區(qū)間直覺模糊數(shù)的精確函數(shù)及其在決策中的應(yīng)用

康 婧, 蘭 蓉, 王莎莎

(1.西安郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院， 陜西 西安 710121； 2.西北大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 陜西 西安 710127)

區(qū)間直覺模糊數(shù)的精確函數(shù)及其在決策中的應(yīng)用

康 婧1, 蘭 蓉1, 王莎莎2

(1.西安郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院， 陜西 西安 710121； 2.西北大學(xué) 信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院， 陜西 西安 710127)

針對(duì)區(qū)間直覺模糊數(shù)的排序問題，定義一種新的區(qū)間直覺模糊數(shù)精確函數(shù)。在考慮猶豫度信息的情況下，討論了該精確函數(shù)的性質(zhì)。通過實(shí)例與已有的精確函數(shù)比較，結(jié)果顯示，該精確函數(shù)的排序能力有一定程度的提高。最后將其應(yīng)用到區(qū)間直覺模糊多屬性決策中，并用實(shí)例分析驗(yàn)證該方法的有效性。

區(qū)間直覺模糊數(shù)；猶豫度；精確函數(shù)；多屬性決策

模糊集及其相關(guān)理論[1]為解決涉及不精確性、不確定性信息的問題提供了一種有力的工具。直覺模糊集[2]相對(duì)傳統(tǒng)的模糊集理論，在解決模糊性和不確定性等問題時(shí)具有更好的靈活性和實(shí)用性，這是因?yàn)橹庇X模糊集同時(shí)考慮了隸屬度、非隸屬度以及猶豫度3方面的信息，使得它在對(duì)事物屬性的刻畫上更全面，表現(xiàn)能力更強(qiáng)[3]。隨著直覺模糊集概念的推廣，區(qū)間直覺模糊集的概念被引入，將隸屬度、非隸屬度和猶豫度分別用[0,1]上的區(qū)間數(shù)表示，并定義了區(qū)間直覺模糊集的基本運(yùn)算法則[4]。

區(qū)間直覺模糊集理論被廣泛應(yīng)用于諸多領(lǐng)域，尤其是多屬性決策分析[5-7]方面。在這種基于區(qū)間直覺模糊集的多屬性決策過程中，對(duì)區(qū)間直覺模糊數(shù)的排序是不可或缺的一個(gè)環(huán)節(jié)，因此有關(guān)區(qū)間直覺模糊數(shù)排序的問題日益凸顯出其重要性，并引起了廣泛關(guān)注。針對(duì)區(qū)間直覺模糊數(shù)的排序問題文獻(xiàn)[8]提出了得分函數(shù)和精確函數(shù)來實(shí)現(xiàn)區(qū)間直覺模糊數(shù)的排序，隨后文獻(xiàn)[9]提出一種新的精確函數(shù)用來排序，文獻(xiàn)[10]在文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上得到一種改進(jìn)的精確函數(shù)。然而，在某些情況下使用這些已有的得分函數(shù)和精確函數(shù)仍然無法比較區(qū)間直覺模糊數(shù)的優(yōu)劣，即存在排序失效的情況。

本文研究區(qū)間直覺模糊數(shù)的排序問題，在考慮猶豫度的情況下定義一種新的區(qū)間直覺模糊數(shù)的精確函數(shù)，借助新的精確函數(shù)提出一種區(qū)間直覺模糊數(shù)的排序算法，并通過若干區(qū)間直覺模糊數(shù)的排序結(jié)果驗(yàn)證該算法的有效性。將此排序算法應(yīng)用于區(qū)間直覺模糊多屬性決策問題，并通過相關(guān)實(shí)例驗(yàn)證該方法的有效性。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 直覺模糊集和區(qū)間直覺模糊集

直覺模糊集是模糊集概念的延伸。

定義1[2]設(shè)X是個(gè)非空集合，則定義

A={(x,μA(x),νA(x)):x∈X}

為直覺模糊集。其中映射

μA(x):X→[0,1]

