具有非線性slip邊界條件的Smagorinsky模型有限元誤差估計

劉 安

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

具有非線性slip邊界條件的Smagorinsky模型有限元誤差估計

劉 安

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

Smagorinsky模型是大渦模擬中常見的數(shù)學(xué)模型，研究求解了具有非線性 slip邊界條件的Smagorinsky模型有限元方法，并且根據(jù)理論所得的有限元誤差估計，設(shè)計數(shù)值模擬實驗，通過六個不同網(wǎng)格尺度下的有限元逼近解與真實解的相對誤差驗證理論所得結(jié)果的準(zhǔn)確性．

Smagorinsky模型；變分不等式；有限元方法；誤差估計

湍流是自然界中最普遍的流動現(xiàn)象之一，是一種不規(guī)則的流動現(xiàn)象．因為湍流的運動是極端復(fù)雜的，所以研究湍流的方法主要是實驗和數(shù)值模擬．?dāng)?shù)值模擬的方法有三種[1]：大渦數(shù)值模擬，直接數(shù)值模擬和雷諾時均模擬．早在 1963年，Smagorinsky[2]就提出了大渦模擬和 Smagorinsky模型，由于該方法簡單易于操作，所以Smagorinsky模型得到了廣泛的應(yīng)用，但它的缺點是CS不是常數(shù)，取值受雷諾數(shù)等多種因素的影響，在實際應(yīng)用中需要調(diào)試[3]．

本文主要研究了具有非線性slip邊界Smagorinsky模型的有限元逼近方法，該非線性slip邊界條件是由 Fujita[4]提出的，用來描述動脈硬化患者血管中血液流動問題．由于該邊界條件包含有次可微性質(zhì)，那么所研究問題的弱變分形式為第二類變分不等問題．應(yīng)用Taylor-Hood元，我們給出了求解該問題的有限元逼近形式，從理論上得到了有限元逼近解所滿足的誤差估計，并用數(shù)值實驗來驗證理論分析的結(jié)果．

1 具有非線性slip邊界條件的Smagorinsky模型

在LES系統(tǒng)中，定常Smagorinsky模型[5]是

2 有限元逼近

這里ε＞0是待定的數(shù)．將上述估計相加得到：

3 數(shù)值模擬

在標(biāo)準(zhǔn)的正方形區(qū)域上，選取適當(dāng)?shù)膄使得精確解(u,p)具有如下的形式：

圖1 區(qū) 域

表1μ= 10-3時的不同網(wǎng)格系數(shù)下數(shù)值實驗所得的相對誤差估計

4 結(jié) 論

本文介紹了Smagorinsky模型的由來，以及一類具有非線性slip邊界條件的Smagorinsky模型的特點，應(yīng)用有限元網(wǎng)格逼近方法，在理論上得到其逼近解．通過數(shù)值模擬實驗驗證了我們理論所得結(jié)果的準(zhǔn)確性．誤差分析和數(shù)值實驗都表明：隨著網(wǎng)格尺度h的減小，所得有限元逼近解與真實解之間的相對誤差越小，收斂速度隨著h的減小而逐漸變大．表示了該方法具有較高的收斂性，說明本文提出的有限元算法對于求解具有非線性slip邊界條件的Smagorinsky模型是準(zhǔn)確高效的．

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The Finite Element Error Estimation for Smagorinsky Model with Nonlinear Slip Boundary Conditions

LIU An
(College of Methmatics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

Smagorinsky Model is common in large eddy simulation mathematical model. This paper mainly studies to solve the Smagorinsky model finite element method with nonlinear slip boundary conditions and the error estimation is based on the finite element theory so as to design a numerical simulation experiment. The relative error data under six different grid scales between the finite element approximation solution and the truth solution verify the accuracy of the theoretical analysis.

Smagorinsky Model; Variational Inequality; Finite Element Method; Error Estimation

O241.82

A

1674-3563(2015)04-0014-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2015.04.003 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：封毅)

2015-01-14

2014年浙江省大學(xué)生科技創(chuàng)新活動計劃暨新苗人才計劃項目(KZ1501070P01)

劉安(1990- )，男，安徽安慶人，碩士研究生，研究方向：計算機數(shù)學(xué)與復(fù)雜系統(tǒng)控制