高超聲速邊界層的轉(zhuǎn)捩及預(yù)測(cè)

羅紀(jì)生

天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 天津 300072

高超聲速邊界層的轉(zhuǎn)捩及預(yù)測(cè)

羅紀(jì)生*

天津大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 天津 300072

首先描述了邊界層轉(zhuǎn)捩的基本過(guò)程及研究?jī)?nèi)容。在此基礎(chǔ)上，指出了高超聲速邊界層不同于不可壓縮邊界層的流動(dòng)不穩(wěn)定性特性，并介紹了邊界層的轉(zhuǎn)捩機(jī)理與感受性特征；給出了高超聲速三維邊界層中預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)捩的常用方法，并著重介紹了多用于工程實(shí)際的eN方法以及對(duì)eN方法的理性改進(jìn)，同時(shí)列舉了在高超聲速三維邊界層中應(yīng)用eN方法實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)的多個(gè)實(shí)例。最后，分析并總結(jié)了高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)所存在的困難及需要解決的問(wèn)題。

高超聲速邊界層； 流動(dòng)穩(wěn)定性理論； 轉(zhuǎn)捩機(jī)理與預(yù)測(cè)； 感受性； eN方法

邊界層從層流向湍流的過(guò)渡稱為邊界層的轉(zhuǎn)捩，轉(zhuǎn)捩問(wèn)題實(shí)際是湍流的起源問(wèn)題，是流體力學(xué)長(zhǎng)期關(guān)注但尚未解決的重要研究領(lǐng)域之一。邊界層轉(zhuǎn)捩是流動(dòng)從有序到無(wú)序的轉(zhuǎn)變過(guò)程，其中存在許多非線性的演化過(guò)程。因此，作為基礎(chǔ)理論研究問(wèn)題，轉(zhuǎn)捩機(jī)理引起了流體力學(xué)研究者的廣泛興趣。

在高超聲速飛行條件下，湍流的摩擦系數(shù)和傳熱系數(shù)要遠(yuǎn)大于層流的相關(guān)系數(shù)，邊界層的轉(zhuǎn)捩位置直接關(guān)系到飛行器的摩擦阻力、熱交換及流動(dòng)分離位置等。若能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)出轉(zhuǎn)捩位置并延遲轉(zhuǎn)捩發(fā)生，則可以有效地改進(jìn)飛行器性能，提高其升阻比，降低燃料消耗，并有利于進(jìn)行熱防護(hù)設(shè)計(jì)。因此，對(duì)于大氣層中長(zhǎng)距離飛行的高超聲速飛行器的研制來(lái)說(shuō)，邊界層轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)方法是至關(guān)重要的，也得到了航空航天部門的高度重視。

1 邊界層轉(zhuǎn)捩的基本過(guò)程及研究?jī)?nèi)容

邊界層轉(zhuǎn)捩的研究是與流動(dòng)穩(wěn)定性的研究聯(lián)系在一起的。從層流到湍流的轉(zhuǎn)捩問(wèn)題，以及層流失穩(wěn)可能導(dǎo)致轉(zhuǎn)捩發(fā)生的猜想，都是在發(fā)現(xiàn)流動(dòng)存在層流和湍流2種流態(tài)后提出的。20世紀(jì)初，Orr (1907)和Sommerfeld(1908)建立了著名的描述平行流小擾動(dòng)的穩(wěn)定性方程，即Orr-Sommerfeld(O-S)方程；之后，經(jīng)過(guò)二十多年的努力，理論研究證明了當(dāng)雷諾數(shù)大于某一個(gè)臨界值時(shí)，邊界層流動(dòng)會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定波，亦稱不穩(wěn)定模態(tài)；后又經(jīng)過(guò)二十多年，才在實(shí)驗(yàn)中觀察到與之對(duì)應(yīng)的現(xiàn)象，從而證實(shí)了流動(dòng)穩(wěn)定性的線性理論。

在解釋轉(zhuǎn)捩問(wèn)題時(shí)，還需要應(yīng)用非線性理論。20世紀(jì)40年代，著名物理學(xué)家Landau提出了流動(dòng)失穩(wěn)的非線性機(jī)制；60年代， Stuart將Landau的設(shè)想具體化，建立了弱非線性理論；70年代后， Craik和Herbert分別提出了三波共振和二次失穩(wěn)機(jī)理；自此之后，關(guān)于準(zhǔn)平行流高雷諾數(shù)的漸近理論也得到了很大發(fā)展。這些工作對(duì)解釋邊界層轉(zhuǎn)捩的非線性現(xiàn)象起到了重要作用。

最初認(rèn)為，解釋了擾動(dòng)演化就能夠解決轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)的大部分問(wèn)題，但實(shí)際遇到的困難比預(yù)想的要大得多。轉(zhuǎn)捩位置不僅與流動(dòng)中的擾動(dòng)演化有關(guān)，還嚴(yán)重依賴于初始擾動(dòng)，即不同的初始擾動(dòng)會(huì)導(dǎo)致不同的結(jié)果；除此之外，還與邊界層的粗糙度等外界環(huán)境有關(guān)。這就形成了新的研究領(lǐng)域，即感受性問(wèn)題。對(duì)感受性問(wèn)題進(jìn)行研究，是希望得到邊界層外部擾動(dòng)激發(fā)或轉(zhuǎn)化為邊界層內(nèi)部擾動(dòng)的機(jī)理，以及它們之間的定量關(guān)系，為轉(zhuǎn)捩位置的預(yù)測(cè)提供擾動(dòng)演化的上游條件。

對(duì)于高空飛行的飛行器而言，其邊界層轉(zhuǎn)捩由小擾動(dòng)引起，稱為自然轉(zhuǎn)捩。下面以平板邊界層為例，對(duì)邊界層自然轉(zhuǎn)捩的基本過(guò)程及研究?jī)?nèi)容加以說(shuō)明。

根據(jù)已有研究，邊界層自然轉(zhuǎn)捩的基本過(guò)程如圖1所示(Ue為來(lái)流速度)。邊界層前緣后的一段流動(dòng)為層流，但其中存在某些小擾動(dòng)。在向下游傳播的過(guò)程中，一些擾動(dòng)會(huì)逐漸增大，當(dāng)增大到一定程度時(shí)，就會(huì)觸發(fā)轉(zhuǎn)捩，使層流轉(zhuǎn)變?yōu)橥牧?。整個(gè)轉(zhuǎn)捩過(guò)程可分為以下3個(gè)階段：

1) 層流階段：包括邊界層對(duì)擾動(dòng)的感受過(guò)程(I)、擾動(dòng)的線性演化過(guò)程(II)以及擾動(dòng)的弱非線性演化過(guò)程(III)。

2) 轉(zhuǎn)捩階段：主要是指擾動(dòng)發(fā)生強(qiáng)非線性相互作用的過(guò)程，表現(xiàn)為流場(chǎng)中具有很強(qiáng)的脈動(dòng)，脈動(dòng)甚至可以超過(guò)湍流階段。轉(zhuǎn)捩階段的擾動(dòng)特征具有一定的普適性，而轉(zhuǎn)捩位置的預(yù)測(cè)通常是要預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)捩階段的開始位置。

3) 湍流階段：指流場(chǎng)向充分發(fā)展湍流過(guò)渡的階段，平均流場(chǎng)的變化相對(duì)較慢。

圖1 邊界層轉(zhuǎn)捩過(guò)程示意圖Fig.1 Sketch of transition process of boundary layer

圖2為壁面無(wú)量綱的摩擦系數(shù)Cf及壁面?zhèn)鳠嵯禂?shù)qw在層流和湍流不同階段中的分布。圖中：x為流向位置；δ為邊界層厚度；L為飛行器長(zhǎng)度。從圖中可以看出，壁面摩擦系數(shù)及傳熱系數(shù)在轉(zhuǎn)捩過(guò)程中變化很快，經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)捩后，摩擦力和熱流量都增大很多。

圖2 轉(zhuǎn)捩過(guò)程中壁面摩擦系數(shù)及傳熱系數(shù)的分布Fig.2 Distribution of friction coefficient and heat conduction coefficient in transition processNote: 1 Btu/(ft2·s)=1.135 65 W/cm2.

