基于LMI的一類混沌系統(tǒng)同步控制及仿真

高子林 熊 江 羅衛(wèi)敏 鄢 沛

（重慶三峽學(xué)院計算機科學(xué)與工程學(xué)院，重慶萬州 404100）

基于LMI的一類混沌系統(tǒng)同步控制及仿真

高子林 熊 江 羅衛(wèi)敏 鄢 沛

（重慶三峽學(xué)院計算機科學(xué)與工程學(xué)院，重慶萬州 404100）

針對一類混沌系統(tǒng)，進行了基于線性矩陣不等式(LMI)的同步控制器的設(shè)計，使混沌系統(tǒng)的各個狀態(tài)均能較快地達(dá)到同步狀態(tài)．該方法只需求解矩陣K，運算量非常小，滿足了工業(yè)中實時性的要求，具有一定的有效性和可行性．

混沌系統(tǒng)；同步控制器；LMI

1 引 言

混沌系統(tǒng)控制分為混沌系統(tǒng)同步控制和混沌系統(tǒng)穩(wěn)定控制．1990年，Pecora和Carrol[1]提出了驅(qū)動響應(yīng)同步控制方法并用電路實現(xiàn)，同年，Ott，Grebogy和Yorke提出參數(shù)微擾動方法OGY方法[2]，完成了混沌系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，此后，混沌系統(tǒng)理論和應(yīng)用研究滲入到各個領(lǐng)域，如物理、生物系統(tǒng)和保密通信系統(tǒng)等[3-5]．在過去的二十年里，混沌系統(tǒng)控制得到了迅猛發(fā)展，研究人員提出各種控制方法，如模糊自適應(yīng)方法，滑模變結(jié)構(gòu)控制方法，反饋方法及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法等[6-9]．這些控制算法為了解決混沌系統(tǒng)中存在的未知非線性，算法比較復(fù)雜，導(dǎo)致運算量特別大，從而產(chǎn)生較大的時滯，這有悖于實際應(yīng)用中實時性的要求．

由于混沌系統(tǒng)在實際應(yīng)用時通常其動態(tài)方程是給定的[10-11]，為了減小運算量，實現(xiàn)在保密通信等實際應(yīng)用中實時性的要求，本文提出基于LMI的一類混沌系統(tǒng)同步控制設(shè)計，并利用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了該方法的正確性．該方法設(shè)計簡單，運算量小，在混沌系統(tǒng)同步控制的應(yīng)用中具有實際的工程意義．

2 模型描述及基本假設(shè)

考慮如下標(biāo)準(zhǔn)的混沌動態(tài)驅(qū)動系統(tǒng)[12]

其中，未知參數(shù)α∈[0，1]．當(dāng)α∈[0，0.8）時，系統(tǒng)（1）為Lorenz混沌系統(tǒng)；當(dāng)α=0.8時，系統(tǒng)（1）為Lü混沌系統(tǒng)；當(dāng)α∈（0.8，1]時，系統(tǒng)(1)為Chen混沌系統(tǒng)．

為了控制設(shè)計的方便，可以將系統(tǒng)（1）改寫為如下形式：

系統(tǒng)（1）的響應(yīng)系統(tǒng)如下[12]:

同樣地，可以將系統(tǒng)（3）改寫成如下形式：

其中，控制輸入u=（u2u3）T∈Rm；g是一個未知的常數(shù)增益系數(shù)，且g≠0．

設(shè)狀態(tài)誤差為e=y-x，由（2）和（4）式可得如下誤差動態(tài)方程

假設(shè)1．當(dāng)給定未知參數(shù)α某一確定值時，矩陣對（A，B）是完全可控的，即對于一個給定的正定矩陣Q，存在一個m×n的矩陣K使如下Lyapunov方程有且只有一個正定對稱矩陣解P

注1．在Lyapunov方程（6）中，矩陣K可以通過求解線性矩陣不等式XAT+AX+BY+YTBT＜0獲得，其中X＞0，且X=P-1，Y=KX．

3 同步控制器設(shè)計及分析

控制目標(biāo)：設(shè)計控制器（7）和矩陣K，使?fàn)顟B(tài)向量eT有界并且使驅(qū)動系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（2）漸近同步，即

針對上述控制目標(biāo)，對響應(yīng)系統(tǒng)（4）提出如下控制方案：其中K是根據(jù)（6）式求得的．

定理1．考慮驅(qū)動系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（2），如果假設(shè)1成立，那么通過控制器（7）的作用，可以達(dá)到控制目標(biāo)的要求．

