電力系統(tǒng)的多重（維）鞍結(jié)分岔點(diǎn)及其特征分析

衣 濤 王承民 謝 寧 張 焰

（上海交通大學(xué)電氣工程系 上海 200240）

0 引言

研究非線性方程組解與參數(shù)關(guān)系的分岔理論已經(jīng)被廣泛地應(yīng)用于電力系統(tǒng)靜態(tài)電壓穩(wěn)定分析中[1-5]。電力系統(tǒng)失去結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的一種典型情況是，隨著參數(shù)的變化，電力系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)和不穩(wěn)定平衡點(diǎn)相互重合，網(wǎng)絡(luò)方程的雅可比矩陣奇異，這時(shí)出現(xiàn)鞍結(jié)分岔點(diǎn)（Saddle-Node Bifurcation Point,SNBP）。

對電力系統(tǒng)鞍結(jié)分岔的研究主要是針對鞍結(jié)分岔點(diǎn)計(jì)算的，計(jì)算鞍結(jié)分岔點(diǎn)的算法主要有間接法和直接法。間接方法通過不斷變化參數(shù)，以形成P-V曲線來進(jìn)行的，但在鞍結(jié)分岔點(diǎn)附近，由于雅可比矩陣趨于奇異，常規(guī)的潮流算法失效，出現(xiàn)病態(tài)現(xiàn)象。因此，鞍結(jié)分岔點(diǎn)的計(jì)算也常常與病態(tài)潮流算法[6]相結(jié)合。連續(xù)潮流法[7-9]通過預(yù)測、校正等環(huán)節(jié)追蹤潮流方程的平衡解流形，改善常規(guī)潮流算法的病態(tài)現(xiàn)象和收斂性，是近似確定鞍結(jié)分岔點(diǎn)的一種比較可靠的間接方法。直接法[10-12]根據(jù)臨界點(diǎn)處潮流雅可比矩陣奇異這一性質(zhì)形成擴(kuò)展的潮流方程，并用牛頓?拉夫遜法迭代求解，能夠求得較為精確的臨界點(diǎn)。此外，非線性規(guī)劃[13-15]方法則將臨界點(diǎn)條件轉(zhuǎn)化為優(yōu)化負(fù)荷問題，并利用庫恩?圖克最優(yōu)性條件進(jìn)行求解。

目前對鞍結(jié)分岔點(diǎn)的研究主要是在單參數(shù)（或者二維參數(shù)[16,17]）變化、節(jié)點(diǎn)注入功率方向確定時(shí)進(jìn)行的。但是，當(dāng)參數(shù)在不同的節(jié)點(diǎn)注入功率方向上變化時(shí)，都可能達(dá)到鞍結(jié)分岔點(diǎn)，也就是說鞍結(jié)分岔點(diǎn)之間是有區(qū)別的；從另一個(gè)角度來說，參數(shù)變化導(dǎo)致雅可比矩陣奇異的零特征值不一定只有一個(gè)，零特征值的數(shù)量和出現(xiàn)的位置不同，所對應(yīng)的鞍結(jié)分岔點(diǎn)應(yīng)該是不同的。目前還沒有對鞍結(jié)分岔點(diǎn)進(jìn)行深度識別。

隱函數(shù)定理是無限維系統(tǒng)分岔問題研究的重要工具[18,19]，表明平衡解隨參數(shù)變化曲線的存在性。平衡解曲線直觀地反映了分岔產(chǎn)生機(jī)理，如果能得到準(zhǔn)確的平衡解曲線表達(dá)式，對分岔點(diǎn)的局部性態(tài)以及全局性態(tài)研究是至關(guān)重要的。但由于非線性問題的復(fù)雜性，往往難以獲得平衡解曲線的解析或者顯式表達(dá)式，大部分采取了數(shù)值計(jì)算和模擬的研究路線。重?cái)?shù)是分岔點(diǎn)的基本屬性，當(dāng)分岔發(fā)生時(shí)，有兩條光滑解曲線通過的分岔點(diǎn)被稱為簡單分岔點(diǎn)，也叫單重分岔點(diǎn)，有多于兩條光滑解曲線通過的分岔點(diǎn)被稱為多重分岔點(diǎn)[20,21]。相比較單重分岔點(diǎn)，多重分岔點(diǎn)有著更加嚴(yán)格的生成條件，也蘊(yùn)含著更加深刻的內(nèi)涵。