轉(zhuǎn)捩位置與層流階段的3個(gè)過(guò)程有關(guān)，現(xiàn)將轉(zhuǎn)捩研究中需解決的基本問(wèn)題歸納如下：

1) 感受性問(wèn)題

主要研究外界擾動(dòng)在邊界層內(nèi)激發(fā)小擾動(dòng)的機(jī)理。自由流中脈動(dòng)與邊界層內(nèi)不穩(wěn)定模態(tài)的色散關(guān)系不同，不能直接激發(fā)邊界層內(nèi)的不穩(wěn)定波，而是必須通過(guò)某種機(jī)制才能激發(fā)邊界層內(nèi)的擾動(dòng)。

在實(shí)際問(wèn)題中，自由流中脈動(dòng)的特征很難獲取。因此，即便感受性機(jī)理已經(jīng)清楚，也很難給出邊界層中初始的不穩(wěn)定擾動(dòng)，從而使其成為準(zhǔn)確預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)捩的一個(gè)障礙。

2) 擾動(dòng)的演化過(guò)程

擾動(dòng)的演化分為線性階段和弱非線性階段。小擾動(dòng)在邊界層中的增長(zhǎng)可以根據(jù)流動(dòng)穩(wěn)定性的線性理論加以預(yù)測(cè)；但當(dāng)擾動(dòng)增長(zhǎng)到一定程度時(shí)，非線性效應(yīng)出現(xiàn)，則需要應(yīng)用非線性理論來(lái)描述。

目前，二維邊界層線性穩(wěn)定性理論已有比較充分的研究，不可壓邊界層的弱非線性理論也有不少成熟的方法和達(dá)到共識(shí)的結(jié)果。而對(duì)于超聲速邊界層，由于問(wèn)題的復(fù)雜性，其弱非線性理論的進(jìn)展一直非常緩慢。因此，要將線性穩(wěn)定性理論用于一般三維邊界層中擾動(dòng)演化的預(yù)測(cè)，還有許多工作要做。

3) 轉(zhuǎn)捩過(guò)程

在轉(zhuǎn)捩過(guò)程中，當(dāng)擾動(dòng)增長(zhǎng)到一定程度時(shí)，非線性將會(huì)發(fā)生破碎(即發(fā)生突變)，使平流最終發(fā)展成為湍流。因此，如何判斷轉(zhuǎn)捩發(fā)生的位置，即確定邊界層內(nèi)擾動(dòng)演化到什么程度會(huì)觸發(fā)轉(zhuǎn)捩，是轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)研究需要解決的問(wèn)題。由于轉(zhuǎn)捩不僅依賴于擾動(dòng)初始幅值，還與擾動(dòng)頻率、形狀等其他特性有關(guān)，這就增加了轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)的難度。目前這方面暫無(wú)成熟的研究成果，主要還是依靠經(jīng)驗(yàn)或半經(jīng)驗(yàn)方法。

2 可壓縮邊界層流動(dòng)不穩(wěn)定性特征及轉(zhuǎn)捩機(jī)理研究

2.1 擾動(dòng)的線性演化

可壓縮邊界層流動(dòng)穩(wěn)定性的研究始于20世紀(jì)40年代，Lees和Lin從數(shù)學(xué)上給出了無(wú)黏可壓縮流線性不穩(wěn)定性的必要條件。到20世紀(jì)70年代，可壓縮邊界層穩(wěn)定性研究逐漸興起，其中最為突出的是Mack[1-8]對(duì)無(wú)黏、黏性線性穩(wěn)定性的詳細(xì)研究。研究發(fā)現(xiàn)，在超聲速和高超聲速邊界層中，除了黏性引起的第一模態(tài)擾動(dòng)不穩(wěn)定波外，還存在第二模態(tài)(Mack模態(tài))不穩(wěn)定波，而第二模態(tài)不穩(wěn)定波本質(zhì)上是在壁面和相對(duì)聲速線之間來(lái)回反射的聲波。

在不可壓縮或低馬赫數(shù)邊界層中，不穩(wěn)定擾動(dòng)是由黏性引起的，而其中最不穩(wěn)定的擾動(dòng)則是二維模態(tài)；當(dāng)馬赫數(shù)增大時(shí)，最不穩(wěn)定的擾動(dòng)由二維模態(tài)變?yōu)槿S模態(tài)。當(dāng)馬赫數(shù)大于2.2時(shí)，Mack模態(tài)變得不穩(wěn)定。因此，擾動(dòng)有第一模態(tài)和第二模態(tài)之分：①原有的不穩(wěn)定波稱為第一模態(tài)擾動(dòng)；②以聲波形式在壁面附近傳播的最低階的波稱為第二模態(tài)擾動(dòng)。當(dāng)馬赫數(shù)大于3時(shí)，Mack模態(tài)的最大增長(zhǎng)率超過(guò)第一模態(tài)擾動(dòng)，開始占主導(dǎo)地位。

圖3 邊界層中無(wú)黏擾動(dòng)最大增長(zhǎng)率隨來(lái)流馬赫數(shù)的變化關(guān)系[3]Fig.3 The maximum amplification rate vs freestream Mach number of inviscid disturbance in boundary layer[3]

關(guān)于邊界層的線性穩(wěn)定性問(wèn)題，已經(jīng)開展了大量的研究工作。到目前為止，一般的二維和三維邊界層流動(dòng)的失穩(wěn)問(wèn)題已基本得到解決，理論上也能夠定量地給出擾動(dòng)的增長(zhǎng)率及各種因素對(duì)穩(wěn)定性的影響。

2.2 擾動(dòng)的非線性演化

關(guān)于擾動(dòng)演化的非線性過(guò)程，弱非線性理論(如二次失穩(wěn)理論，共振三波理論，尤其是近二十年發(fā)展起來(lái)的非線性臨界層理論等)成功地解釋了不可壓縮流動(dòng)的不同非線性演化過(guò)程的形成機(jī)理[9-11]。但對(duì)于可壓縮流動(dòng)，由于問(wèn)題本身的復(fù)雜性以及實(shí)驗(yàn)條件的限制，非線性理論的研究遠(yuǎn)沒有不可壓縮流動(dòng)的非線性研究那樣系統(tǒng)。事實(shí)上，到目前為止，實(shí)驗(yàn)還難以為轉(zhuǎn)捩過(guò)程提供更多的細(xì)節(jié)，可壓縮流動(dòng)的非線性穩(wěn)定性理論的建立仍舉步維艱。

可壓縮邊界層轉(zhuǎn)捩的非線性過(guò)程主要利用數(shù)值模擬進(jìn)行研究，集中討論不同馬赫數(shù)下占主導(dǎo)地位的非線性形式和機(jī)制。對(duì)于不可壓平板邊界層，最不穩(wěn)定的擾動(dòng)是二維擾動(dòng)，在此基礎(chǔ)上建立的二次失穩(wěn)理論和共振三波理論，都屬于對(duì)稱的亞諧/基本共振機(jī)理。

