橢圓參數(shù)估計在光纖干涉?zhèn)鞲邢到y(tǒng)的應(yīng)用

王凱 武帥 賀勝男 李丹丹 樊彥恩 陳信偉

摘 要：為解決小信號情況下相位生成載波光纖干涉?zhèn)鞲衅飨到y(tǒng)參數(shù)校準(zhǔn)與估計問題，文章比較了基于誤差代數(shù)距離的最小二乘擬合方法、含橢圓約束的基于誤差代數(shù)距離最小二乘擬合方法、基于誤差幾何距離的最小二乘擬合方法三種橢圓參數(shù)擬合方法的性能，為系統(tǒng)參數(shù)校準(zhǔn)能夠選擇相應(yīng)的參數(shù)估計方法提供了依據(jù)。

關(guān)鍵詞：相位生成載波（Phase Generated Carrier，PGC）；光纖干涉型傳感器；橢圓參數(shù)估計；伴生調(diào)幅模型

1 背景

基于半導(dǎo)體激光器直接調(diào)制的PGC干涉信號分別乘以一倍頻載波和二倍頻載波信號并經(jīng)過低通濾波器，可獲得存在正交偏差、幅值偏差以及零點(diǎn)偏移的調(diào)制信號的正余弦信號，該兩路檢波信號理論上滿足橢圓方程。通過橢圓曲線擬合方法可以估計出解調(diào)系統(tǒng)所有關(guān)鍵參數(shù)。

在某些實際場合，由于可用于傳感系統(tǒng)內(nèi)校正的輸入被測量幅度小或者光纖傳感器本身的靈敏度低等原因，用于測系統(tǒng)參數(shù)的單頻相位調(diào)制信號幅值可能無法達(dá)到π弧度，這樣兩路檢波信號的李薩茹圖就無法張成一個完整的橢圓，而是橢圓的一部分，在系統(tǒng)噪聲影響下，幾種橢圓參數(shù)估計的精確度是否還可以滿足系統(tǒng)要求，是文章研究的主要內(nèi)容。

2 PGC解調(diào)模型參數(shù)估計方法

伴生調(diào)幅干涉信號經(jīng)過本地1倍頻載波，2倍頻載波相乘并經(jīng)過低通濾波器后，得到兩路檢波信號[1]：

（1）

易知兩路檢波信號可構(gòu)成橢圓方程，通過可以橢圓參數(shù)估計得到解調(diào)算法需要的三個關(guān)鍵參數(shù)，即：

（2）

基于殘差代數(shù)距離的最小二乘擬合方法（Algebraic Distance Least Square Method， ADLSM）數(shù)學(xué)模型描述為[2]：

min■[F（？茁，？錐i）]2=min||F（？茁，？錐）||22（3）

其中N為測量數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)，||X||2表示向量X的2-范數(shù)，F(xiàn)（β， X）=（ F（ β， X1），…，F(xiàn)（ β， Xi），…，F(xiàn)（ β， XN））T。

基于代數(shù)距離的具有橢圓約束的最小二乘擬合稱為ERADLSM（Ellipse Restriction Algebraic Distance Least Square Method， ERADLSM），該方法保證擬合得到的方程是橢圓，而不是其他二次曲線，文章ERADLSM采用文獻(xiàn)[3]介紹的矩陣拆分方案得到滿足約束的橢圓代數(shù)方程系數(shù)向量。上述兩種方法都是基于誤差代數(shù)距離估計，屬于有偏估計。

將殘差定義為測量數(shù)據(jù)點(diǎn)到擬合橢圓最短的幾何距離，采用幾何距離最小二乘方法，理論上可以實現(xiàn)橢圓曲線的無偏估計?；跉埐顜缀尉嚯x的最小二乘擬合方法（Geometric Distance Least Square Method， GDLSM），其數(shù)學(xué)模型為：

（4）

其中N為測量數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)，橢圓曲線幾何參數(shù)為GP=（Xc，Yc，a，b，θ）T。

文章基于幾何距離的橢圓參數(shù)估計的方法采用文獻(xiàn)[157]報道的方法，該方法運(yùn)用了高斯-牛頓（Guass-Newton）數(shù)值迭代計算。

3 相位調(diào)制信號幅值對參數(shù)估計精確度影響

文章通過仿真手段對該問題進(jìn)行研究。仿真中設(shè)置系統(tǒng)噪聲：輸入電路噪聲為高斯白噪聲，單邊帶（0～fs/2）功率譜密度為-130dB ref：V2/Hz，其噪聲rms值為141.4μV；輸入相位噪聲為高斯白噪聲，單邊帶（0～fs/2）功率譜密度為-90dB ref： rad2/Hz，其噪聲rms值為14.1mrad；輸入光強(qiáng)RIN噪聲為高斯白噪聲，單邊帶（0～fs/2）功率譜密度為-140dB ref：1/Hz，其噪聲rms值為44.7×10-6。

