低信噪比條件下改進(jìn)ESPRIT方法

張正言，李小波，徐旭宇，鄒純燁

（電子工程學(xué)院，合肥 230037）

低信噪比條件下改進(jìn)ESPRIT方法

張正言，李小波，徐旭宇，鄒純燁

（電子工程學(xué)院，合肥 230037）

在低信噪比時，針對估計信源DOA實時性的問題，提出了一種新的適合于ESPRIT算法的多級維納濾波器（MSWF）結(jié)構(gòu)，找到了一種能判別信號子空間的方法。首先將多級維納濾波器（MSWF）與ESPRIT算法相結(jié)合，采用多級維納濾波器（MSWF）的前向遞推，得到子空間，不需要通過特征值分解。低信噪比時，針對噪聲子空間泄漏到信號子空間的現(xiàn)象，提出一種判別方法，找到了更精確的信號子空間，結(jié)合ESPRIT方法實現(xiàn)信號的DOA估計。由于該算法實現(xiàn)了真實的信號子空間的判斷，因此，比傳統(tǒng)基于MSWF算法具有更高地估計精度。特別是在低信噪比時，增強了算法的實用性，仿真結(jié)果證明了算法的有效性。

角度估計，低信噪比，低復(fù)雜度，信號子空間

0 引言

波達(dá)方向（DOA）估計是陣列信號處理的重要方面，在無線電通信、雷達(dá)、聲納、導(dǎo)航、地震探測和醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用［1］，子空間類算法因其良好估計性能和分辨力，開創(chuàng)了超分辨處理的新局面［2］，已經(jīng)成為DOA估計中經(jīng)典的方法。但是，常規(guī)ESPRIT算法需要得到信號子空間，而通常方法是通過估計樣本協(xié)方差矩陣并對其作特征值分解，需要的運算量約為O（L2N+L3）。顯然，如果陣元數(shù)較多的話，該方法所需要的運算量是相當(dāng)大的，難以實時處理，相關(guān)資料見文獻(xiàn)［3-10］。

本文基于文獻(xiàn)［10］在低信噪比時不能正確估計信號波達(dá)方向的問題，提出了一種新算法。首先構(gòu)建適合于ESPRIT算法的多級維納濾波器（MSWF）結(jié)構(gòu)，再利用協(xié)方差矩陣的一列作為參考信號，通過多級維納濾波器，得到P'級匹配濾波器，通過參考信號與觀測信號的自相關(guān)模值，判斷出所需的匹配濾波器級數(shù)，再根據(jù)參考信號的自相關(guān)模值大小找出最接近真實信號子空間的P級維納濾波器。該算法具有低運算量，增強了處理的實時性，在低信噪比情況下，仍能實現(xiàn)信號的DOA估計。

1 信號模型

圖1 均勻線陣示意圖

如圖1所示，均勻線陣陣元間距為d，陣元個數(shù)為L。假設(shè)有P個窄帶信號（P＜L），為遠(yuǎn)場點目標(biāo)，入射角度為θi（i=1，2，…，P），波長為λ。則陣列接收向量可以表示為

x（t）、S（t）、n（t）、A分別為陣列輸出向量、入射信號向量、陣列噪聲向量和陣列流型向量，假設(shè)n（t）服從零均值，方差為σ2的復(fù)高斯白噪聲。且有

k=1，2，…，L；i=1，2，…，P。以第1個陣元為參考陣元，則第k個陣元的輸出信號可以表示為：

其中，（·）T表示矩陣（向量）的轉(zhuǎn)置。

2 改進(jìn)的ESPRIT算法

2.1 子空間的估計算法

維納濾波是最小均方誤差（MMSE）準(zhǔn)則下的線性濾波，它在已知信號和噪聲的相關(guān)函數(shù)情況下，通過求解維納—霍普方程，對平穩(wěn)信號進(jìn)行最優(yōu)濾波。經(jīng)典維納濾波器結(jié)構(gòu)如圖2所示。求得，維納濾波器的原理是通過X0（k）和d0（k）對消掉彼此相關(guān)的信號分量完成濾波過程。