是元素x屬于直覺模糊集A的隸屬度,而映射

νA(x):X→[0,1]

則是非隸屬度，并且滿足

0≤μA(x)+νA(x)≤1 (x∈X)。

但實(shí)際上，很難用精確的數(shù)值來刻畫元素對(duì)概念的隸屬度和非隸屬度，因此，在這種情況下更適合用區(qū)間數(shù)來表示。于是區(qū)間直覺模糊集的概念被提出。

定義2[3]設(shè)D[0,1]是區(qū)間[0,1]上的所有閉子集的集合，則定義

是X上的區(qū)間直覺模糊集,其中

滿足條件

其中

1.2 區(qū)間直覺模糊集的相關(guān)運(yùn)算

其中

[a,b]∈D[0,1],[c,d]∈D[0,1],b+d≤1。

則可為區(qū)間直覺模糊數(shù)定義運(yùn)算法則如下。

定義4[8]其中

(1) 補(bǔ)運(yùn)算

(2) 和運(yùn)算

(3) 乘運(yùn)算

(4) 數(shù)乘運(yùn)算

(5) 指數(shù)運(yùn)算

1.3 區(qū)間直覺模糊集成算子

使用區(qū)間直覺模糊加權(quán)算數(shù)平均算子，定義如下。

定義5[8]設(shè)Ai(i=1,2,…,m)為區(qū)間直覺模糊數(shù)，則定義加權(quán)算術(shù)平均算子為

其中

1.4 區(qū)間直覺模糊集的得分函數(shù)和精確函數(shù)

在基于區(qū)間直覺模糊數(shù)的多屬性決策方法中，區(qū)間直覺模糊數(shù)的排序一直是個(gè)很關(guān)鍵的問題，因此定義得分函數(shù)和精確函數(shù)。

定義6[8]設(shè)A=([a,b],[c,d])是區(qū)間直覺模糊數(shù)，則分別稱

為A的得分函數(shù)和精確函數(shù)，其中

S(A)∈[-1,1]， H(A)∈[0,1]。

得分函數(shù)S與精確函數(shù)H比較類似于統(tǒng)計(jì)學(xué)中的均值和方差。因此基于S(A)與H(A)兩個(gè)指標(biāo),文獻(xiàn)[8]提出了如下排序方法。

若A1=([a1,b1],[c1,d1])和A2=([a2,b2],[c2,d2])為任意兩個(gè)區(qū)間直覺模糊數(shù)，則

(1) 若S(A1)>S(A2)，則A1>A2；

(2) 若S(A1)=S(A2)，則當(dāng)

H(A1)=H(A2)時(shí),A1=A2;

H(A1)>H(A2)時(shí),A1>A2。

此方法只考慮了隸屬度與非隸屬度區(qū)間，并未將猶豫度區(qū)間信息考慮在內(nèi)，所以在對(duì)一些區(qū)間直覺模糊數(shù)排序時(shí)依然會(huì)存在失效的情況。文獻(xiàn)[9]在考慮了猶豫度區(qū)間π=[1-b-d,1-a-c]的情況下提出了新的精確函數(shù)。

定義7[9]設(shè)A=([a,b],[c,d])是區(qū)間直覺模糊數(shù)，則稱

為A基于猶豫度的精確函數(shù)。M(A)∈[-1,1]。

隨后文獻(xiàn)[10]在文獻(xiàn)[8]和文獻(xiàn)[9]的基礎(chǔ)上進(jìn)一步改進(jìn)了區(qū)間直覺模糊數(shù)的精確函數(shù)，得到了一種改進(jìn)后的精確函數(shù)。

定義8[10]設(shè)A=([a,b],[c,d])是區(qū)間直覺模糊數(shù)，定義

為A基于猶豫度的精確函數(shù)。L(A)∈[-1,1]。

但這些得分函數(shù)和精確函數(shù)在對(duì)一些區(qū)間直覺模糊數(shù)排序時(shí)仍存在失效的情況，以下舉例說明。

例1 對(duì)區(qū)間直覺模糊數(shù)

