嵌入式系統(tǒng)下混沌動力學方程的求解與分析

李良，李建軍，李釗，范小虎

（1.第二炮兵工程大學士官學院，山東 青州 262500；2.第二炮兵駐石家莊地區(qū)軍事代表室，河北 石家莊 050081）

嵌入式系統(tǒng)下混沌動力學方程的求解與分析

李良1，李建軍1，李釗2，范小虎1

（1.第二炮兵工程大學士官學院，山東 青州 262500；2.第二炮兵駐石家莊地區(qū)軍事代表室，河北 石家莊 050081）

隨著科學界對混沌特性不斷探索，發(fā)現(xiàn)將有效通信信號附加到混沌信號里是實現(xiàn)保密數(shù)據(jù)傳輸行之有效的方法之一，被加密后的通信數(shù)據(jù)即便被截獲，也很難被破譯。通過仿真與實驗的方法，在嵌入式Linux操作系統(tǒng)下對一種典型的混沌電路模型進行分析求解，驗證了龍格庫塔算法求解混沌電路模型的正確性，為進一步實現(xiàn)嵌入式系統(tǒng)下的數(shù)據(jù)信息加密奠定基礎。

嵌入式系統(tǒng)；數(shù)據(jù)傳輸；混沌行為

0 引言

在通信技術的發(fā)展史上，人們一直在不斷地探索更快捷、高效和更安全的信息通信方式。無論是在研究探索的任何階段，通信內(nèi)容的信息安全問題始終存在。當今通信界利用混沌信號的特性，總結出了一些混沌通信理論。因此，通過嵌入式通信設備產(chǎn)生可附加到有效通信信號中的混沌信號，實現(xiàn)對通信信息的加密處理是目前通信領域研究熱點之一［1］。

本文分析了一種典型的混沌電路，闡述了嵌入式系統(tǒng)環(huán)境下用龍格庫塔算法進行求解分析混沌電路模型的步驟和方法。

1 嵌入式系統(tǒng)及混沌加密

由于混沌行為的偽隨機性和對初值較強的敏感性［2］，因此控制混沌也成為了應用混沌的關鍵。人們陸續(xù)提出了多種對混沌行為進行控制的方法，比如最優(yōu)控制法、脈沖控制法、線性狀態(tài)反饋控制法以及非線性的狀態(tài)反饋控制等?；煦缈刂圃诒姸囝I域有著廣泛的應用前景，比如在通信保密、電子系統(tǒng)及神經(jīng)網(wǎng)絡等方面。

嵌入式通信設備（比如移動電話、掌上電腦等）已成為人們學習生活工作不可缺少的一部分，在日常生活中已經(jīng)起到了越來越重要的作用。因此在嵌入式系統(tǒng)下求解混沌微分方程，并將其應用于保密通信中的研究意義是非常重大的。隨著更高級別、更復雜且實用的嵌入式系統(tǒng)和可編程邏輯器件的快速發(fā)展，使基于混沌的通信系統(tǒng)向市場化方向越來越近了。嵌入式系統(tǒng)強調(diào)的是硬件與軟件的整體協(xié)同性，在一定的項目開發(fā)要求下，要盡可能挖掘系統(tǒng)的軟硬件能力，能夠根據(jù)實際開發(fā)項目需要對軟硬件進行選擇，根據(jù)項目需要對系統(tǒng)進行裁剪，最終得到性價比較高的設計方案。本文的嵌入式系統(tǒng)硬件部分是選用TQ2440實驗板。

2 加密研究方法

隨著信息技術與計算機電子技術應用的快速發(fā)展，數(shù)值分析計算方法突破了傳統(tǒng)的計算方法，在傳統(tǒng)基礎學科中取得了很大的突破。數(shù)值分析計算是與計算機使用密切聯(lián)系的計算方法，它既有應用廣泛性與技術性特點，也有純數(shù)學的抽象性與科學性的特點。

2.1 數(shù)值分析方法特點

要求出一些特定的數(shù)學方程的數(shù)值解，必然要掌握這些方程的本質(zhì)特點，針對性地設計貼近方程本質(zhì)特點的算法。數(shù)值分析方法總體概括起來有以下4個特點：