圖2 維納濾波器

多級維納濾波器是維納濾波器的一種等效多級實現(xiàn)形式，它利用一序列正交投影，將輸入信號向量進(jìn)行多級分解，再進(jìn)行多級標(biāo)量維納濾波。多級維納濾波器的結(jié)構(gòu)如圖3所示，這里以N=3為例。

圖3 多級維納濾波器

多級維納濾波處理的主要原理是：對觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行正交空間投影，一個子空間是通過參考信號與觀測信號的互相關(guān)向量得到的稱為信號相關(guān)空間，另一子空間正交于這個子空間。然后把觀測數(shù)據(jù)投影到信號相關(guān)空間得到新的參考信號，投影到另一子空間得到新的觀測數(shù)據(jù)，然后按照上述方法繼續(xù)投影?；ハ嚓P(guān)向量只能提取di（k）和Xi（k）相關(guān)的信號分量，由于信號是相關(guān)的，而噪聲干擾則是無關(guān)的，因此，互相關(guān)向量rx0d0只提取了信號分量，噪聲分量對互相關(guān)向量是沒有貢獻(xiàn)的。因此，通過不斷投影，信號分量將被全部提取，di（k）和Xi（k）只包含噪聲，達(dá)到把信號和噪聲分離的目的。

多級維納濾波器，只需要各級數(shù)據(jù)Xi（k）和參考信號di（k）估計互相關(guān)向量rx0d0，并且只有標(biāo)量求逆（倒數(shù)）運算，因此，多級維納濾波器的計算量較小，特別是對大型陣、協(xié)方差矩陣求逆計算量較大時，多級維納可有效降低計算量。另外，MSWF很容易應(yīng)用在降秩處理，將多級維納濾波器在r級分解處截斷，得到降秩MSWF。

具體步驟如下：

（1）預(yù)處理:數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣

（2）初始化：

其中，R為式（9）中構(gòu)造協(xié)方差矩陣，d0為R的第一列。

E［·］為均值，（·）*為共軛運算，（·）H為共軛轉(zhuǎn)置運算，‖·‖2為2范數(shù)。

2.2 信號子空間的估計

可以證明信號子空間可以由多級維納濾波器的匹配濾波器得到。如果沒有噪聲干擾時可以由前P級匹配濾波器張成。然而實際中只含有信號的參考信號無法得到，采用陣元接收到的數(shù)據(jù)作為參考信號，不可避免地引入噪聲，此時由于參考信號向量不再和噪聲向量正交，匹配濾波器中就加入了噪聲向量，而信號子空間則泄漏到噪聲子空間，因此，前P級維納濾波器此時不是正確的信號向量。

從表中看出，特征分解產(chǎn)生大特征值，代表信號的“交叉譜能量”，主要集中在前兩級，與其相對應(yīng)的子空間就是信號子空間，與信號個數(shù)相同。而多級維納濾波分解的能量則泄漏到了第3級，尤其在低信噪時能量甚至泄漏到第4級。因此，前P級的維納濾波器不能表示所有的信號矢量，需要重新選取信號子空間。根據(jù)上述分析可知，σi和λ特征值有著類似的性質(zhì)，都代表者參考信號的能量，它體現(xiàn)出了信號能量的“分布情況”。因此，可以用σi作為選取信號子空間的參數(shù)。

通過上述分析可以看出在信噪比較高時，信號能量集中在前兩級，與信號源個數(shù)P相同，因此，只需要前P級維納濾波器，而當(dāng)信噪比較低時，由于噪聲子空間泄漏到信號子空間，前P級維納濾波器不是真實的信號子空間，信號可能包含在前P'級維納濾波器中，因此，需要通過設(shè)定判斷條件，首先確定信號子空間所需的維納濾波器級數(shù)，再根據(jù)σi選取真實的信號子空間。

具體過程如下：

2.2.1 確定信號子空間估計所需的濾波器級數(shù)

