范德蒙矩陣的病態(tài)性與擾動(dòng)性算法研究

陳美玲等

摘 要：文章介紹和研究范德蒙矩陣的病態(tài)性并進(jìn)行擾動(dòng)性分析。將數(shù)值分析知識(shí)與Matlab軟件相結(jié)合，研究了3-20階的范德蒙矩陣的條件數(shù)隨階數(shù)增長(zhǎng)，且增長(zhǎng)越快導(dǎo)致矩陣病態(tài)性越嚴(yán)重，并進(jìn)行了曲線擬合。以條件數(shù)為基礎(chǔ)，進(jìn)一步對(duì)AX=b進(jìn)行擾動(dòng)分析，證實(shí)A和b的微小變動(dòng)，對(duì)解的影響較大。最后對(duì)以范德蒙矩陣為系數(shù)矩陣的線性方程用雅克比迭代法進(jìn)行收斂性分析，證實(shí)迭代矩陣的譜半徑都大于1，即迭代矩陣是發(fā)散的。研究矩陣擾動(dòng)和病態(tài)算法在實(shí)際科學(xué)計(jì)算中有重要作用。

關(guān)鍵詞：范德蒙矩陣；條件數(shù)；擾動(dòng)性分析；雅克比迭代；收斂性

1 范德蒙矩陣與相關(guān)概念介紹

范德蒙矩陣是法國(guó)數(shù)學(xué)家范德蒙提出的一種各列為幾何級(jí)數(shù)的矩陣[1]：

即得解向量的相對(duì)誤差與右端項(xiàng)的相對(duì)誤差、矩陣的條件數(shù)之間的關(guān)系。

2 范德蒙矩陣的病態(tài)性分析

（n為大于1的3-20階正整數(shù)），用Matlab求解其條件數(shù)[5]，探索范德蒙矩陣條件數(shù)，得到圖1：矩陣階數(shù)越大，條件數(shù)也越大，病態(tài)性越嚴(yán)重。進(jìn)一步探索條件數(shù)與矩陣階數(shù)的關(guān)系，我們對(duì)條件數(shù)作了對(duì)數(shù)擬合[6]，擬合效果如圖2所示。

由此，對(duì)條件數(shù)增長(zhǎng)率進(jìn)一步分析，由Matlab作圖3可知，隨階數(shù)增加，增長(zhǎng)率越大，當(dāng)然最后19、20階增長(zhǎng)率速度下降。

3 范德蒙矩陣擾動(dòng)分析

對(duì)于線性方程組Ax=b，在實(shí)際科學(xué)測(cè)量時(shí)，對(duì)于系數(shù)矩陣A和常數(shù)向量b都有可能存在誤差，這些誤差稱為擾動(dòng)。在科學(xué)實(shí)驗(yàn)和工科測(cè)量時(shí)，系數(shù)矩陣或則常數(shù)矩陣的一些微小變化可能會(huì)導(dǎo)致數(shù)值解的很大差距，因此我們要分析這些測(cè)量值得變化對(duì)結(jié)果的影響以及如何影響結(jié)果的?，F(xiàn)把這些擾動(dòng)分為兩種情況分析，第一種情況：系數(shù)矩陣存在擾動(dòng)，常數(shù)向量不存在擾動(dòng)。第二種情況：系數(shù)矩陣不存在擾動(dòng)，常數(shù)向量存在擾動(dòng)。

4 雅克比迭代法收斂性分析

雅克比迭代法x（k+1）=Bx（k）+g適用于解大型的且系數(shù)陣為稀疏的方程組[4]，能減少運(yùn)算次數(shù)，節(jié)約存儲(chǔ)。采用這種方法研究范德蒙矩陣A隨階數(shù)增大，矩陣的收斂性。求得迭代矩陣的譜半徑結(jié)果如圖4所示。

從上面程序可以看出Matlab的強(qiáng)大功能。僅僅只需要幾行簡(jiǎn)單的代碼就能將枯燥乏味、冗雜抽象的數(shù)值計(jì)算問(wèn)題輕易解決。不僅節(jié)約了時(shí)間，而且提高了效率，可見(jiàn)數(shù)值分析與Matlab相結(jié)合能促進(jìn)科學(xué)計(jì)算問(wèn)題得到更好地解決。

參考文獻(xiàn)

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