證明：考慮正定函數(shù)V（t）=eTPe．如果假設(shè)1成立，那么正定函數(shù)V（t）關(guān)于時間t的導(dǎo)數(shù)如下：

不等式（8）表明誤差動態(tài)方程（5）的狀態(tài)向量是有界的；根據(jù)Barbalat[13]引理可知從而完成了定理1的證明．

4 仿真算例

假設(shè)2：在系統(tǒng)仿真的過程中，給定的正定矩

y1（0）=y2（0）=y3（0）=10．

（1）當(dāng)α=1時，系統(tǒng)（1）為Chen混沌系統(tǒng)，

由（2）式知根

應(yīng)用于響應(yīng)系統(tǒng)（3）中，仿真結(jié)果如圖1所示：

圖1 三維同步相位圖及同步誤差圖

（2）當(dāng)α=0.8時，系統(tǒng)（1）為Lü混沌系統(tǒng)，

應(yīng)用于響應(yīng)系統(tǒng)（3）中，仿真結(jié)果如圖2所示：

圖2 三維同步相位圖及同步誤差圖

（3）當(dāng)α=0.25時，系統(tǒng)（1）為Lorenz混沌系統(tǒng)，由（2）式知根據(jù)（6）式可求解得將控制器（7）

應(yīng)用于響應(yīng)系統(tǒng)（3）中，仿真結(jié)果如圖3所示：

圖3 三維同步相位圖及同步誤差圖

從圖1、圖2和圖3的仿真結(jié)果可以看出，本文提出的同步控制方法均可在較短的時間內(nèi)使驅(qū)動-響應(yīng)混沌系統(tǒng)達(dá)到同步狀態(tài)，驗證了該控制算法的有效性．

5 結(jié) 論

本文通過求解線性矩陣不等式，將求解得到的矩陣K應(yīng)用于同步控制器中，利用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了該方法的正確性，最后的數(shù)值仿真證明了該方法的有效性．該方法與其他的同步控制算法相比，設(shè)計的控制器簡單易于操作，運算量小，可以滿足實時性的需求，特別在保密通信中具有一定的使用價值．同時，該方法也適用于任何可以被改寫成矩陣形式的混沌系統(tǒng)同步，具有較好的應(yīng)用前景．

[1]Pecora L M, Carrol T L, Synchronization in chaotic systems[J]. Physical Review Letters, 1990. 821–824.

[2]Ott E, Grebogi C, Yorke J. A.. Controlling chaos[J]. Physic Review Letter, 1990. 1196-1199.

[3]Tanaka K, Ikeda T, Wang H O. A unified approach to controlling chaos via an LMI-based fuzzy control systems[J]. IEEE Trans. On Circuits and Systems, 1998. 1021-1040.

[4]Laoye J A, Vincent U E, Kareem S O. Chaos control of 4D chaotic systems using recursive backstepping nonlinear controller[J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2009. 356-362.

[5]Aghababa M P. Robust stabilization and synchronization of a class of fractional-order chaotic systems via a novel fractional sliding mode controller[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2012. 2670-2681.

[6]王銀河，等.基于自適應(yīng)模糊邏輯系統(tǒng)的一類混沌系統(tǒng)同步控制[J].控制與決策，2013（9）.

[7]劉超，王俊年，唐婷婷.Chen混沌系統(tǒng)的滑模同步控制方法[J].計算機工程，2011（22）.

[8]Alasty A, Salarieh H. Nonlinear feedback control of chaotic pendulum in presence of saturation effect[J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2007. 292-304.

[9]Qi D, Liu M, Qiu M, Zhang S. Exponential H(infinity) synchronization of general discrete-time chaotic neural networks with or without time delays[J]. IEEE Trans on Neural Networks, 2010. 1358-1365.

[10]張付臣，楊洪亮.線性反饋控制在保密通信中的應(yīng)用[J].計算機工程，2011（14）.

[11]李國華.基于混沌導(dǎo)頻信號同步控制的混沌保密通信[J].計算機應(yīng)用研究，2011（1）.

[12]Chen B, Liu X P, Tong S C. Adaptive fuzzy approach to control unified chaotic systems[J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2007. 1180-1187.

[13]Slotine J E. Applied Nonlinear Control[M]. Englewood Cliffs, America New Jersey: Prentice Hall, 1991.

（責(zé)任編輯：于開紅）

Synchronization Control and Simulation for a Type of Chaotic System Based on LMI Technique

GAO Zilin XIONG Jiang LUO Weimin YAN Pei
(School of Computer Science and Engineering, Chongqing Three Gorges University, Wanzhou Chongqing 404100)

For a type of chaotic system, synchronous controller is designed based on linear matrix inequality (LMI), and can make each state of chaotic systems to reach synchronization status quickly. With this method, only matrix K needs to be solved, so computation amount is very small, and can meet the requirements of real-time property in industry, and has some feasibility and validity.

chaotic systems; synchronous controller; LMI

G812.78

A

1009-8135（2015）03-0053-03

收·稿日期：2015-03-02

高子林（1986-），男，重慶萬州人，助教，碩士，主要研究領(lǐng)域為復(fù)雜系統(tǒng)控制．熊 江（1969-），男，重慶萬州人，教授，碩士研究生導(dǎo)師，主要研究領(lǐng)域為信息安全．羅衛(wèi)敏（1977-），男，重慶萬州人，高級實驗師，碩士，主要研究領(lǐng)域為網(wǎng)絡(luò)與信息安全．鄢 沛（1976-），男，四川營山人，高級實驗師，碩士，主要研究領(lǐng)域為網(wǎng)絡(luò)設(shè)計．

重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究項目（KJ131108）；重慶三峽學(xué)院科學(xué)研究項目資助（14QN30）階段性成果