一類包含集值映射的H-半變分不等式解的存在性

林珍香，阮志毅，鐘一文

（1.福建農(nóng)林大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，福建福州350002；2.海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南?？?71158）

一類包含集值映射的H-半變分不等式解的存在性

林珍香1，阮志毅2，鐘一文1

（1.福建農(nóng)林大學(xué)計(jì)算機(jī)與信息學(xué)院，福建福州350002；2.海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南?？?71158）

考慮一類包含集值算子的H-半變分不等式問題，應(yīng)用廣義的φ-α-穩(wěn)定單調(diào)和著名的KKM定理證明這類問題解的存在性.

H-半變分不等式；KKM定理；Clarke方向?qū)?shù)

假設(shè)E為一個(gè)自反的Banach空間，E?為其共軛空間.并且假設(shè)K為E上的一個(gè)非空、有界、閉凸子集，T：E→Lp（Ω；Rk）為一個(gè)線性連續(xù)緊算子其共軛算子為T?：Lq（Ω；Rk）→E?，其中1＜p＜∞，1≤k，q為p的共軛指數(shù).若設(shè)J：Lp（Ω；Rk）→R為任一局部Lipschitz泛函，則可引入廣義Clarke方向?qū)?shù)J°（u，v）和廣義的Clarke梯度

于是，可以定義如下這樣一個(gè)集合

本文主要研究此類包含集值映射的H-半變分不等式問題（P），具體描述如下：（P）找到一個(gè)u∈K，以及u?∈A（u）使得

利用KKM定理將得到問題（P）解的存在性定理.

定理1設(shè)K是一個(gè)實(shí)自反Banach空間E上的一個(gè)非空、有界、閉凸子集.假設(shè)如下條件成立：

（H1）h：E→R是一個(gè)非負(fù)弱連續(xù)泛函；

（H2）F：E→E?為一個(gè)算子并且滿足如下函數(shù)是弱下半連續(xù)的：

（H3）T：E→Lp（Ω；Rk）是一個(gè)線性緊映射；

（H4）J：Lp（Ω；Rk）→R為一個(gè)局部Lipschitz泛函；

（H5）A：E→P（E?）為下半連續(xù)并且關(guān)于集合W為φ-穩(wěn)定擬單調(diào)的；

（H6）φ：E→R為一個(gè)真凸下半弱連續(xù)泛函.

那么，問題（P）至少存在一個(gè)解.

1 主要定義和引理

記P（E）為自反的Banach空間E上的所有非空子集合，同時(shí)定義集值算子A：E→P（E?），并且記co｛u1，u2，…，un｝為｛u1，u2，…，un｝的凸包.

定義1A：E→P（E?）是一個(gè)集值算子，兩個(gè)單值函數(shù)φ：E→R和α：E→R.如果對(duì)于任意的ξ∈W以及任意的u，v∈K都滿足如下的關(guān)系式：〈u?-ξ，v-u〉+φ（v）-φ（u）＞0?〈v?-ξ，v-u〉+ φ（v）-φ（u）≥α（v-u），?u?∈A（u），?v?∈A（v），稱算子A關(guān)于集合W為φ-α-穩(wěn)定擬單調(diào).

定義2［1-2］設(shè)H1，H2為兩個(gè)Hausdorff拓?fù)淇臻g，稱集值算子A：H1→P（H2）是

（1）下半連續(xù)的 （在x0）.當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意開集V?H2，滿足A（x0）∩V≠?，總存在x0的一個(gè)領(lǐng)域U使得對(duì)于所有的x∈U有A（x）∩V≠?.若稱A是下半連續(xù)的，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于每一個(gè)點(diǎn)x∈H1都是下半連續(xù)的.

（2）下H半連續(xù)的 （在K）.當(dāng)且僅當(dāng)A對(duì)于每一條限制在K上的線段都是下半連續(xù)的.

定義3［3］設(shè)K為Hausdorff拓?fù)淇臻gH上的一個(gè)非空子集，A：K→P（H）為一集值算子.稱A為一個(gè)KKM映射，如果對(duì)于任意的｛u1，u2，…，un｝?K，總有co｛u1，u2，…，un｝?∪A（uj）.

引理1［4］設(shè)J：K→R是u∈K上的一局部Lipschitz函數(shù)，那么有

（1）函數(shù)v→J°（u，v）為有限值并且滿足正其次性和次可加性；

（2）函數(shù)J°（u，v）關(guān)于變量（u，v）為一個(gè)上半連續(xù)函數(shù).