根據(jù)信噪比的高低調(diào)節(jié)多級維納濾波器的級數(shù)，通過如下語句可以判斷：

其中：σmax和σmin分別表示i級分解中自相關(guān)向量σ最大和最小的模值。

2.2.2 確定信號子空間

根據(jù)對信號自相關(guān)σi（i=1，2，…，P'）進(jìn)行排序，選取最大的P個σi，對應(yīng)的子空間就是信號子空間。

2.3 ESPRIT算法

又由UB=UFΨ得Ψ=T-1ΦT=UF-1UB，對Ψ進(jìn)行特征分解即可得到Φ（Ψ和Φ具有相同的特征值），從而利用ESPRIT方法完成DOA估計。

2.4 算法流程

步驟1根據(jù)式（9）計算協(xié)方差矩陣R，并且根據(jù)式（10）選取初始參考信號和數(shù)據(jù)；

步驟2 i=i+1；

步驟3根據(jù)式（11）～式（14）得到子空間，其中由式（13）得到信號的能量σi；

步驟4如果i＜2，跳轉(zhuǎn)步驟2。否則通過式（15）～式（19）進(jìn)行判斷，如果式（18）成立，那么得到包含信號子空間的，對信號自相關(guān)σi（i=1，2，…，P'）進(jìn)行排序，選取最大的P個σi，對應(yīng)的子空間就是信號子空間。如果式（18）不成立，跳轉(zhuǎn)步驟2；

步驟5根據(jù)2.3節(jié)ESPRIT算法得到信號的波達(dá)方向。

3 算法的性能分析

采用上述算法估計DOA具有如下的優(yōu)點：①由于本文算法不進(jìn)行矩陣的特征值分解，所需的運算量較低，能夠更好解決DOA估計的實時性；②本文算法的計算量為O（NL2+P'L2），而常規(guī)ESPRIT算法所需的計算量為O（NL2+L3），在陣元數(shù)較多時，本文算法能減小計算量。

4 實驗仿真

使用陣元數(shù)為 16的均勻線陣，陣元間隔d=λ/2，噪聲為加性復(fù)高斯白噪聲，定義。其中p表示角度的估計值，θp表示角度的真實值。MC為Monte Carlo仿真次數(shù)。

實驗1：采用本文算法實現(xiàn)信號源的DOA估計，驗證算法有效性。

2個波長為λ的非相干信號，入射角度分別為-45°，45°，信噪比SNR=0dB，快拍數(shù)N=256，試驗次數(shù)M=100，仿真結(jié)果如圖4所示，信噪比SNR=-10 dB，仿真結(jié)果如圖5所示。

從圖4可以看出在信噪比為0 dB時，本文算法和文獻(xiàn)［10］算法估計出來的角度與真實角度基本重合，因為在信噪比較高時，噪聲子空間沒有泄漏到信號子空間，本文算法和文獻(xiàn)［10］算法估計出的信號子空間相同，因此，估計性能相當(dāng)。

圖4 信噪比為0dB估計結(jié)果

圖5 信噪比為-10dB估計結(jié)果

從圖5可以看出本文算法在信噪比SNR=-10dB仍然有效。在低信噪比時，本文算法估計得到的角度與真實角度重合，準(zhǔn)確地估計了真實的角度。而文獻(xiàn)［10］估計出的角度有較大的偏差，算法已經(jīng)失效。這是因為在低信噪比時本文算法能夠識別真實信號子空間，而文獻(xiàn)［10］的算法中的信號子空間包含噪聲子空間。

實驗2:本文算法、文獻(xiàn)［10］算法的估計性能比較。

3個波長為λ的全相干信號，入射角度為-45°，-30°，60°，陣元數(shù)為24，快拍數(shù)N=256，信噪比從-10 dB變化到25 dB，每dB做200次Monte Carlo實驗，比較兩種算法的RMSE，仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 RMSE與SNR之間的關(guān)系

從圖6中可以看出本文算法與文獻(xiàn)［10］算法相比，在信噪比較高時（SNR＞-4 dB），估計精度和估計效果相當(dāng)，這是因為在高信噪比時，噪聲子空間沒有泄漏到信號子空間，本文算法與文獻(xiàn)［10］算法估計的信號子空間相同。而在低信噪比的情況下，本文算法仍然能成功估計出信號的波達(dá)方向，文獻(xiàn)［10］算法已經(jīng)失效。這是因為多級維納濾波在低信噪比時，噪聲子空間泄露到信號子空間，文獻(xiàn)［10］的算法估計出信號子空間不是真實的信號子空間，本文算法以參考信號的自相關(guān)能量為標(biāo)準(zhǔn)，選取了正確的信號子空間，從而估計出真實的信號角度。