電力系統(tǒng)鞍結(jié)分岔問題的研究也面臨同樣困難。傳統(tǒng)的電力系統(tǒng)分析是以節(jié)點(diǎn)電壓方程為基礎(chǔ)的，采用的變量主要是節(jié)點(diǎn)電壓和節(jié)點(diǎn)注入功率，因?yàn)槠浜唵?、?shí)用且物理意義直觀等特點(diǎn)而被廣泛采用。但由于節(jié)點(diǎn)電壓之間的相互關(guān)聯(lián)性，很難得到平衡解曲線的顯式表達(dá)式，數(shù)值計(jì)算和模擬還不能全面、深刻地展現(xiàn)鞍結(jié)分岔點(diǎn)的特性。因此，存在如上所述的諸多問題，沒有對分岔點(diǎn)的重?cái)?shù)以及多重鞍結(jié)分岔點(diǎn)展開深入研究，也不能進(jìn)一步揭示鞍結(jié)分岔現(xiàn)象的本質(zhì)。

正是在這種研究背景下，本文從支路電流?節(jié)點(diǎn)電壓狀態(tài)變量表示的電力網(wǎng)絡(luò)方程出發(fā)，通過形成平衡解曲線的顯式表達(dá)式，對電力系統(tǒng)鞍結(jié)分岔點(diǎn)進(jìn)行節(jié)點(diǎn)特征描述；并在此基礎(chǔ)上，定義鞍結(jié)分岔點(diǎn)的重?cái)?shù)（維數(shù)），并對多重（維）鞍結(jié)分岔點(diǎn)進(jìn)行特征分析，提出多重（維）鞍結(jié)分岔點(diǎn)計(jì)算的降維求解算法。

1 電力系統(tǒng)平衡解曲線的顯式表達(dá)

在直角坐標(biāo)系下，當(dāng)忽略對地支路電導(dǎo)時(shí)，電力網(wǎng)絡(luò)可以描述為支路電流?節(jié)點(diǎn)電壓方程混合的形式，對于支路l有

式中，i,j=1,2,…,N為節(jié)點(diǎn)集合；l=1,2,…,L表示支路集合；分別為支路l電流的實(shí)部和虛部；ei，fi為節(jié)點(diǎn)i電壓的實(shí)部和虛部；Rij、Xij分別為支路l的電阻和電抗。對于節(jié)點(diǎn)i有

式中，Bl為支路l對地的1/2 電納；pi、qi為節(jié)點(diǎn)注入的有功和無功功率。分別表示節(jié)點(diǎn)注入電流的實(shí)部和虛部（不含對地支路電 流）；。由式（2）可得

即得到以支路電流為參數(shù)的節(jié)點(diǎn)電壓顯式表達(dá)式。

由式（3）可見，只有當(dāng)

電力網(wǎng)絡(luò)方程有解存在。其物理意義是，當(dāng)節(jié)點(diǎn)注入電流幅值分布在以圓點(diǎn)為圓心、為 半徑的圓外時(shí)，電力網(wǎng)絡(luò)方程有解存在。由此得到以電流變量表示的電力網(wǎng)絡(luò)方程解存在的條件。

由隱函數(shù)的定理可知，式（1）和式（3）所表示的電力網(wǎng)絡(luò)方程的解與節(jié)點(diǎn)電壓方程（2）是等價(jià)的。式（3）中的“±（m）”符號說明，電力網(wǎng)絡(luò)方程在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上存在兩個(gè)解曲線的分支，一個(gè)是高壓解，一個(gè)是低壓解。

發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)通常是PV 節(jié)點(diǎn)，式（2）中的節(jié)點(diǎn)無功方程被下式所取代。