①有可靠的理論總結與分析，能任意逼近要求的精度，對近似算法要保證收斂性和數(shù)值穩(wěn)定性；

②是面向計算機計算方法，也是計算機能直接處理的有效算法；

③最優(yōu)化的計算方法，能做到計算時間要盡量短；

④要進行數(shù)值結果分析實驗，可以通過Matlab仿真實驗或作圖軟件，對計算的結果進行定性定量分析，證明這種算法是最優(yōu)化的計算方法。

數(shù)值分析的過程既是計算數(shù)學的任務，也是數(shù)值計算方法的研究對象，就是研究具體數(shù)學問題并將計算機用于解決具體數(shù)學問題應用中。

2.2 龍格庫塔算法求解常微分方程

在高等數(shù)學中的關于常微分方程的一些解法，只局限于求解幾種特殊類型的微分方程，大部分的常微分方程用高等數(shù)學中的公式法是不可行的，有些初值問題雖然有初等解，但由于形式太復雜不便于應用。因此有必要探討常微分方程初值問題的數(shù)值解法。

利用龍格—庫塔方法對常微分求數(shù)值解是一種在工程技術領域上應用比較普遍的算法，計算精度比較高，與歐拉法一樣的是都屬于單步算法，即計算下一步時，只用到前一步值。龍格—庫塔法的優(yōu)點是精度更高，對誤差進行有效抑制，收斂且穩(wěn)定（在一定前提下），計算中可以根據(jù)需要改變步長，從而達到不需要計算高階導數(shù)等。

按照只能增加計算f值計算次數(shù)才能滿足截斷誤差要求的推導思想［3］，截斷誤差為o（h5）的4階龍格—庫塔公式，每計算一步都要計算4次f值。其一般公式表達式為：

進一步可以推導出常用4階龍格—庫塔公式為：

3 在嵌入式系統(tǒng)中求解典型混沌方程

3.1 洛倫茲混沌方程數(shù)學模型

洛侖茲［4］提出一個具體數(shù)學模型，清晰地展示了一種嶄新的運動模式，那就是混沌現(xiàn)象的運動模式，也即是軌跡既不收斂到極限環(huán)上但是也不脫離。洛倫茲模型在非線性學科中很重要，對于未來的氣候變化預測也至關重要。

洛侖茲方程是一個三維的自治系統(tǒng)，方程也是極其精妙的。洛侖茲方程形式比較簡單，是由3個一階微分方程組成的3階微分方程組：

式中，a為普蘭特爾數(shù)；c為瑞利數(shù)。但是所有的a、b和c取值是都大于0，對于洛侖茲數(shù)學模型，研究方法是參數(shù)a和b已確定，單獨考察c變化時，系統(tǒng)行為的變化。

取參數(shù)a＝10，b＝8／3，c＝28時，洛侖茲方程如式（1），對方程進行數(shù)值求解，觀察洛侖茲吸引子的情況，此時洛侖茲方程會出現(xiàn)混沌狀態(tài)，定點變成了排斥因子，軌跡以非常復雜的方式相互排斥，演變時自身從不重復和交叉。

3.2 實現(xiàn)洛倫茲混沌方程求數(shù)值解流程

本文程序算法設計主要按照龍格庫塔的思想實現(xiàn)，在嵌入式系統(tǒng)環(huán)境下實現(xiàn)洛倫茲混沌方程求數(shù)值解的流程如下：

①首先在Linux嵌入式系統(tǒng)的VIM編輯器環(huán)境下，按照龍格庫塔推導思想對二階微分方程數(shù)值求解程序進行編寫。

②編寫完成之后，執(zhí)行命令：＃arm-linux-gcc-o zhixingwenjian bysj.c。

③設置宿主機與實驗板之間互傳的路徑是目標盤：＼Virtual Machines＼down＿update，在宿主機終端執(zhí)行：＃rz命令，把已生成的可執(zhí)行文件下載到實驗板中執(zhí)行。下載可執(zhí)行文件前提是uboot以及Linux系統(tǒng)的映像文件已下載至硬件設備［5－7］。

④在實驗板終端執(zhí)行命令：＃chmod＋x zhixing-wenjian，修改可執(zhí)行文件“zhixingwenjian”的權限。

⑤在實驗板終端執(zhí)行命令：＃.／zhixingwenjian，運行可執(zhí)行程序，會在實驗板的Linux系統(tǒng)的根目錄下生成Data.txt文件。

