雜質(zhì)的濃度；常數(shù)j0，j1，τe，τi分別表示電子電流密度、空穴電流密度、電子動(dòng)量弛豫時(shí)間和空穴動(dòng)量弛豫時(shí)間.文獻(xiàn)［10］的主要結(jié)果是如下定理：

定理1 設(shè)C（x）∈L2（0，1，其中M1，M2分別是

和

的解，則問(wèn)題（1）—（4）存在弱解（u，v）∈H20（0，1）×H20（0，1），且

本文將證明問(wèn)題（1）—（4）解的唯一性.

定理2 設(shè)定理1中的條件成立，且j0，j1，δ，‖C（x）‖L2（0，1）充分小，使得

則問(wèn)題（1）—（4）的弱解（u，v）∈H20（0，1）×H20（0，1）是唯一的.

注1 由（5）式和（6）式可知，當(dāng)‖C（x）‖L2（0，1），j0和j1充分小時(shí)，M1，M2也會(huì)充分小，從而可使（8）式及（9）式中的

2 定理證明

由文獻(xiàn)［10］中的引理1知，若（u，v）∈H20（0，1）×H20（0，1）是問(wèn)題（1）—（4）的一個(gè)弱解，則

所以

這里（11）式中用到了M1的定義（見(jiàn)（5）式），從而再由邊界條件（3）式，H?lder不等式及Young不等式知，

同理可證

設(shè)（u1，v1），（u2，v2）∈H20（0，1）×H20（0，1）是問(wèn)題（1）—（4）的兩個(gè)弱解，用u1－u2分別作為

的試驗(yàn)函數(shù)，并兩式相減得

由（13）式及Young不等式知

由函數(shù)f（x）＝ex的單調(diào)遞增性知

所以再由微分中值定理、（7）式、Young不等式及Poincaré不等式得

其中θ∈（0，1）.由微分中值定理及（7）式，

其中θ∈（0，1）.所以再由（7）式、（13）式、H?lder不等式及Poincaré不等式知

由微分中值定理、（7）式、H?lder不等式及Poincaré不等式知

其中θ∈（0，1）.

由（15）—（19）式可得

同理，用v1－v2分別作為

的試驗(yàn)函數(shù)，且兩式相減，并進(jìn)行類(lèi)似以上的估計(jì)可得

由（20）式與（21）式兩邊相加得

所以再由條件（8）—（9）式知，u1＝u2，v1＝v2.定理2得證.

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Uniqueness of stationary solutions to 1-d isothermal bipolar quantum hydrodynamic model

DONG Jian-wei1，ZHANG You-lin2
（1.Department of Mathematics and Physics，Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management，Zhengzhou 450015，China；2.Library，Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry Management，Zhengzhou 450015，China）

The following coupled fourth-order elliptic system is studied：

The system originates from the 1-d stationary isothermal bipolar quantum hydrodynamic model for semiconductor device.The uniqueness of the solutions to the system is proved under some conditions by using some inequality techniques.

quantum hydrodynamic model；stationary solutions；uniqueness

O 175.29 ［學(xué)科代碼］ 110·4740

A

（責(zé)任編輯：陶 理）

1000-1832（2015）03-0033-04

10.16163／j.cnki.22-1123／n.2015.03.007

2014-02-25

河南省科技廳基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計(jì)劃項(xiàng)目（132300410373）；河南省教育廳科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目（12A110024）；鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院青年科研基金資助項(xiàng)目（2013111001，2014113002，2015113001）；航空科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2013ZD55006）；河南省高等學(xué)校青年骨干教師資助計(jì)劃項(xiàng)目（2013GGJS-142）.

董建偉（1980—），男，碩士，副教授，主要從事偏微分方程研究.