式中，Vi為節(jié)點(diǎn)i電壓的幅值。得到節(jié)點(diǎn)電壓的解析表達(dá)式為

PV 節(jié)點(diǎn)解存在的條件為

式（7）物理意義是，當(dāng)節(jié)點(diǎn)注入電流幅值分布在以0 為圓心、pi/Vi為半徑的圓外時(shí)，電力網(wǎng)絡(luò)方程有解存在。

2 鞍結(jié)分岔的節(jié)點(diǎn)特征方程與重（維）數(shù)

當(dāng)式（4）和式（7）的等號成立時(shí)，兩條解曲線重合相交，即產(chǎn)生鞍結(jié)分岔現(xiàn)象。假設(shè)電力網(wǎng)絡(luò)PQ 節(jié)點(diǎn)的數(shù)量為NL，PV 節(jié)點(diǎn)的數(shù)量為NG，平衡節(jié)點(diǎn)數(shù)量為NS，有NL+NG=N?NS。則鞍結(jié)分岔點(diǎn)產(chǎn)生的條件為

或

或

在此稱式（8）和式（9）為鞍結(jié)分岔的節(jié)點(diǎn)特征方程。由此可見，在任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)上式（8）或式（9）成立時(shí)，都將產(chǎn)生鞍結(jié)分岔現(xiàn)象，即鞍結(jié)分岔點(diǎn)的產(chǎn)生對應(yīng)電力網(wǎng)絡(luò)方程解存在的臨界條件。

在鞍結(jié)分岔點(diǎn)上，雅可比矩陣是奇異的，即存在零特征值。如果鞍結(jié)分岔的特征方程式（8）或式（9）只是在一個(gè)節(jié)點(diǎn)上成立，只有一對解曲線重合相交，此時(shí)所對應(yīng)的鞍結(jié)分岔點(diǎn)為單重（一維）鞍結(jié)分岔點(diǎn)；當(dāng)鞍結(jié)分岔的特征方程在多個(gè)節(jié)點(diǎn)上成立時(shí)，所對應(yīng)的鞍結(jié)分岔點(diǎn)為多重（維）鞍結(jié)分岔點(diǎn)。即鞍結(jié)分岔點(diǎn)的重（維）數(shù)等于式（8）或者式（9）成立的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)。

3 多重（維）鞍結(jié)分岔點(diǎn)的特征分析

在鞍結(jié)分岔點(diǎn)上，雅可比矩陣存在零特征值，零特征值的個(gè)數(shù)與鞍結(jié)分岔點(diǎn)的重?cái)?shù)有何關(guān)系？下面以PQ 節(jié)點(diǎn)為例進(jìn)行分析。分別對式（1）和式（2）線性化，得

式中，ΔU為支路電壓偏差向量；ΔS為節(jié)點(diǎn)注入功率偏差向量；ΔI為支路電流偏差向量；ΔV為節(jié)點(diǎn)電壓偏差向量。J11是階數(shù)為2L× 2L的分塊對角矩陣，其對角元素為J12是2N× 2L的支路?節(jié)點(diǎn)關(guān)聯(lián)矩陣的轉(zhuǎn)置；J21是2L× 2N的節(jié)點(diǎn)?支路關(guān)聯(lián)矩陣；J22是2N× 2N的對角陣，其對角元素為令ΔU=0，可得雅可比矩陣為

上述雅可比矩陣的結(jié)構(gòu)和元素與傳統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)電壓方程的雅可比矩陣是完全相同的，在此將其分為J22和兩部分，分別對應(yīng)節(jié)點(diǎn)電壓方程和支路電流方程。對于部分，其對角線元素如下

式中，Gii、Bii表示節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的自導(dǎo)納（去除對地支路電納）部分。非對角線元素為

式中，E為單位對角矩陣；λ為特征值。因?yàn)榫仃嚨慕Y(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將雅可比矩陣特征多項(xiàng)式 除i行外的所有行元素加到i行上，并且對行列式 進(jìn)行分解消元，得