⑥生成的Data.txt文件既可以通過網(wǎng)絡將數(shù)據(jù)傳輸?shù)狡渌嬎銠C進行分析，也可以通過終端執(zhí)行＃sz Data.txt命令，將數(shù)據(jù)傳送到PC機指定位置。

⑦將產(chǎn)生的Data.txt文件中的數(shù)據(jù)借助作圖軟件或者數(shù)據(jù)分析軟件進行定性定量分析。

4 對數(shù)值解進行混沌行為分析

由于混沌現(xiàn)象對初值變化有較強的敏感性，方程中任何狀態(tài)變量的初值進行稍微變化，都可以觀察到其時間序列的變化很大。以x變量為例，實線代表的x［0］＝0時狀態(tài)變量x的時間序列，虛線代表x［0］＝0.01時狀態(tài)變量x的時間序列，可以看出狀態(tài)變量x對初值改變的較強敏感性，如圖1所示。

圖1 x變量初值改變前后的時間序列

當a＝10，b＝8／3，c＝28時，洛侖茲數(shù)學模型所出現(xiàn)的混沌吸引子在各平面上的投影如圖2、圖3和圖4所示。圖2是吸引子在y－x平面的投影。圖3是吸引子在z－x平面的投影。圖4是吸引子在z－y平面的投影。

圖2 吸引子在y－x平面投影

圖3 吸引子在z－x平面投影

圖4 吸引子在z－y平面的投影

5 結束語

本文借助嵌入式系統(tǒng)實驗板，通過算法程序?qū)崿F(xiàn)了混沌加密信號的產(chǎn)生，對嵌入式系統(tǒng)下如何進行混沌微分方程求數(shù)值解做了細致的研究，將求得的數(shù)值解網(wǎng)絡傳輸?shù)饺魏我粋€計算機進行分析。從仿真實驗結果看，在嵌入式系統(tǒng)下實現(xiàn)混沌信號的產(chǎn)生是可行的，也為下一步將混沌信號應用到保密通信系統(tǒng)中提供了理論遵循。

［1］馮久超.混沌信號與信息處理［M］.北京：清華大學出版社，2012.

［2］STOJANOVSKI T，KOEAREV L.Chaos-based Drandom Number Generator Partanalysis［J］.IEEE Trans Circuits and Systems，2001，48（3）：281－288.

［3］翟瑞彩，謝偉松.數(shù)值分析［M］.天津：天津大學出版社，2000.

［4］郝柏林.從拋物線談起—混沌動力學引論［M］.上海：上海科技教育出版社，1993.

［5］周立功.ARM微控制器基礎與實踐［M］.北京：北京航空航天大學出版社，2003.

［6］林曉飛，劉 彬，張 輝.基于ARM嵌入式Linux應用開發(fā)與實例教程［M］.北京：清華大學出版社，1997.

［7］孫天澤，袁文菊，張海峰.嵌入式設計及Linux驅(qū)動開發(fā)指南［M］.北京：北京電子工業(yè)出版社，2005.

Solution and Analysis of Chaotic Dynamics Equations Based on Embedded System

LI Liang1，LI Jian-jun1，LI Zhao2，F(xiàn)AN Xiao-hu1
（1．The Second Artillery Engineering University Sergeant College，Qingzhou Shandong 262500，China；2．The Second Artillery Military Representative Office in Shijiazhuang，Shijiazhuang Hebei 050081，China）

Along with the exploration of scientific community on chaotic characteristics，it is found that attaching effective commu-nication signals to the chaotic signal is one of the effective methods to realize confidential data transmission.Even if the encrypted com-munication data is intercepted，it is difficult to be deciphered.The paper performs analysis and solution of a typical chaotic circuit model through simulation and experiment，verifies the correctness of Runge-Kutta algorithm for chaotic circuit，which provides a foundation for further realization of data encryption in embedded systems.

embedded systems；data transmission；chaotic signal

TN911.72

A

1003－3106（2015）11－0030－03

10.3969／j.issn.1003－3106.2015.11.08

李 良，李建軍，李 釗，等.嵌入式系統(tǒng)下混沌動力學方程的求解與分析［J］.無線電工程，2015，45（11）：30－32，76.

李 良男，（1982—），碩士。主要研究方向：嵌入式系統(tǒng)開發(fā)。

2015-08-15

李建軍男，（1978—），博士。主要研究方向：智能信息處理。