微分學基本定理評注

張明會 高婷婷

（隴南師范高等?？茖W校數(shù)信學院，甘肅成縣 742500）

微分學基本定理評注

張明會 高婷婷

（隴南師范高等專科學校數(shù)信學院，甘肅成縣 742500）

微分學主要處理的是連續(xù)函數(shù)的變化率問題，它的基本定理、概念、原理和方法是高等數(shù)學的主干，也是高等數(shù)學尤其是數(shù)學分析的靈魂．文章從微分學基本理論出發(fā)，逐步分析并闡明了微分中值定理間內在聯(lián)系，以及它們的特征和意義．

微分學；中值定理；評注

微分學的基本定理，又叫微分中值定理，主要指羅爾（Rolle）中值定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西中值定理及泰勒（Taylor）展開定理．這些定理是利用導函數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間上的整體性質的重要工具，是微分學通向應用之路的橋梁，他們和實數(shù)R的基本性質一起構成了微分學的理論基礎．下面我們將著重闡明微分中值定理之間的內在聯(lián)系，以及它們的特征和意義．

1 微分中值定理結構框

圖1 微分中值定理結構圖

圖1中縱向中間的三個定理，是微分中值定理的主干定理，箭頭表明三個中值定理公式之間是“特殊”與“一般”的關系，即下面是上面的特例，上面是下面的推廣．

2 建立與證明微分中值定理的思路分析

微分中值定理的建立以及它們的分析證明思路的形成，有著深刻的幾何背景，與實數(shù)R的基本定理相比，這似乎是它們的突出特征．認真體會這些定理建立過程中的幾何直觀因素，對于培養(yǎng)把抽象的分析論證與形象的幾何直觀模型相互借用的能力，有重要的意義．

羅爾定理是微分中值定理中最簡單的情形，其幾何意義是：在區(qū)間[a，b]上兩端等高的一條連續(xù)曲線y=f（x），若在（a，b）內的曲線上處處有切線，那么其中必有一條切線與x軸平行．

從圖形上發(fā)現(xiàn)，y=f（x）如果存在極值f（x0），那么曲線在極值點上的切線平行于x軸，即f’（x）=0．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質保證函數(shù)必有最大值和最小值，即保證了極值點的存在．同時，由條件f（a）=f（b）又限制函數(shù)的最大值和最小值一般不可能在區(qū)間端點a，b上出現(xiàn)，因此，必然存在一點ξ∈（a，b），使函數(shù)在其上達到極值，即f’（ξ）=0．這就是建立羅爾中值定理的基本幾何事實．借助幾何直覺從而給出了抽象的分析證明．

拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣，當拉格朗日中值公式f’（ξ）=（f（b）－ f（a））/（b－ a）中f（a）=f（b）時，就成了羅爾定理．因此，拉格朗日中值定理仍然具有鮮明的幾何意義，當f（a）≠f（b）時，如圖所示：

公式中（f（b）－ f（a））/（b － a）是聯(lián)結二端點（a，f（a）），（b，f（b））的弦的斜率，拉格朗日中值定理肯定在（a，b）內存在點ξ，使得曲線上過（ξ，f（ξ））端點切線與這條弦平行，弦的方程：

y=（（f（b）-f（a））/（b-a））×（x-a）-f（a）

它與函數(shù)曲線y=f（x）的縱坐標的差是：

h（x）=f（x）－（（f（b）－ f（a））/（b－ a））×（x－ a）+ f（a）

由圖可以看出，h（x）滿足羅爾定理的所有條件，因此，在拉格朗日中值定理的證明中，首先構造輔助函數(shù)h（x），然后驗證它滿足羅爾定理的條件，使定理得證．構造輔助函數(shù)證明有關問題，是數(shù)學分析中常見的方法，而輔助函數(shù)的構造方法，往往是從一些幾何事實的直覺中得到啟示的．

柯西中值定理的證明也是如此，若令x=f（t），y=f（t），那么就是平面上以（g（a），f（a）），（g（b），f（b））為端點的一段曲線，連接這兩點的弦的斜率是：

（（f（b）－ f（a））/（（g（b）－ g（a））

曲線在（g（t），f（t））處的切線斜率是：dy/dx=f’（t）/g’（t），

定理肯定存在ξ∈（a，b），使得曲線在點（g（ξ），f（ξ））的切線和連接兩端點（g（a），f（a）），（g（b），f（b））的弦平行．

同樣，曲線方程的縱坐標y=f（x）與弦方程的縱坐標y=（（f（b）－ f（a））/（g（b）－ g（a）））×（g（t）－ g（a））+f（a）之差h（t）=f（t）－（（f（b）－ f（a））/（g（b）－ g（a）））×（g（t）－ g（a））－ f（a）滿足羅爾定理的條件，因而就以h（t）作為輔助函數(shù)，使定理得證．

3 幾點評注

（1）羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例，柯西中值定理又是拉格朗日中值定理的推廣，其中拉格朗日中值定理是核心，拉格朗日中值定理是用函數(shù)的局部性質研究函數(shù)整體性質的橋梁，其應用十分廣泛．

（2）微分中值定理的證明是建立在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的整體性質之上的，因此它們與數(shù)系的性質有關，如果除掉數(shù)系的完備性，微分中值定理將不成立．例如，對定義在閉區(qū)間[0，1]上的有理數(shù)集上的連續(xù)函數(shù)f（x）= x-x3，羅爾定理就不成立．

（3）函數(shù)f（x）在點x0的泰勒公式為：

其余項Rn（x）有三種形式：

二者有本質差異，拉格朗日余項和柯西余項是定量形式，便于定量分析和誤差估計，其泰勒公式反映了區(qū)間上的整體性質；皮亞諾余項是定性形式，便于考察函數(shù)的變化狀態(tài)，在確定極限時有用，其泰勒公式只能反映函數(shù)在某點鄰域的局部性質．泰勒公式的重要意義是，它表明在x0點具有n+1階導數(shù)的函數(shù)f（x）可以用n次多項式作局部逼近，在級數(shù)理論、函數(shù)逼近和解析函數(shù)研究中有重要應用．

[1]華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]馬振華.離散數(shù)學導引[M].北京：清華大學出版社，2006.

[3]裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，2002.

[4]馬振民，呂克璞.微積分習題類型分析[M].蘭州：蘭州大學出版社，1999.

[5]張明會，高婷婷.恒等變換方法在數(shù)學分析中的應用[J].湖南工程學院學報，2011（2）.

（責任編輯：于開紅）

Commentary on Fundamental Theorem of Differential Calculus

ZHANG Minghui GAO Tingting
(School of Mathematics and Information, Longnan Normal College, Longnan Gansu 742500)

Differential calculus mainly deals with the change rate of continuous function, concept, principle and method, and is the backbone of higher mathematics and the soul of higher mathematics analysis. This paper, from the basic theory of differential calculus, has a step-by-step analysis and clarification of the relationship among differential mean value theorems, and their characteristic and the significance.

differential calculus; differential mean value theorem; commentary

G812.78

A

1009-8135（2015）03-0017-03

2015-02-25

張明會（1981-），男，甘肅康縣人，隴南師范高等?？茖W校數(shù)學系講師，主要研究基礎數(shù)學．高婷婷（1979-），女，甘肅禮縣人，隴南師范高等?？茖W校數(shù)學系講師，主要研究基礎數(shù)學．

隴南師范高等?？茖W?？蒲许椖浚?014LSZK02001）、隴南師范高等?？茖W校教學改革項目（JXGG2013003）階段性成果