當(dāng)馬赫數(shù)較大時(shí)，最不穩(wěn)定的擾動(dòng)變?yōu)槿S模態(tài)(斜波)，而且出現(xiàn)了不穩(wěn)定的Mack模態(tài)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的非線性機(jī)理是非對(duì)稱的亞諧/基本共振機(jī)理。Fasel等[12]通過(guò)對(duì)馬赫數(shù)為1.6的邊界層進(jìn)行數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)了一種新的由一對(duì)斜波擾動(dòng)引起的轉(zhuǎn)捩過(guò)程，稱為 “ObliqueBreakdown”。Leib和Lee[13]應(yīng)用非線性臨界層理論對(duì)該斜波之間的相互作用展開了分析，指出非線性效應(yīng)在擾動(dòng)幅值很小時(shí)就起作用，而且尤其有趣的是，波-波作用所產(chǎn)生的展向變化的平均流修正與不穩(wěn)定波本身為同一量級(jí)。文獻(xiàn)[14]～文獻(xiàn)[17]中開展了一系列數(shù)值模擬試圖驗(yàn)證Leib和Lee的理論研究，并與Kosinov等[18-20]的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比，但沒有形成統(tǒng)一的結(jié)論。

當(dāng)馬赫數(shù)更大時(shí)，Mack模態(tài)的增長(zhǎng)率將超過(guò)第一模態(tài)的增長(zhǎng)率，非線性的機(jī)理變得更加復(fù)雜。文獻(xiàn)[21]～文獻(xiàn)[24]中的研究表明，擾動(dòng)的增長(zhǎng)將改變平均流，而平均流的改變將使得Mack模態(tài)的增長(zhǎng)率變小，第一模態(tài)的增長(zhǎng)率變大；不管初始擾動(dòng)是什么模態(tài)，到轉(zhuǎn)捩后期，第一模態(tài)擾動(dòng)都將會(huì)占據(jù)主導(dǎo)地位。Li等[25-26]所做的數(shù)值模擬表明，在轉(zhuǎn)捩后期的流場(chǎng)中會(huì)出現(xiàn)很低頻的擾動(dòng)；他們認(rèn)為低頻脈動(dòng)是由于擾動(dòng)發(fā)展到一定階段非線性作用的結(jié)果。劉建新[27]，Yu和Luo[28]對(duì)同頻率的Mack模態(tài)擾動(dòng)的非線性演化進(jìn)行了直接數(shù)值模擬，結(jié)果發(fā)現(xiàn)了一種類似二次穩(wěn)定性的過(guò)程，但演化特征與不可壓縮流動(dòng)完全不同。相關(guān)研究工作還有待于從理論分析和數(shù)值計(jì)算的角度進(jìn)一步深入開展。

2.3 邊界層的轉(zhuǎn)捩機(jī)理

轉(zhuǎn)捩機(jī)理的研究從流動(dòng)穩(wěn)定性的角度入手，重點(diǎn)為轉(zhuǎn)捩前擾動(dòng)的非線性演化過(guò)程。通常認(rèn)為，自然轉(zhuǎn)捩從擾動(dòng)的線性放大開始，當(dāng)擾動(dòng)增長(zhǎng)到一定程度時(shí)，由于非線性作用會(huì)產(chǎn)生高次諧波，使流動(dòng)變得越來(lái)越復(fù)雜，最終突變而導(dǎo)致湍流。轉(zhuǎn)捩機(jī)理的研究集中在“流動(dòng)變得越來(lái)越復(fù)雜”的過(guò)程，即產(chǎn)生“突變過(guò)程”的關(guān)鍵性機(jī)理。

以往，人們對(duì)“流動(dòng)變得越來(lái)越復(fù)雜的過(guò)程”并未給予足夠的重視。王新軍等[21]首先對(duì)不可壓槽道流的轉(zhuǎn)捩過(guò)程進(jìn)行了詳細(xì)研究，指出突變產(chǎn)生的關(guān)鍵機(jī)理是平均流剖面經(jīng)擾動(dòng)修正后，其穩(wěn)定性特征發(fā)生了很大變化，表現(xiàn)為線性不穩(wěn)定區(qū)及放大率都顯著增大，使更多的擾動(dòng)得以被激發(fā)并快速增長(zhǎng)。圖4為轉(zhuǎn)捩過(guò)程中壁面流向速度的法向?qū)?shù)Uy的演化及在不同時(shí)刻修正平均流的中性曲線。圖中：t為無(wú)量綱時(shí)間；α、β分別為流向、展向波數(shù)。

圖4 轉(zhuǎn)捩過(guò)程中壁面流向速度法向?qū)?shù)的演化及中性曲線Fig.4 Mean velocity gradient at wall in transition process and neutral curve

在王新軍等[21]的研究中，將突變過(guò)程總結(jié)為：首先，當(dāng)擾動(dòng)幅值增長(zhǎng)到相對(duì)較大時(shí)，擾動(dòng)將通過(guò)非線性作用修正平均流剖面；與此同時(shí)，非線性作用還將產(chǎn)生高次諧波。當(dāng)平均流的修正達(dá)到某一程度時(shí)會(huì)出現(xiàn)拐點(diǎn)，這是突變的關(guān)鍵時(shí)刻。此時(shí)，線性穩(wěn)定性理論的中性曲線所包含的波數(shù)空間中的不穩(wěn)定區(qū)域及放大率都會(huì)大大增加，直接導(dǎo)致更多的其他諧波迅速增長(zhǎng)，使擾動(dòng)充滿整個(gè)邊界層，并使得平均速度迅速向湍流邊界層速度分布演化。只有這種剖面才能提供在壁面區(qū)產(chǎn)生相干結(jié)構(gòu)的條件，而相干結(jié)構(gòu)從平均流吸收能量并成為湍流能量的主要來(lái)源。但是，即使到了這一階段，平均流剖面依然不是最后的湍流平均剖面，要達(dá)到最后的湍流剖面還需要一段較長(zhǎng)的過(guò)程。另外，突變并不僅僅依賴于初始擾動(dòng)的幅值，因?yàn)榉迪嗤〝?shù)不同的擾動(dòng)對(duì)平均流的修正也可以是不同的，從而使突變發(fā)生的位置也不同。

對(duì)于不可壓縮的平板邊界層，文獻(xiàn)[22]～文獻(xiàn)[24]對(duì)超聲速平板邊界層的時(shí)間及空間模式下的轉(zhuǎn)捩過(guò)程作過(guò)類似研究，并于近期對(duì)Stokes邊界層也進(jìn)行了相關(guān)研究，都發(fā)現(xiàn)了類似的機(jī)理。

超聲速平板邊界層的情況更為復(fù)雜。擾動(dòng)增長(zhǎng)后引起的平均流剖面修正，可以顯著地使第一模態(tài)的不穩(wěn)定區(qū)域變大，增長(zhǎng)率增加，從而導(dǎo)致第一模態(tài)附近的更多諧波被快速激發(fā)，反過(guò)來(lái)又加快了基本流速度剖面的修正進(jìn)程，最終促使轉(zhuǎn)捩發(fā)生。這一過(guò)程與不可壓縮流動(dòng)的情況一致。但對(duì)于高馬赫數(shù)邊界層流的第二模態(tài)不穩(wěn)定波而言，情況恰好相反：平均流剖面修正會(huì)使第二模態(tài)的不穩(wěn)定區(qū)域變小，增長(zhǎng)率降低，第二模態(tài)附近擾動(dòng)的增長(zhǎng)將受到壓制。

3 邊界層的感受性問(wèn)題

邊界層的不穩(wěn)定性屬于對(duì)流不穩(wěn)定性，如果沒有持續(xù)的外來(lái)擾動(dòng)，流動(dòng)最終將回歸到層流狀態(tài)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果也表明，轉(zhuǎn)捩位置會(huì)隨著湍流度的增大而明顯提前，當(dāng)來(lái)流湍流度較低時(shí)，這種依賴關(guān)系愈加敏感。簡(jiǎn)言之，轉(zhuǎn)捩需要外來(lái)擾動(dòng)維持，因此，基于科學(xué)問(wèn)題上的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)需要研究外來(lái)擾動(dòng)激發(fā)不穩(wěn)定模態(tài)的機(jī)理。所以，如何確定轉(zhuǎn)捩與擾動(dòng)之間的定量關(guān)系，是感受性研究需要解決的問(wèn)題。