A1=([0.5,0.6],[0.1,0.3]),A2=([0.6,0.7],[0.05,0.15])

排序。

用定義6可得

H(A1)=0.75, H(A2)=0.75。

在這種情況下,文獻(xiàn)[8]提出的精確函數(shù)不能有效的對(duì)這兩個(gè)區(qū)間直覺模糊數(shù)排序，故失效。

例2 對(duì)區(qū)間直覺模糊數(shù)

A1=([0.3,0.5],[0.3,0.4]),A2=([0.3,0.5],[0.2,0.3])

排序。

用定義6可得

H(A1) =0.75, H(A2)=0.65,

用定義7得

M(A1)=0.15, M(A2)=0.05,

但A1?A2，由于兩個(gè)區(qū)間直覺模糊數(shù)的隸屬度相同，而A1的非隸屬度大于A2，考慮到實(shí)際情況A2應(yīng)該優(yōu)于A1，而定義6和定義7中的精確函數(shù)給出的排序卻是A1>A2，故定義6及定義7對(duì)此區(qū)間直覺模糊數(shù)的排序與實(shí)際情況不符。

例3 對(duì)區(qū)間直覺模糊數(shù)

A1=([0,0.4],[0,0.6]),A2=([0.2,0.4],[0.4,0.4])

排序。

用定義8得

L(A1)=0.02, L(A2)=0.02。

在此情況下定義7中的精確函數(shù)不能對(duì)其做出正確排序，故失效。

例4 對(duì)區(qū)間直覺模糊數(shù)

A1=([0.45,0.65],[0.15,0.25]),A2=([0.5,0.6],[0.1,0.3])

排序。

用定義6可得

H(A1)=0.75, H(A2)=0.75,

用定義7得

M(A1)=0.3, M(A2)=0.3,

用定義8得

L(A1)=0.465, L(A2)=0.465。

即上述3種排序法均不能對(duì)此區(qū)間直覺模糊數(shù)進(jìn)行正確排序，故在此排序中均失效。

2 新的精確函數(shù)

對(duì)于區(qū)間直覺模糊數(shù)來說，隸屬度越大越好，非隸屬度越小越好，此外猶豫度也是越小越好。以一項(xiàng)滿意度問卷調(diào)查模型為例，隸屬度越大表示越滿意，非隸屬度越大則表明越不滿意，而猶豫度則表示未完成的問卷，若將未完成的問卷再次讓當(dāng)事人做完，又能得到部分滿意或不滿意的答案，于是考慮將猶豫度信息根據(jù)實(shí)際情況轉(zhuǎn)化成部分非隸屬度信息來給出一種新的精確函數(shù)，具體定義如下。

定義9 設(shè)A=(μA(x),νA(x))是區(qū)間直覺模糊數(shù)，其中

μA(x)=[a,b]?[0,1]，νA(x)=[c,d]?[0,1]

分別表示其隸屬度區(qū)間和非隸屬度區(qū)間，且

0≤b+d≤1,

于是猶豫度區(qū)間可表示為

πA(x)=1-μA(x)-νA(x)=[1-b-d,1-a-c],

則定義其精確度函數(shù)為

基于精確函數(shù)S′(A)，定義如下區(qū)間直覺模糊數(shù)的一種排序方法。

定義10 若A1=([a1,b1],[c1,d1])和A2=([a2,b2],[c2,d2])為任意兩個(gè)區(qū)間直覺模糊數(shù)，S′(A1)>S′(A2)，則A1>A2。

精確度函數(shù)S′滿足如下性質(zhì)。

定理1 設(shè)A=([a,b],[c,d])是一個(gè)區(qū)間直覺模糊數(shù)，S′(A)是其精確度函數(shù)，則有

(1) -1≤S′(A)≤1；

(2) S′(A)=1時(shí)，A取最大值([1,1],[0,0])；

(3) S′(A)=-1時(shí)，A取最小值([0,0],[1,1])。

定理2 設(shè)A1=([a1,b1],[c1,d1])和A2=([a2,b2],[c2,d2])為任意兩個(gè)區(qū)間直覺模糊數(shù)，若A1?A2，則S′(A1)≤S′(A2)。