式中，Aii為消元后的行列式去掉第i行和第i列后的代數(shù)余子式。因?yàn)锳ii≠ 0，所以λ=0。對于PV節(jié)點(diǎn)，也可以得到同樣的結(jié)論。這說明當(dāng)鞍結(jié)分岔節(jié)點(diǎn)特征方程式（8）或式（9）在一個(gè)節(jié)點(diǎn)上成立時(shí)，所對應(yīng)的單重（一維）鞍結(jié)分岔點(diǎn)存在一對零特征值。利用同樣的方法可以證明，對于n重（維）鞍結(jié)分岔點(diǎn)，雅可比矩陣有n對零特征值存在。

4 多重（維）鞍結(jié)分岔點(diǎn)的降維求解算法

因?yàn)榘敖Y(jié)分岔點(diǎn)所對應(yīng)的雅可比矩陣奇異，使得基于牛頓法的潮流計(jì)算無法收斂。從上面的分析中可以看出，雅可比矩陣出現(xiàn)零特征值的根本原因是節(jié)點(diǎn)特征方程式（8）或者式（9）成立。為了計(jì)算多重（維）鞍結(jié)分岔點(diǎn)，可以以節(jié)點(diǎn)特征方程式代替相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)電壓方程，即采取降維的節(jié)點(diǎn)電壓方程進(jìn)行求解。根據(jù)上述計(jì)算得到pi，則pi表示鞍結(jié)分岔點(diǎn)成立的參數(shù)條件，也是節(jié)點(diǎn)i的功率穩(wěn)定邊界。

求解步驟：

（1）給定節(jié)點(diǎn)電壓V和支路電流I的初值。

（2）對于鞍結(jié)分岔節(jié)點(diǎn)i，式（2）節(jié)點(diǎn)電壓方程中除去節(jié)點(diǎn)i，形成降一維的方程組。

（3）支路電流式（1）中的節(jié)點(diǎn)i的電壓由式（10）或式（11）代替。

（4）聯(lián)立式（1）、式（2）、式（8）和式（9）按照式（13）形成雅可比矩陣，采用牛頓法進(jìn)行迭代求解。

（5）根據(jù)計(jì)算結(jié)果求出pi，判斷節(jié)點(diǎn)穩(wěn)定裕度。

雖然采用的計(jì)算模型是擴(kuò)展的電力網(wǎng)絡(luò)方程，但計(jì)算過程仍然是形成雅可比矩陣后用牛頓法迭代求解，所以多維鞍結(jié)分岔點(diǎn)求解的難度較之以往并沒有增加。由于采用的是擴(kuò)展的電力網(wǎng)絡(luò)方程，在計(jì)算過程中增加了計(jì)算量和存儲量，導(dǎo)致計(jì)算效率有所降低，但因?yàn)橛?jì)算方法是降維求解算法，降低了雅可比矩陣的維數(shù)，所以此方法在一定程度上又提高了計(jì)算效率，尤其是在多維鞍結(jié)分岔點(diǎn)的求取過程中。

5 算例

以IEEE 14 節(jié)點(diǎn)為例進(jìn)行計(jì)算，將節(jié)點(diǎn)1 與節(jié)點(diǎn)14 編號對調(diào)，節(jié)點(diǎn)14 為平衡節(jié)點(diǎn)，功率因數(shù)取0.9，假設(shè)節(jié)點(diǎn)5 為一維鞍結(jié)分岔點(diǎn)，表1 為采用本文所述方法計(jì)算得到的電壓、相角和功率結(jié)果。

表1 一維鞍結(jié)分岔點(diǎn)計(jì)算結(jié)果Tab.1 Calculation results of one-dimension saddle-node bifurcation point

表2 表示一維、二維和多維鞍結(jié)分岔分別計(jì)算后的對比結(jié)果，其中一維鞍結(jié)分岔點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)5，二維為節(jié)點(diǎn)5、10，多維（5 維）為節(jié)點(diǎn)1、4、5、10、11。

表2 一維、二維與多維鞍結(jié)分岔點(diǎn)計(jì)算結(jié)果比較Tab.2 Results comparision between one-dimension,two-dimension and multi-dimension of saddle-node bifurcation point