與穩(wěn)定性問(wèn)題不同，感受性問(wèn)題研究的是邊界層對(duì)外界擾動(dòng)的響應(yīng)。從數(shù)學(xué)角度來(lái)講，感受性問(wèn)題可由小擾動(dòng)滿足的非齊次微分方程進(jìn)行描述，其中的非齊次項(xiàng)代表外界擾動(dòng)所產(chǎn)生的“強(qiáng)迫力”。在此類方程中，只有當(dāng)強(qiáng)迫項(xiàng)與特征模態(tài)之間產(chǎn)生共振時(shí)，才能有效地激發(fā)不穩(wěn)定波。由于特征時(shí)間和特征長(zhǎng)度尺度的不一致，一般的外界擾動(dòng)不能直接與特征模態(tài)產(chǎn)生共振，所以感受性研究的關(guān)鍵問(wèn)題就是尋找某種“尺度轉(zhuǎn)化”機(jī)理，使得外界擾動(dòng)產(chǎn)生的強(qiáng)迫項(xiàng)與不穩(wěn)定模態(tài)的特征時(shí)間和特征長(zhǎng)度的尺度相匹配，即滿足所謂的“共振條件”。在此基礎(chǔ)上，外界擾動(dòng)通過(guò)“尺度轉(zhuǎn)化”機(jī)理產(chǎn)生的強(qiáng)迫項(xiàng)就能與特征模態(tài)之間產(chǎn)生共振，從而有效地激發(fā)不穩(wěn)定波。

20世紀(jì)80年代，Goldstein[29-30]和Ruban[31]的杰出工作使感受性研究取得了重大突破，具體工作和后續(xù)的發(fā)展由Goldstein和Hultgren[32]進(jìn)行了整理和介紹。在隨后的10年內(nèi)，感受性研究十分活躍，Saric等[33]綜述了這期間的大部分理論、計(jì)算和實(shí)驗(yàn)進(jìn)展；Fedorov[34]，Zhong和Wang[35]總結(jié)了超聲速邊界層的感受性問(wèn)題研究結(jié)果。

3.1 前緣調(diào)節(jié)機(jī)理

Goldstein[29]研究了聲波與邊界層在前緣區(qū)的相互作用。一定條件下，在前緣稍下游的位置，擾動(dòng)流向速度的通解有式(1)所示的漸近形式：

C0xτuE(y/δ)ej(-γ x3/2-ω*t*)+c.c.]

(1)

3.2 來(lái)流中聲波與局部壁面粗糙元的相互作用

實(shí)際的壁面并非完全光滑，微小的壁面粗糙度可能對(duì)感受性產(chǎn)生十分重要的影響。Goldstein[30]和Ruban[31]于1985年第一次闡明了由孤立粗糙元所導(dǎo)致的局部流動(dòng)與聲波相互作用而產(chǎn)生T-S波的機(jī)理。

聲波與局部壁面粗糙元能夠激發(fā)T-S模態(tài)的尺度要求是：粗糙元的流向尺度d必須和T-S模態(tài)的波長(zhǎng)相當(dāng)，聲波的頻率必須和T-S不穩(wěn)性的特征頻率為同一量級(jí)。在該要求下，由粗糙元引起的局部定常流動(dòng)和聲波的壓力脈動(dòng)在黏性底層驅(qū)動(dòng)Stokes波作用產(chǎn)生的非定常強(qiáng)迫項(xiàng)具有特征模態(tài)的頻率和長(zhǎng)度尺度，可以激發(fā)T-S波；在滿足一定的條件時(shí)，還可以從理論上給出感受性系數(shù)。如果粗糙元的流向尺度遠(yuǎn)大于或遠(yuǎn)小于T-S波的波長(zhǎng)，那么其形狀函數(shù)的傅里葉變換在特征模態(tài)波長(zhǎng)上的分量就會(huì)很小，不會(huì)激發(fā)較大的T-S波。

3.3 來(lái)流中渦波與局部壁面粗糙元的相互作用

渦波是來(lái)流中另一類重要的擾動(dòng)，也是來(lái)流中湍流的主要組成部分。渦波幾乎沒有壓力脈動(dòng)，因此一般不能在邊界層內(nèi)引起大的速度脈動(dòng)，只影響邊界層外緣，看起來(lái)像是被位于邊界層外緣的“邊緣層”所吸收。這樣看來(lái)，渦波似乎對(duì)感受性并不重要。但這一結(jié)論又有悖于來(lái)流湍流度對(duì)轉(zhuǎn)捩影響很大的基本事實(shí)。Duck等[37]的研究表明，粗糙元引起的局部定常流動(dòng)能夠影響到邊界層的外緣，渦波和粗糙元引起的局部定常流動(dòng)在“邊緣層”發(fā)生相互作用，從而激發(fā)T-S波。Wu[38]將該分析推廣到二階漸近近似，得到了具有二階精度的感受性系數(shù)表達(dá)式。

通常情況下，邊界層外的渦波是隨機(jī)的，因此定量的感受性實(shí)驗(yàn)較難開展。Dietz[39]于1999年在控制條件下成功地生成了單一頻率的渦波，并仔細(xì)測(cè)量了渦波的分布以及它與單個(gè)和多個(gè)粗糙元作用所激發(fā)的T-S波。Wu[38]針對(duì)Dietz的實(shí)驗(yàn)作了計(jì)算，理論預(yù)測(cè)的感受性系數(shù)與雷諾數(shù)、頻率及粗糙元個(gè)數(shù)的關(guān)系與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的符合度很高。張永明和周恒[40]對(duì)渦波-粗糙元的相互作用進(jìn)行了數(shù)值模擬，也得到了與實(shí)驗(yàn)相符的結(jié)果。

3.4 來(lái)流中聲(渦)波與分布壁面粗糙度的相互作用

分布式壁面粗糙度在感受性中的作用同樣受到重視。實(shí)際粗糙度的幾何形狀非常復(fù)雜，為了揭示其基本機(jī)理，通常采用波紋壁的模型。波紋壁導(dǎo)致的定常流動(dòng)與來(lái)流中渦(聲)波作用，可以產(chǎn)生時(shí)間和流向均為周期性的強(qiáng)迫項(xiàng)。由于波紋壁的波數(shù)和來(lái)流中擾動(dòng)波的頻率為實(shí)數(shù)，因此，只能在擾動(dòng)波頻率對(duì)應(yīng)的T-S波的中性位置附近才能與特征模態(tài)發(fā)生共振，且波紋壁的波數(shù)和中性模態(tài)的波數(shù)還需近似相等。Wu[41]分析了這一感受性過(guò)程，并指出當(dāng)無(wú)量綱化波數(shù)滿足式(2)所示的關(guān)系時(shí)才能發(fā)生共振。

|波紋壁的波數(shù)-中性模態(tài)附近的局部波數(shù)|<

Re-3/16αd

(2)

式中：Re為雷諾數(shù)；αd為波紋壁的波數(shù)。

整個(gè)過(guò)程可分為3個(gè)階段：

1) 前共振階段

波紋壁波數(shù)與T-S模態(tài)的局部波數(shù)之差大于Re-3/16量階，此時(shí)的邊界層響應(yīng)屬于非共振的強(qiáng)迫振動(dòng)。

2) 共振階段

(3)

(4)