引理2［5］設(shè)H1，H2為兩個(gè)Hausdorff拓?fù)淇臻g，A：H1→P（H2）為一個(gè)集值算子.則A為下半連續(xù)算子，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意（x，y）屬于A的圖像以及任意一個(gè)收斂到x的網(wǎng)｛xλ｝λ∈I?H1，可以得到對(duì)于任意的λ∈I，存在yλ∈A（xλ）使得yλ→y.

引理3［3］設(shè)K為Hausdorff拓?fù)淇臻gH上的一個(gè)非空子集，假設(shè)G：K→P（E）為一集值算子并且滿足如下性質(zhì)

（1）G為一個(gè)KKM映射；

（2）對(duì)于每一個(gè)x∈K，集合G（x）為一個(gè)閉集；

（3）存在一個(gè)x0∈K，使得集合G（x0）為一緊集.那么∩x∈KG（x）≠?.

2 定理1的證明

首先定義如下這樣一個(gè)集值映射G：K→P（K）：

對(duì)于集值映射G，考慮如下兩種情況：（1）G不是一個(gè)KKM映射；（2）G是一個(gè)KKM映射.

2.1 G不是一個(gè)KKM映射

那么將存在一個(gè)u0的領(lǐng)域U使得所有的v∈U∩K和i∈｛1，2，…，n｝滿足

假設(shè)上述不成立，那么對(duì)于u0的任意領(lǐng)域U，則存在v0∈U∩K和i0∈｛1，2，…，n｝使得

這與假設(shè)G不是一個(gè)KKM映射矛盾.于是可知對(duì)于所有的v∈U∩K有

由于，集值算子A關(guān)于集合W是φ-穩(wěn)定擬單調(diào)的，那么對(duì)于任意的j∈｛1，2，…，n｝，

等價(jià)于

利用Clarke廣義方向?qū)?shù)J°（u，v）的次可加性，可以得到

2.2 G是一個(gè)KKM映射

若G是一個(gè)KKM映射，那么對(duì)于任意的v∈K，下面來(lái)證明集合G（v）為一個(gè)弱閉集.對(duì)于任意的序列｛un｝?G（v）滿足un在E上弱收斂到u.利用函數(shù)T為線性緊算的、h是弱連續(xù)、φ是弱下半連續(xù)、Clarke廣義方向?qū)?shù)J°（u，v）是上半連續(xù)的以及F的假設(shè)條件，可以得到對(duì)于每個(gè)v?∈A（v）

因此，集合G（v）為一個(gè)弱閉集.另一方面，由于K在自反的Banach空間E上為一個(gè)有界、閉凸子集，則K為弱緊的.那么，對(duì)于每一個(gè)v∈K，集合G（v）為一個(gè)弱緊集.因此，利用在弱拓?fù)湎碌腒KM定理，可以得到∩v∈KG（v）≠?.若u0∈∩v∈KG（v）?K，則對(duì)于任意的v∈K，下述不等式成立.

上式都成立.因此，u0∈K為問題 （P）的一個(gè)解.

［1］COSTEA N，ION DA，LUPU C.Variational-like inequality problems involving set-valued maps and generalized monotonicity［J］.Optim Theory Appl，2012，155：79-99.

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Existence of Solutions to a Class of Hemivariational Inequality Problems Involving Set-valued Operator

LIN Zhen-xiang1，RUAN Zhi-yi2，ZHONG Yi-wen1
（1.College of Computer and Information Science，F(xiàn)ujian Agriculture and Forestry University，F(xiàn)uzhou 350002，China；2.College of Mathematics&Statistics，Hainan Normal University，Haikou 571158，China）

In this paper we considered a class of hemivariational inequality problems involving set-valued operator and applied the generalized φ-α-stable monotone and well-known KKM theorem to verify the existence of solutions for Hemivariational inequality problems.

Hemivariational inequality；KKM theorem；Clarke directional derivative

O178

A

1673-4432（2015）03-0108-04

（責(zé)任編輯 曉 軍）

2014-12-17

2015-05-28

福建省自然科學(xué)基金項(xiàng)目 （2013J01216）

林珍香（1990-），女，碩士研究生，研究方向?yàn)椴坏仁脚c計(jì)算機(jī)智能.通訊作者：鐘一文 （1968-），男，教授，博士，研究方向?yàn)椴坏仁脚c計(jì)算機(jī)智能.E-mail：ywzhong@fafu.edu.cn