證明 區(qū)間直覺模糊數(shù)的精確度函數(shù)表示為

其中a,b,c,d∈[0,1],且

a≤b, c≤d, b+d≤1。

于是對(duì)于S′(A)求關(guān)于a的偏導(dǎo)數(shù)，則

即S′(A)關(guān)于a是單調(diào)遞增的。

對(duì)S′(A)求關(guān)于b的偏導(dǎo)數(shù)，則

即S′(A)關(guān)于b也是單調(diào)遞增的。

接著對(duì)S′(A)求關(guān)于c的偏導(dǎo)數(shù)，則

則意味著S′(A)關(guān)于c是單調(diào)遞減的。

再對(duì)S′(A)求關(guān)于d的偏導(dǎo)數(shù)，則

則意味著S′(A)關(guān)于d是單調(diào)遞減的。

由于A1?A2，則對(duì)兩個(gè)區(qū)間直覺模糊數(shù)有

a1≤a2, b1≤b2, c1≥c2, d1≥d2；

再結(jié)合S′(A)分別關(guān)于a,b,c,d的單調(diào)性可得

S′(A1)≤S′(A2)。

證畢。

定義10的排序方法考慮了區(qū)間直覺模糊數(shù)猶豫度對(duì)排序的影響，能使區(qū)間直覺模糊數(shù)排序更精確。使用定義9的精確函數(shù)給上述例子中的區(qū)間直覺模糊數(shù)排序。

將定義10應(yīng)用于上述例1，得到

S′(A1)=0.285, S′(A2)=0.52,

故A1

將定義10應(yīng)用于上述例2，得到

S′(A1)=-0.045, S′(A2)=0.055,

故A1

將定義10應(yīng)用于上述例3，得到

S′(A1)=-0.4, S′(A2)=-0.22,

故A1

將定義10應(yīng)用于上述例4，得到

S′(A1)=0.2925, S′(A2)=0.285,

故A1>A2。

所以本文提出的排序法能對(duì)上述幾組區(qū)間直覺模糊數(shù)排序失效的情況做出正確的比較，對(duì)區(qū)間直覺模糊數(shù)比較的覆蓋范圍更廣，具有較好的分辨性和較強(qiáng)的推廣性。

3 基于新的精確函數(shù)的模糊多屬性決策

針對(duì)區(qū)間直覺模糊多屬性群決策問題進(jìn)行討論，并采用上述定義的新的精確函數(shù)給出具體的決策方法。區(qū)間直覺模糊多屬性決策問題的具體模型如下。

其中

方便起見，分別記

運(yùn)用精確函數(shù)區(qū)間直覺模糊數(shù)排序的方法，給出一種基于WAA(加權(quán)算數(shù)平均)算子下區(qū)間直覺模糊多屬性決策方法，具體步驟如下。

(3) 基于定義10對(duì)候選方案Ai(i=1,2,…,m)進(jìn)行排序并得到最佳方案。

4 實(shí)例分析

某學(xué)校在對(duì)獎(jiǎng)學(xué)金獲得者進(jìn)行評(píng)選時(shí)，制定了5項(xiàng)考查指標(biāo)(屬性)：C1為考試成績、C2為思想品德、C3為參加競賽獲獎(jiǎng)情況、C4為論文發(fā)表情況、C5為班級(jí)貢獻(xiàn)。各項(xiàng)指標(biāo)的權(quán)重向量為

ω=(0.2, 0.1, 0.3, 0.3, 0.1)T。

通過自我申請(qǐng)、導(dǎo)師推薦、評(píng)議，對(duì)各候選人按照以上5項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行評(píng)定，統(tǒng)計(jì)處理后確定了4位候選人Ai(i=1,2,3,4)。若每位候選人的5項(xiàng)指標(biāo)評(píng)定信息經(jīng)過統(tǒng)計(jì)處理,可以表示為區(qū)間模糊數(shù)，則各方案對(duì)應(yīng)的屬性值如表1所示。