3) 后共振階段

當(dāng)x很大時(shí)，響應(yīng)最終演化成增長(zhǎng)的T-S波，感受性系數(shù)為

Wu[41]還將分析推廣到二階，結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)基本相符。

需要注意的是，粗糙度是分布的，而通過(guò)共振激發(fā)的特性模態(tài)是比較局部的；周期波紋壁比局部粗糙元能更有效地激發(fā)T-S波；分析方法對(duì)聲波和渦波都適用，不同的是聲波與波紋壁所導(dǎo)致的定常流的作用發(fā)生在黏性底層，渦波的作用則是發(fā)生在邊緣層[25]。

3.5 渦波-聲波的相互作用

以上描述的感受性機(jī)理都是波與壁面的作用。Luo 和 Zhou[42]于1986年首先指出，來(lái)流中2個(gè)不同頻率的擾動(dòng)相互作用時(shí)，如果生成的雷諾應(yīng)力項(xiàng)中所含差頻成分的波數(shù)和頻率滿足T-S波的色散關(guān)系，則也可以激發(fā)T-S模態(tài)。Wu[43]進(jìn)一步指出，一定頻率范圍內(nèi)的聲波和渦波相互作用的確可以產(chǎn)生滿足T-S波的色散關(guān)系的波數(shù)和頻率。其共振的過(guò)程與渦(聲)波-波紋壁面的情形類似，共振發(fā)生區(qū)域內(nèi)所激發(fā)的T-S波的流向速度為

(5)

式中：ν為動(dòng)力黏性系數(shù)；κ與馬赫數(shù)、聲波的入射角以及展向波數(shù)有關(guān)。在馬赫數(shù)很低時(shí)，該機(jī)理較弱，但隨著馬赫數(shù)的增加，該機(jī)理會(huì)而迅速增強(qiáng)。值得強(qiáng)調(diào)的是，與前緣調(diào)節(jié)機(jī)理、局部或分布粗糙元-聲(渦)波作用不同，該機(jī)理不需要壁面的作用，會(huì)自動(dòng)地發(fā)生在中性曲線的下枝，所產(chǎn)生的T-S波也不經(jīng)歷任何衰減，而是從一開始就是增長(zhǎng)的。因此，波-波相互作用能夠非常有效地激發(fā)T-S波。

3.6 超聲速邊界層的感受性

在超聲速邊界層中，存在多個(gè)不穩(wěn)定特征模態(tài)，如第一模態(tài)、第二模態(tài)及高階模態(tài)(也稱Mack模態(tài))，同時(shí)還存在與不穩(wěn)定模態(tài)形成有關(guān)的衰減模態(tài)，即所謂的“快模態(tài)”。其中，有些模態(tài)的相速度接近于來(lái)流中擾動(dòng)傳播的速度，可能與來(lái)流中的擾動(dòng)有緊密聯(lián)系；另外，不同的模態(tài)間可能會(huì)相互轉(zhuǎn)化。因此，超聲速邊界層的感受性問(wèn)題比亞聲速邊界層要復(fù)雜得多。

Fedorov[44]在分析了超聲速邊界層中各類模態(tài)的相速度后指出，超聲速邊界層中有3個(gè)位置可能發(fā)生感受性，如圖5所示。其中，cr為復(fù)相速度的實(shí)部；Ma為馬赫數(shù)。

在靠近前緣處，即圖5中的位置1，第一模態(tài)的相速度趨近于1-1/Ma，與來(lái)流中的慢聲波的傳播速度相等，因此，第一模態(tài)也被稱為“慢模態(tài)”。而且在某些參數(shù)條件下，二維第一模態(tài)并非是增長(zhǎng)的，所以稱其為“慢模態(tài)”更合適些?！翱炷B(tài)”的相速度趨近于1+1/Ma，與來(lái)流中快聲波的傳播速度相等。在向下游發(fā)展中，快模態(tài)無(wú)量綱的相速度隨距離減小，先降到1，與來(lái)流中的渦波、熵波同步，即圖5中的位置2。隨后繼續(xù)下降，與“慢模態(tài)”的相速度趨于相同，該點(diǎn)稱為快、慢模態(tài)的同步點(diǎn)，即圖5中的位置3，該位置在感受性研究中受到格外關(guān)注。

圖5 超聲速邊界層中各模態(tài)的相速度隨雷諾數(shù)的變化[44]Fig.5 Phase velocity of modals in a supersonic boundary layer vs Reynolds number[44]

在超聲速邊界層的前緣，存在另一類聲波激發(fā)不穩(wěn)定模態(tài)的過(guò)程。Fedorov等[44-45]利用漸近理論分析了來(lái)流中快、慢聲波的感受性問(wèn)題，結(jié)果表明，當(dāng)聲波的入射角較小時(shí)，聲波經(jīng)折射后作用在邊界層上激發(fā)特征模態(tài)；當(dāng)入射角較大時(shí)，聲波作用在前緣，生成包含快、慢聲波的散射波，它們?cè)谶吔鐚觾?nèi)通過(guò)壓力激發(fā)特征模態(tài)。此外，F(xiàn)edorov 和Khokhlov還分別給出了響應(yīng)壓力滿足的非齊次積分方程，得到了壓力的漸近解及感受性系數(shù)。雖然相關(guān)研究的實(shí)驗(yàn)很少，但在二維和三維性較弱時(shí)，理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本相符，而在三維性較強(qiáng)時(shí)，理論和實(shí)驗(yàn)符合較差。Ma 和 Zhong[46]的數(shù)值模擬證實(shí)了超聲速邊界層對(duì)慢聲波的感受性機(jī)理。

3.7 模態(tài)轉(zhuǎn)化問(wèn)題

在某些條件(如馬赫數(shù)、壁面溫度)下，慢模態(tài)可連續(xù)轉(zhuǎn)化成第二模態(tài)，即第一、第二模態(tài)屬于同一族模態(tài)。但在另一些參數(shù)下，慢模態(tài)則不能連續(xù)轉(zhuǎn)化成第二模態(tài)。因此，模態(tài)轉(zhuǎn)化問(wèn)題即研究如何激發(fā)在高馬赫數(shù)下增長(zhǎng)更快的第二模態(tài)。

無(wú)論慢模態(tài)能否連續(xù)轉(zhuǎn)化成第二模態(tài)，當(dāng)發(fā)展到下游某個(gè)位置時(shí)，慢、快模態(tài)的相速度將會(huì)近似相等，該位置稱之為同步點(diǎn)。由于表征模態(tài)快速變化的波數(shù)實(shí)部相同，因此，2個(gè)模態(tài)可以通過(guò)基本流的弱非平行效應(yīng)耦合起來(lái)，從而導(dǎo)致模態(tài)轉(zhuǎn)化。Fedorov 和 Khokhlov[45]在利用多重尺度法分析了快、慢模態(tài)的耦合和轉(zhuǎn)化后指出，盡管上游只有快模態(tài)，但在同步點(diǎn)下游也會(huì)出現(xiàn)第二模態(tài)。Ma 和 Zhong[46-47]對(duì)快聲波感受性進(jìn)行數(shù)值模擬的結(jié)果顯示，在靠近前緣時(shí)，邊界層響應(yīng)的主要成分是快模態(tài)，在下游會(huì)出現(xiàn)第二模態(tài)。他們還發(fā)現(xiàn)，如果來(lái)流中僅有渦波或熵波，也能在激波下游生成快聲波，即：第二模態(tài)是由快聲波激發(fā)的，而不是來(lái)流中的渦波或熵波。

但是，上述理論和數(shù)值工作在若干關(guān)鍵點(diǎn)處仍有待進(jìn)一步推敲。首先，根據(jù)局部線性穩(wěn)定性分析，快模態(tài)在其相速度跨越1時(shí)，其特征值并非是連續(xù)的，而是有一個(gè)階躍，特征函數(shù)也不同[48]。因此，下游的快模態(tài)能否從上游發(fā)展而來(lái)、其定量的幅值關(guān)系如何仍有待探討。其次，所謂的快、慢模態(tài)的“同步”是數(shù)值意義上的近似概念，并非是嚴(yán)格的同步。因此，F(xiàn)edorov 和 Khokhlov[49]對(duì)有關(guān)模態(tài)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)描述并不是嚴(yán)格的高雷諾數(shù)漸近理論。