從表2 可知，一維鞍結(jié)分岔點(diǎn)的電壓幅值低于二維鞍結(jié)分岔點(diǎn)電壓幅值，而二維又低于多維，這是因?yàn)楫?dāng)某一個(gè)節(jié)點(diǎn)達(dá)到一維鞍結(jié)分岔點(diǎn)時(shí)其他節(jié)點(diǎn)處在一個(gè)正常負(fù)荷水平，系統(tǒng)可以維持在一個(gè)更低的電壓水平而不崩潰。當(dāng)發(fā)生多維鞍結(jié)分岔時(shí)系統(tǒng)多個(gè)節(jié)點(diǎn)都處于較高的負(fù)荷水平，系統(tǒng)電壓在達(dá)到一維鞍結(jié)分岔之前就已經(jīng)達(dá)到極限了。在多維鞍結(jié)分岔節(jié)點(diǎn)中，節(jié)點(diǎn)1 電壓下降幅度最大，這和節(jié)點(diǎn)1 在系統(tǒng)中距離電源比較遠(yuǎn)的情況是一致的。

各節(jié)點(diǎn)發(fā)生一維鞍結(jié)分岔時(shí)的功率穩(wěn)定裕度要遠(yuǎn)大于發(fā)生多維鞍結(jié)分岔的情況，也就表明多維鞍結(jié)分岔點(diǎn)是比一維鞍結(jié)分岔更臨近的穩(wěn)定邊界。這主要是因?yàn)榘l(fā)生一維鞍結(jié)分岔時(shí)只是某一個(gè)節(jié)點(diǎn)的負(fù)荷有比較大的增長，其他節(jié)點(diǎn)負(fù)荷是不變的，而發(fā)生多維鞍結(jié)分岔時(shí)有多個(gè)節(jié)點(diǎn)的負(fù)荷都在增加，所以每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的負(fù)荷穩(wěn)定裕度自然就變小了。

對比電壓下降與負(fù)荷穩(wěn)定裕度的關(guān)系可知，電壓的下降程度與負(fù)荷穩(wěn)定裕度并不是成正比變化的，節(jié)點(diǎn)1 的電壓下降幅度最大，但它的負(fù)荷穩(wěn)定裕度并不是最小的，這是因?yàn)樨?fù)荷穩(wěn)定裕度主要決定因素是節(jié)點(diǎn)當(dāng)前負(fù)荷水平和分岔點(diǎn)的功率差值，當(dāng)前負(fù)荷水平越高差值就越小，穩(wěn)定裕度就越小，這也從另一個(gè)角度解釋了重負(fù)荷節(jié)點(diǎn)穩(wěn)定問題更突出的原因。

從上述分析可以看出，多維鞍結(jié)分岔點(diǎn)的計(jì)算是從更大范圍來觀測節(jié)點(diǎn)的穩(wěn)定裕度，對于系統(tǒng)的穩(wěn)定性調(diào)整幫助更大。如果進(jìn)行系統(tǒng)的穩(wěn)定調(diào)整，應(yīng)該首先調(diào)整像4、10 這樣的節(jié)點(diǎn)。

6 結(jié)論

本文通過對節(jié)點(diǎn)電壓高低壓解曲線的分析，提出了鞍結(jié)分岔點(diǎn)的特征方程。進(jìn)而定義了一維和多維鞍結(jié)分岔點(diǎn)。通過仿真計(jì)算得到如下結(jié)論：

（1）本文提出的方法可以應(yīng)用到鞍結(jié)分岔點(diǎn)的計(jì)算中，用于分析靜態(tài)電壓穩(wěn)定性。

（2）一維和多維鞍結(jié)分岔點(diǎn)相比較而言，多維鞍結(jié)分岔點(diǎn)計(jì)算結(jié)果所反映的系統(tǒng)穩(wěn)定信息更加豐富，所體現(xiàn)的系統(tǒng)穩(wěn)定情況更接近實(shí)際。

（3）多維鞍結(jié)分岔計(jì)算結(jié)果能夠得到系統(tǒng)更臨近的穩(wěn)定邊界，在更大范圍上觀測系統(tǒng)穩(wěn)定情況，為系統(tǒng)穩(wěn)定調(diào)整提供依據(jù)。

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