表1 各方案的屬性值

以下用本文中的方法排序并選擇最佳候選人。

A2>A4>A1>A3，

所以最佳候選人為A2。

5 結(jié)束語

為了在決策過程中，更有效、合理地對(duì)區(qū)間直覺模糊數(shù)進(jìn)行排序，提出了一種新的精確函數(shù)，該精確函數(shù)在考慮了隸屬度和非隸屬度的同時(shí)還將部分猶豫度信息也考慮其中，從而改善區(qū)間直覺模糊數(shù)的排序性能，并達(dá)到更好的排序效果，最后給出了基于該精確函數(shù)的一種決策方法，并用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)證明了該算法的可行性及有效性。

[1] Zadeh L.Fuzzy Sets[J].Information and Control,1965,8(3):338-353.

[2] Atanassov K.Intuitionistic fuzzy sets[J]. Fuzzy Sets and Systems,1986,20(1):87-96.

[3] 蘭蓉. 基于直覺模糊集相似度量的多屬性決策方法[J].西安郵電學(xué)院學(xué)報(bào)，2010,15(3):64-67.

[4] Atanassov K,Gargov G.Interval valued intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems,1989,31(3):343-349.

[5] 張英俊,馬培軍,蘇小紅.屬性權(quán)重不確定條件下的區(qū)間直覺模糊多屬性決策[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào)，2012,38(2):220-228.

[6] 蘭蓉，范九倫.一種基于三角模糊數(shù)的理想點(diǎn)多屬性決策方法[J].西安郵電學(xué)院學(xué)報(bào)，2009,14(5):164-168.

[7] 徐澤水.不確定多屬性決策方法及應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005：116-155.

[8] 徐澤水.區(qū)間直覺模糊信息的集成方法及其在決策中的應(yīng)用[J].控制與決策，2007,22(2):215-219.

[9] Ye Jun.Multicriteria fuzzy decision-making method based on a novel accuracy function under interval-valued intuitionistic fuzzy enviroment[J].Expert Systems with Applications,2009,(36):6899-6902.

[10] Lakahmana V,Muralikrishnan S,Sivaraman G.Multi-criteria decision making method based on interval-valued intuitionistic fuzzy sets[J].Expert Systems with Applications,2011,38(3):1464-1467.

[11] 王中興,牛利利.區(qū)間直覺模糊數(shù)的新得分函數(shù)及其在多屬性決策中的應(yīng)用[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2013,27(4):167-172.

[責(zé)任編輯:祝劍]

A new accuracy function of interval-valued intuitionistic fuzzy numbers and its application in decision making

KANG Jing1, LAN Rong1, WANG Shasha2

(1. School of Communication and Information Engineering, Xi’an University of Posts and Telecommunications,Xi’an 710121,China；2. School of information and technology, NorthWest University, Xi’an 710127, China)

A new way to define a new accuracy function of interval-valued intuitionistic fuzzy numbers is proposed for sorting the interval-valued intuitionistic fuzzy numbers in this paper. The properties of the function are discussed based on considering the information of hesitancy degree. Some examples are designed and compared with some existing accuracy functions. The results show that the sorting capability of the new accuracy function is improved to the certain extent. At last, this new accuracy function is applied to the multiple attribute decision making on interval-valued intuitionistic fuzzy numbers and its effectiveness is illustrated by a numerical example.

interval-valued intuitionistic fuzzy numbers, hesitancy degree, accuracy function, multiple attribute decision making

2015-01-23

康婧(1990-)，女，碩士研究生，研究方向?yàn)樾畔⑻幚砑夹g(shù)與應(yīng)用。E-mail: 348203128@qq.com 蘭蓉(1977-)，女，博士，副教授，從事決策分析和模式識(shí)別研究。E-mail: ronglanlogic@163.com

10.13682/j.issn.2095-6533.2015.03.015

TP18;O235;C934

A

2095-6533(2015)03-0086-06