另外一個(gè)值得注意的問(wèn)題是：在快、慢模態(tài)的同步點(diǎn)附近，色散關(guān)系變化很快，對(duì)應(yīng)的特征函數(shù)的變化也很快。慢模態(tài)如果同第二模態(tài)不是一族，也可能通過(guò)基本流的非平行效應(yīng)在色散關(guān)系變化很快的地方與第二模態(tài)耦合起來(lái)，進(jìn)行模態(tài)轉(zhuǎn)換，從而直接激發(fā)第二模態(tài)。

此處列舉了平板邊界層感受性的途徑及一些理論結(jié)果，但還很不完善。而且要將這些結(jié)果用于一般邊界層的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)并在工程上實(shí)現(xiàn)其應(yīng)用價(jià)值，遠(yuǎn)不是一件容易的事情，還有許多艱苦的研究工作要做。

4 邊界層轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)方法的研究及應(yīng)用

進(jìn)行邊界層轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)是工程的需要，也是學(xué)科研究的目標(biāo)。從工程方面，希望用最簡(jiǎn)單的方法預(yù)測(cè)出工程要求精度范圍內(nèi)的轉(zhuǎn)捩位置；從學(xué)科研究方面，則希望對(duì)整個(gè)轉(zhuǎn)捩所涉及到的問(wèn)題都研究清楚，能夠提出預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)捩的科學(xué)方法。但實(shí)際上，轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)問(wèn)題的復(fù)雜性大大超出了人們的預(yù)想，而且轉(zhuǎn)捩問(wèn)題與充分發(fā)展的湍流問(wèn)題有很大的不同。流動(dòng)一旦達(dá)到充分發(fā)展的湍流，其流動(dòng)特性便具有自身的規(guī)律，與形成的歷史及外界擾動(dòng)基本無(wú)關(guān)，因此可以直接研究湍流本身。但轉(zhuǎn)捩本身是一個(gè)過(guò)程，并敏感地依賴于外界擾動(dòng)，而外界干擾則是無(wú)法進(jìn)行充分預(yù)測(cè)的。

4.1 轉(zhuǎn)捩準(zhǔn)則

轉(zhuǎn)捩準(zhǔn)則是最簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)方法，主要依賴于經(jīng)驗(yàn)。一般用雷諾數(shù)作為轉(zhuǎn)捩準(zhǔn)則，根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果和經(jīng)驗(yàn)定義某種雷諾數(shù)，當(dāng)該雷諾數(shù)達(dá)到一定值時(shí)，判定流動(dòng)轉(zhuǎn)捩。

對(duì)于不可壓縮流動(dòng)，由于只有一個(gè)參數(shù)，且實(shí)驗(yàn)較多，問(wèn)題會(huì)比較簡(jiǎn)單一些；對(duì)于可壓縮流動(dòng)，還需要考慮馬赫數(shù)、來(lái)流溫度和壁面溫度等因素，且實(shí)驗(yàn)比較復(fù)雜，因此轉(zhuǎn)捩準(zhǔn)則的建立相對(duì)比較困難。

4.2 轉(zhuǎn)捩模式

為了結(jié)合湍流的數(shù)值模擬，建立起了所謂的轉(zhuǎn)捩模式方法。定義間歇因子，并用唯像的方法建立間歇因子的輸運(yùn)方程；通過(guò)標(biāo)定方程中的系數(shù)與湍流模式一起計(jì)算；用間歇因子的大小對(duì)轉(zhuǎn)捩進(jìn)行預(yù)測(cè)。

該方法存在的問(wèn)題仍然是缺乏實(shí)驗(yàn)，難以標(biāo)定多個(gè)可調(diào)參數(shù)。

4.3 eN方法

4.3.1 方法介紹及改進(jìn)

基于科學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)方法是結(jié)合流動(dòng)穩(wěn)定性理論的eN方法，該方法盡可能多地利用了對(duì)邊界層中擾動(dòng)演化的理論預(yù)測(cè)。當(dāng)然，傳統(tǒng)的eN方法中還存在著依賴實(shí)際經(jīng)驗(yàn)的問(wèn)題，但眾多專家學(xué)者也在盡量地利用對(duì)感受性及擾動(dòng)非線性演化的認(rèn)識(shí)來(lái)改進(jìn)eN方法，并取得了很好的效果。

eN方法是基于線性穩(wěn)定性理論的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)方法，通過(guò)計(jì)算不穩(wěn)定波的線性增長(zhǎng)倍數(shù)來(lái)預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)捩，適用于自然轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)。所謂自然轉(zhuǎn)捩，是指從小擾動(dòng)開始，至發(fā)生轉(zhuǎn)捩前的大部分?jǐn)_動(dòng)幅值都很小，可使用線性理論進(jìn)行分析；當(dāng)擾動(dòng)幅值較大，需要應(yīng)用非線性理論研究時(shí)，表示即將發(fā)生轉(zhuǎn)捩。這段距離可以不去研究非線性的具體細(xì)節(jié)，而是直接使用適當(dāng)調(diào)整估計(jì)參數(shù)的方法進(jìn)行解決。下面具體介紹eN方法的相關(guān)內(nèi)容。

根據(jù)線性穩(wěn)定性理論，小擾動(dòng)可以寫成進(jìn)行波形式，將線性化的擾動(dòng)方程變?yōu)樘卣髦祮?wèn)題。對(duì)于給定頻率ω及一個(gè)方向的波數(shù)β，通過(guò)特征值問(wèn)題可求得另一個(gè)方向的波數(shù)α。對(duì)于空間問(wèn)題，波數(shù)一般為復(fù)數(shù)，波數(shù)虛部的負(fù)值-αi、-βi為擾動(dòng)在各方向的增長(zhǎng)率。擾動(dòng)向下游傳播時(shí)，增長(zhǎng)率會(huì)發(fā)生變化。沿?cái)_動(dòng)傳播的方向?qū)υ鲩L(zhǎng)率積分，可以得到幅值的放大倍數(shù)為

式中： (x0,z0)為積分初始位置；(x,z)為從初始位置出發(fā)的擾動(dòng)沿傳播方向傳播的任意位置。當(dāng)N達(dá)到某個(gè)轉(zhuǎn)捩判據(jù)NT時(shí)，轉(zhuǎn)捩發(fā)生。對(duì)于不同頻率的波，N達(dá)到NT的位置不同；其中，最上游的位置被認(rèn)為是轉(zhuǎn)捩實(shí)際發(fā)生的位置。在實(shí)際應(yīng)用中，一般計(jì)算不同頻率下N值的包絡(luò)，當(dāng)N值包絡(luò)達(dá)到NT時(shí)，所在的位置為轉(zhuǎn)捩位置，即轉(zhuǎn)捩位置曲線應(yīng)滿足

式中：(·)r和(·)i分別表示取復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部。

在傳統(tǒng)的eN方法中，積分起始位置(x0,z0)表示頻率為ω的擾動(dòng)使得增長(zhǎng)率σ=0的流向位置。

在解決了如何計(jì)算N值的問(wèn)題后，另一個(gè)重要問(wèn)題就是如何確定決定轉(zhuǎn)捩發(fā)生位置的N值，即如何確定轉(zhuǎn)捩判據(jù)。在傳統(tǒng)的eN方法中，N值需要完全依靠實(shí)驗(yàn)或經(jīng)驗(yàn)來(lái)確定，因此決定了其取值沒有普適性。