5 總結(jié)

本文研究了低信噪比時，基于多級維納濾波器的ESPRIT算法估計波達(dá)方向的問題，提出了一種新的適合于 ESPRIT算法的多級維納濾波器（MSWF）結(jié)構(gòu)，找到了一種能判別信號子空間的方法。首先通過研究多級維納濾波器在低信噪比時的性質(zhì)，指出此時存在子空間泄漏問題，再通過參考信號自相關(guān)能量σi作為信號子空間的判斷標(biāo)準(zhǔn)，從而找到真實信號子空間，正確地估計出信號的波達(dá)方向，特別是在低信噪比的情況下估計性能仍然較好。該算法不需要特征值分解，因此，所需的運算量較低，在低信噪比時仍然有效，提高了該算法的實用性，適用于對信號處理實時性要求較高的陣列天線系統(tǒng)。

［1］Puska H，Saarn I I.Serial Search Code Acquisition Using an

Art Antennas with Single Correlator or Matched Filter［J］. IEEE Transationson Communication（S0090-6778），2008，56（2）：299-307.

［2］Schmidt R O.Multiple Emitter Location and Single Parameter Estimation［J］.IEEE Trans AP，1986，34（3）：276-280.

［3］Goldstein J S，Reed I S，Scharf L L.A Multistage Representation of the Wiener Filter Based on Orthogonal Projections［J］.IEEE Transactions on Information Theory，1998，44（7）：2943-2959.

［4］黃磊.快速子空間估計方法研究及其在陣列信號處理中的應(yīng)用［D］.西安:西安電子科技大學(xué)，2005.

［5］包志強.快速穩(wěn)健的參數(shù)估計及波束形成技術(shù)研究［D］.西安：西安電子科技大學(xué)，2006.

［6］劉敏，金光明，戴旭初.一種基于多級維納濾波的信號子空間快速估計方法［J］.中國科技大學(xué)學(xué)報，2009，39（8），792-797.

［7］于紅旗，黃知濤，周一宇，等.一種基于搜索的快速MUSIC方法［J］.現(xiàn)代雷達(dá)，2008，30（9）：74-83.

［8］王偉，王咸鵬，馬躍華.基于多級維納濾波的雙基地MIMO雷達(dá)多目標(biāo)定位方法［J］.航空學(xué)報，2012，33（7）：1281-1288.

［9］莊學(xué)彬，陸明泉，馮振明.一種數(shù)值穩(wěn)健且低復(fù)雜度的信號子空間估計新方法［J］.電子信息學(xué)報，2011，33（1）：90-94.

［10］于紅旗，黃知濤，周一宇，等.一種不需要特征值分解的ESPRIT方法［J］.信號處理，2008，24（3）：357-360.

［11］Golub G H，van Loan C F.矩陣計算［M］.北京:科學(xué)出版社，2001.

The Modified ESPRIT Method Under Low SNR Condition

ZHANG Zheng-yan，LI Xiao-bo，XU Xu-yu，ZHOU Chun-ye
（Electronic Engineering Institute，Hefei 230037，China）

In low SNR，a new multistage wiener filtering（MSWF）suitable for ESPRIT is proposed for the instant problem among direction-of-arrival（DOA）estimation of signals.Firstly，the MSWF is combined with ESPRIT.Then subspace can be acquired through spatially smoothed forward recursion of the multistage wiener filtering，not through the matrix eigenvalue decomposition.In low SNR，the noise subspace leaked to the signal subspace，a discriminated method is proposed to find a more accurate signal subspace.The DOA of singles can be estimated combining with the subspace kind algorithms such as ESPRIT.Because this algorithm has realized the judgment of the real signal subspace，it has higher estimation precision than the traditional algorithm based on MSWF.Especially in low SNR，enhance the practicability of the algorithm.Simulation results verify that the proposed algorithm is effective.

DOA estimation，low SNR，low complexity，signal subspace

TN957

A

1002-0640（2015）06-0091-05

2014-05-07

2014-06-23

張正言（1991- ），男，安徽宿州人，碩士研究生。研究方向：MIMO雷達(dá)信號處理，陣列信號處理。