光纖傳感解調(diào)系統(tǒng)仿真參數(shù)設(shè)置為干涉信號直流電壓相關(guān)項kI0=1.5V，相位載波調(diào)制深度C=2.6，干涉條紋襯比度ν=0.8，m=0.15，？漬m=3.4，載波頻率fc=40KHz，采樣率fs=10fc，參數(shù)估計所加相位調(diào)制信號頻率fsig=200Hz，干涉儀初相？漬0=0，干涉信號持續(xù)時間為3/fsig，采樣點(diǎn)數(shù)6000點(diǎn)。根據(jù)上述條件理論計算解調(diào)模型參數(shù)為：K1e/K2e=1.029；δ0=-0.192；δ1=0.123。檢波環(huán)節(jié)數(shù)字低通濾波器采用等波紋設(shè)計方法，通帶臨界頻率fpass=10KHz，阻帶臨界頻率fstop=30KHz，通帶紋波Apass=0.001 dB、阻帶衰減Astop=80dB，階數(shù)95階。各次仿真實驗測系統(tǒng)參數(shù)的調(diào)相信號幅度依次降低，分別為0.5π， 0.25π，0.2π，0.15π。GDLSM參數(shù)初值選用ADLSM的擬合結(jié)果，此外規(guī)定如果GDLSM橢圓幾何參數(shù)迭代次數(shù)超過21次視為不收斂，退出迭代計算，以當(dāng)前值作為幾何參數(shù)輸出。每次實驗獨(dú)立重復(fù)仿真30組，參數(shù)估計統(tǒng)計結(jié)果以及解調(diào)結(jié)果見表1～3。擬合情況如圖1（a）～（d）。

表3 不同調(diào)制幅值D下，系統(tǒng)噪聲對橢圓參數(shù)估計獲取參數(shù)

進(jìn)行解調(diào)THD均值比較

圖1（a） D=0.5π一組數(shù)據(jù)橢圓擬合

圖1（b） D=0.25π一組數(shù)據(jù)橢圓擬合

從仿真實驗中可見，由于輸入相位調(diào)制幅度D沒有超過π，兩路檢波信號構(gòu)成的橢圓不完整，在噪聲影響下，不同橢圓擬合方法的準(zhǔn)確度相差很大：當(dāng)D為0.5π rad，GDLSM和ADLSM兩種方法參數(shù)估計準(zhǔn)確度接近，尤其在估計參數(shù)K1e/K2e時，GDLSM和ADLSM估計準(zhǔn)確度高出ERADLSM方法近一個數(shù)量級。當(dāng)D為0.25π rad，GDLSM方法參數(shù)估計準(zhǔn)確度最好，ADLSM次之，ERGDLSM方法得到的K1e/K2e參數(shù)估計相對誤差達(dá)到了13.61%。當(dāng)D為0.2π rad，GDLSM方法參數(shù)估計準(zhǔn)確度依然最好，ADLSM次之，ERGDLSM方法得到的K1e/K2e參數(shù)估計相對誤差達(dá)到了50.48%。然而當(dāng)D進(jìn)一步降低至0.15π rad時，幾種方法擬合準(zhǔn)確性均很差，尤其是提供給GDLSM的初值不可靠，造成其迭代不收斂，擬合效果誤差很大，從而使得解調(diào)出錯。

4 結(jié)束語

文章研究表明，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)估計測試條件沒有辦法保證外加相位調(diào)制信號幅值超過π時，幅值大于0.2π rad（即1/5橢圓曲線）情況下，應(yīng)優(yōu)先選擇GDLSM方法進(jìn)行參數(shù)估計，可以確保該方法得到的參數(shù)估計準(zhǔn)確度滿足工程實驗的需要。

參考文獻(xiàn)

[1]Kai Wang，Min Zhang，F(xiàn)ajie Duan， et al. Measurement of the phase shift between intensity and frequency modulations within DFB-LD and its influences on PGC demodulation in fiber-optic sensor systeml[J].Appl.Opt，2013，52（29）：7194-7199.

[2]A.Fitzgibbon， M.Pilu， R.B.Fisher. Direct least square fitting of ellipses， IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence，1999，21：476-480.

[3]R.Halir， J.Flusser， NUMERICALLY STABLE DIRECT LEAST SQUARES FITTING OF ELLIPSES， Proc.6th International Conference in Central Europe，1998.

[4]S.J.Ahn， W.Rauh， M.Recknagel， Ellipse fitting and parameter assessment of circular object targets for robot vision， Intelligent Robots and Systems，IROS'99 Proceeding，1999，1：525-530.

作者簡介：王凱（1985-），男，安徽省蕪湖市人，現(xiàn)任中國電子科技集團(tuán)公司第三十八研究所微波光子學(xué)研究中心工程師，博士學(xué)位，主要從事光纖傳感與解調(diào)技術(shù)、微波光子技術(shù)等方面研究。