半經(jīng)驗(yàn)的eN方法是應(yīng)用最廣泛的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)方法。對(duì)于航空飛行來(lái)說(shuō)，通過(guò)大量的實(shí)驗(yàn)確定，NT的值一般取為9左右。在環(huán)境噪聲比較小，且大部分?jǐn)_動(dòng)波為線性波時(shí)，采用這種分析方法可獲得比較理想的結(jié)果。但對(duì)于超聲速情況，NT的取值需要另行確定。

半經(jīng)驗(yàn)的eN方法應(yīng)用了流動(dòng)穩(wěn)定性理論，具有一定的合理性。雖然該方法僅用了線性理論，但由于自然轉(zhuǎn)捩起始于小擾動(dòng)，因而在擾動(dòng)演化的大部分區(qū)域，均可以用流動(dòng)穩(wěn)定性線性理論進(jìn)行解決。而且根據(jù)眾多數(shù)值計(jì)算的結(jié)果來(lái)看，非線性起作用的區(qū)段相對(duì)來(lái)說(shuō)要短得多。對(duì)于相對(duì)復(fù)雜、經(jīng)驗(yàn)較少的超聲速流，人們也試圖通過(guò)僅有的實(shí)驗(yàn)來(lái)統(tǒng)計(jì)轉(zhuǎn)捩處擾動(dòng)的相對(duì)增長(zhǎng)[32-34]，但由于實(shí)驗(yàn)太少，目前還遠(yuǎn)未達(dá)成共識(shí)。

蘇彩虹和周恒[53-54]對(duì)傳統(tǒng)的eN方法進(jìn)行了改進(jìn)。在用改進(jìn)方法確定小攻角高超聲速圓錐的轉(zhuǎn)捩位置時(shí)，所得的轉(zhuǎn)捩線形狀及實(shí)驗(yàn)結(jié)果與中科院力學(xué)所李新亮等使用直接數(shù)值模擬方法所得的結(jié)果相符[55-56]。近年來(lái)，周恒等在eN方法的改進(jìn)上又做了不少工作，大大減少了轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)對(duì)經(jīng)驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)的依賴，能夠預(yù)測(cè)一些使用傳統(tǒng)eN方法不能正確預(yù)測(cè)的轉(zhuǎn)捩問(wèn)題。

周恒的團(tuán)隊(duì)對(duì)不可壓縮的槽道流和平板邊界層流，以及超聲速、高超聲速平板和錐體的邊界層做過(guò)很多與轉(zhuǎn)捩相關(guān)的數(shù)值模擬工作。經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，從小擾動(dòng)開始的轉(zhuǎn)捩，在即將發(fā)生轉(zhuǎn)捩時(shí)，擾動(dòng)的幅值都在1%～2%之間。而在此之前，很多學(xué)者都認(rèn)為擾動(dòng)幅值達(dá)到1%是線性理論不再適用和非線性開始起作用的分界點(diǎn)。因此，周恒等建議將通過(guò)線性理論得到的小擾動(dòng)幅值增長(zhǎng)到1.5%來(lái)作為轉(zhuǎn)捩開始的判據(jù)。

在此基礎(chǔ)上，傳統(tǒng)的eN方法可改進(jìn)如下：N值的積分不再?gòu)摩?0的位置(x0,z0)開始，而是從某一個(gè)可以預(yù)估出擾動(dòng)初始幅值的位置(xs,zs)開始；用線性穩(wěn)定性理論計(jì)算擾動(dòng)幅值的演化及傳播途徑；將擾動(dòng)幅值達(dá)到1.5%作為轉(zhuǎn)捩開始的判據(jù)，即轉(zhuǎn)捩處的擾動(dòng)幅值A(chǔ)T=0.015，則改進(jìn)后的eN方法為

AT=A0eN(x,z)

值得注意的是，一般不能把N(x,z)的等值線當(dāng)做轉(zhuǎn)捩位置的分布，因?yàn)椴煌l率的初始幅值A(chǔ)0可能不一樣。只有當(dāng)引起轉(zhuǎn)捩的擾動(dòng)的初始幅值大致相同時(shí)，轉(zhuǎn)捩位置的分布才能與N(x,z)的等值線一致。下面給出上游擾動(dòng)不同的小攻角圓錐的轉(zhuǎn)捩結(jié)果，用以說(shuō)明eN方法改進(jìn)的必要性及N(x,z)的等值線與轉(zhuǎn)捩位置分布不一致的示例。

圖6為全域入口加入不同擾動(dòng)后的數(shù)值模擬結(jié)果。圖中：橫軸為圓錐母線方向的無(wú)量綱坐標(biāo)；θ為周角；Cf為壁面摩擦系數(shù)。從圖中可以看出，在上游分別加入抽吸擾動(dòng)和隨機(jī)擾動(dòng)后，轉(zhuǎn)捩位置在背風(fēng)面形狀類似，而在迎風(fēng)面附近有很大的差別，即抽吸擾動(dòng)下的轉(zhuǎn)捩位置推后，而隨機(jī)擾動(dòng)下的轉(zhuǎn)捩位置明顯提前。

圖6 全域入口不同擾動(dòng)的數(shù)值模擬結(jié)果Fig.6 Results of numerical simulation with different disturbances at entrance of computational domain

圖7為上游分別加入不同頻率的小幅值T-S擾動(dòng)后所得的數(shù)值模擬結(jié)果。圖中：橫軸為圓錐母線方向的無(wú)量綱坐標(biāo)；φ為周角。從圖7(a)中可以看出，當(dāng)上游只有低頻(ω=0.6，1.2)的T-S擾動(dòng)時(shí)，只是在背風(fēng)面轉(zhuǎn)捩了，迎風(fēng)面附近沒有發(fā)生轉(zhuǎn)捩。當(dāng)上游加入低、高頻(ω=0.6，0.8，1.0，1.2，1.4，1.6)的T-S擾動(dòng)時(shí)，背風(fēng)面和迎風(fēng)面都發(fā)生了轉(zhuǎn)捩，如圖7(b)所示。根據(jù)流動(dòng)穩(wěn)定性分析可知，低頻擾動(dòng)會(huì)引起背風(fēng)面的轉(zhuǎn)捩，而高頻擾動(dòng)則會(huì)引起迎風(fēng)面的轉(zhuǎn)捩。圖6中，抽吸擾動(dòng)中的低頻成分比較大，高頻成分比較小，因此背風(fēng)面的轉(zhuǎn)捩靠前，迎風(fēng)面的轉(zhuǎn)捩靠后；隨機(jī)擾動(dòng)中的低頻和高頻成分相當(dāng)，因此迎風(fēng)面的轉(zhuǎn)捩提前。傳統(tǒng)的eN方法，通常不考慮來(lái)流擾動(dòng)幅值隨頻率的變化，認(rèn)為擾動(dòng)是幅值的，因此所得預(yù)測(cè)結(jié)果與加入隨機(jī)擾動(dòng)的情況類似；改進(jìn)的eN方法，則部分地考慮了來(lái)流擾動(dòng)幅值隨頻率的變化，因此預(yù)測(cè)結(jié)果與加入抽吸擾動(dòng)的情況類似。

圖7 上游不同頻率小幅值T-S波的數(shù)值模擬結(jié)果Fig.7 Results of numerical simulation for small amplitude of T-S wave at different frequencies at entrance of computational domain

圖8為應(yīng)用傳統(tǒng)eN方法和改進(jìn)的eN方法進(jìn)行預(yù)測(cè)的結(jié)果比對(duì)。從圖中可以看出，改進(jìn)eN方法的預(yù)測(cè)與上游加入抽吸擾動(dòng)及只加低頻T-S擾動(dòng)的結(jié)果一致，而傳統(tǒng)eN方法的結(jié)果與加入隨機(jī)擾動(dòng)及有高頻T-S擾動(dòng)的結(jié)果一致。該結(jié)論進(jìn)一步地支持了上述分析的正確性。

圖8 兩種 eN方法的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比Fig.8 Comparison of prediction results with the two eN methods

如果把轉(zhuǎn)捩判據(jù)定為AT=0.015，合理地考慮感受性的eN方法為

式中：A0(ω,x0,z0)為ZARF曲線上考慮頻率的擾動(dòng)幅值，由感受性的研究給出。這里雖然解決了轉(zhuǎn)捩判據(jù)的問(wèn)題，但解決感受性問(wèn)題仍然是一件非常困難的事情。這是由于感受性與飛行器的具體形式及背景擾動(dòng)的頻譜和形式有關(guān)，而背景擾動(dòng)的頻譜和形式一般要靠飛行試驗(yàn)來(lái)確定。同時(shí)，飛行器要飛經(jīng)的環(huán)境也千變?nèi)f化，無(wú)法完全地預(yù)先了解具體背景擾動(dòng)的特征。

4.3.2eN方法的應(yīng)用實(shí)例

1) 橢圓錐邊界層的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)

根據(jù)美國(guó)Purdue大學(xué)Schneider團(tuán)隊(duì)靜風(fēng)洞的實(shí)驗(yàn)，用于分析的橢圓的錐長(zhǎng)、短軸比為2∶1，長(zhǎng)381 mm，半錐角為7°；來(lái)流馬赫數(shù)為6，單位雷諾數(shù)為10.2×106/m，來(lái)流溫度Te=52 K，壁面溫度Tw=300 K，0°攻角。取半模進(jìn)行計(jì)算，網(wǎng)格分布為341×201×151。基本流速度U和溫度T的計(jì)算結(jié)果如圖9所示，從圖中可以看出，基本流在短軸所在平面存在一個(gè)流向渦，流場(chǎng)三維性較強(qiáng)。

圖9 基本流的計(jì)算結(jié)果Fig.9 Numerical results of basic flow

圖10為壁面極限流線的分布。從圖中可以明顯地看出，長(zhǎng)軸子午面和短軸子午面之間存在壓力梯度，導(dǎo)致邊界層內(nèi)流線的彎曲。圖11為不同頻率擾動(dòng)的增長(zhǎng)率及N(ω,x,z)的分布。圖12為N(x,z)值的等值線及與美國(guó)Purdue大學(xué)Schneider團(tuán)隊(duì)靜風(fēng)洞的實(shí)驗(yàn)結(jié)果[57]的比較。

2)組合體飛行器模型的轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)

飛行器模型由平板三角翼、圓錐、圓柱3部分組成，局部示意圖如圖13所示。

圖10 壁面極限流線的分布Fig.10 Distribution of wall limiting streamline

圖11 不同頻率擾動(dòng)的增長(zhǎng)率及N(ω,x,z)的分布Fig.11 Distribution of amplification rate and N(ω,x,z) at different frequencies

圖12 N(x,z)值的等值線及與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[57]的比較Fig.12 Contour of N(x,z) and its comparison with experimental results[57]

圖13 組合體飛行器模型(局部) Fig.13 Model of vehicle (local)

對(duì)不同高度、不同攻角的飛行條件進(jìn)行了邊界層轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)。飛行馬赫數(shù)為10，飛行攻角分別為 0°和10°，飛行高度h依次選取30，35，40，45 km。對(duì)平板三角翼和圓錐部分進(jìn)行了計(jì)算，得到0°和10°飛行攻角下平板三角翼(迎風(fēng)面)的N值包絡(luò)面分布，如圖14所示。圖15為圓錐頂部(背風(fēng)面)的N值包絡(luò)面分布。

圖14 平板三角翼N值的等值云圖Fig.14 Contour of N for plate delta wing

圖15 圓錐部分N值包絡(luò)面的等值云圖Fig.15 Contour of N for cone part

組合體飛行器模型的轉(zhuǎn)捩特征分析：對(duì)典型局部形狀的復(fù)雜邊界層穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，給出了飛行器局部區(qū)域的N值分布。根據(jù)N值大小，得到對(duì)飛行器進(jìn)行轉(zhuǎn)捩預(yù)測(cè)的結(jié)果如下：飛行攻角對(duì)轉(zhuǎn)捩位置的影響很大，在平板部分三角翼(迎風(fēng)面)處，攻角的增加會(huì)促使轉(zhuǎn)捩產(chǎn)生，并且轉(zhuǎn)捩面積大于0°攻角時(shí)的情況；在圓錐頂部(背風(fēng)面)，攻角的增加會(huì)抑制轉(zhuǎn)捩的發(fā)生，使轉(zhuǎn)捩面積變小，甚至使轉(zhuǎn)捩區(qū)域消失。

5 結(jié) 論

經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期不懈努力，高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩的研究在理論上取得了很大進(jìn)展，也逐漸在工程中得到應(yīng)用。這些問(wèn)題的深入研究加深了人們對(duì)轉(zhuǎn)捩的認(rèn)識(shí)，豐富了流體力學(xué)的內(nèi)涵。

轉(zhuǎn)捩問(wèn)題的復(fù)雜性決定了轉(zhuǎn)捩研究的長(zhǎng)期艱苦性。隨著高超聲速飛行的發(fā)展，航空航天技術(shù)對(duì)轉(zhuǎn)捩機(jī)制認(rèn)識(shí)的需求會(huì)更加迫切。高超聲速邊界層轉(zhuǎn)捩機(jī)理、預(yù)測(cè)的研究將會(huì)得到越來(lái)越多的重視。也希望研究為航天技術(shù)的創(chuàng)新發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

感謝本人所在課題組的同事和學(xué)生，及其他合作者，他們結(jié)果的引用為本文提供了許多有特色內(nèi)容。

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Tel: 022-27407025

E-mail: jsluo@tju.edu.cn

*Corresponding author. Tel.： 022-27407025 E-mail: jsluo@tju.edu.cn

Transition and prediction for hypersonic boundary layers

LUO Jisheng*

SchoolofMechanicalEngineering,TianjinUniversity,Tianjin300072,China

It is summarized that the basic process and problems of the transition of boundary layers. Based on which, the fundamentally distinguishes in instability of hypersonic boundary layers from incompressible boundary layers are shown, and the transition mechanism, receptivity characteristic, transition prediction methods for three-dimensional hypersonic boundary layers are introduced, in which the eNmethod using in engineering and it’s rational improvement is specially shown. Some application examples of prediction transition for three-dimensional hypersonic boundary layers using eNmethod are given. Finally, the difficulty and problems need to be solved in the hypersonic boundary layers are introduced.

hypersonic boundary layer; hydrodynamic stability theory; mechanism and prediction of transition; receptivity; eNmethod

2014-08-04； Revised： 2014-09-16； Accepted： 2014-10-08； Published online： 2014-10-09 08:35

National Natural Science Foundation of China (11332007)

2014-08-04; 退修日期： 2014-09-16; 錄用日期： 2014-10-08; 網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間： 2014-10-09 08：35

www.cnki.net/kcms/detail/10.7527/S1000-6893.2014.0244.html

國(guó)家自然科學(xué)基金 (11332007)

Luo J S. Transition and prediction for hypersonic boundary layers[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2015, 36(1): 357-372.羅紀(jì)生. 高超聲速邊界層的轉(zhuǎn)捩及預(yù)測(cè)[J]. 航空學(xué)報(bào), 2015, 36(1): 357-372.

http://hkxb.buaa.edu.cn hkxb@buaa.edu.cn

10.7527/S1000-6893.2014.0244

V411.1； O357.4

A

1000-6893(2015)01-0357-16

羅紀(jì)生 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師。主要研究方向：流動(dòng)穩(wěn)定性，轉(zhuǎn)捩機(jī)理與預(yù)測(cè)。

*通訊作者.Tel.： 022-27407025 E-mail: jsluo@tju.edu.cn

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