幾乎可數(shù)仿緊空間的性質(zhì)與刻畫

蔡奇嶸, 劉唐偉

(東華理工大學(xué) 理學(xué)院, 江西 南昌 330013)

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幾乎可數(shù)仿緊空間的性質(zhì)與刻畫

蔡奇嶸, 劉唐偉

(東華理工大學(xué) 理學(xué)院, 江西 南昌 330013)

在Elise Grabner定義幾乎亞緊空間的基礎(chǔ)上，引入了幾乎可數(shù)仿緊空間，得到了一個(gè)關(guān)于它的等價(jià)刻畫定理：X為幾乎可數(shù)仿緊空間當(dāng)且僅當(dāng)X的每個(gè)可數(shù)散射分解有一個(gè)幾乎局部有限的開膨脹。討論了幾乎仿緊空間、幾乎可膨脹空間、幾乎可數(shù)仿緊空間三者之間的關(guān)系：幾乎κ-仿緊空間是幾乎κ-可膨脹的?？臻gX是幾乎可數(shù)仿緊的當(dāng)且僅當(dāng)X是幾乎可數(shù)可膨脹的。

幾乎可數(shù)仿緊；幾乎可膨脹；幾乎局部有限；散射分解

蔡奇嶸, 劉唐偉.2015.幾乎可數(shù)仿緊空間的性質(zhì)與刻畫[J].東華理工大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，38(4)：458-460.

Cai Qi-rong,Liu Tang-wei.2015.Properties and characterization of nearly countable paracompact spaces[J].Journal of East China Institute of Technology (Natural Science), 38(4)：458-460.

廣義仿緊空間理論研究是一般拓?fù)鋵W(xué)中很重要的研究課題之一。Grabner等(1999)定義了幾乎亞緊(亞lindel?f)空間的概念，并給出了它的一個(gè)刻畫，得到了幾乎亞緊空間是緊空間的兩個(gè)充分條件。曹金文(2003)又引入了幾乎仿緊空間，獲得了無限個(gè)因子的Tychonoff積的兩個(gè)等價(jià)定理，還給出了幾乎仿緊空間的一個(gè)刻劃。本文在此基礎(chǔ)上，引入了幾乎可數(shù)仿緊空間，對(duì)它的有關(guān)性質(zhì)作了初步的探討。

本文用N表示自然數(shù)集，(ξ)x和N(x)分別表示集族{U∈ξ∶x∈U}和點(diǎn)x的鄰域系；(ξ)G表集族{U∈ξ∶U∩G≠?}；St(G,ξ)=∪(ξ)G；|∑|表示集合∑的基數(shù)；ω表示非負(fù)整數(shù)集，也表示第一無限序數(shù)；ClA和IntA分別表示集合和閉包和內(nèi)部。本文所涉及的所有拓?fù)淇臻g都假設(shè)為Hausdorff空間，并且簡稱拓?fù)淇臻g為空間，采用的記號(hào)及引用的結(jié)論，如不聲明，均與Engelking(1997)，蔣繼光(1991)相同。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 設(shè)λ是一個(gè)基數(shù),并且λ≥2,空間X稱為是λ-仿緊的,如果X的每個(gè)≤λ勢的開覆蓋有一個(gè)局部有限的開加細(xì)(蔣繼光，1991)。

定義2 空間X稱為是幾乎仿緊的當(dāng)且僅當(dāng)X的每個(gè)開覆蓋U，都存在X的一個(gè)稠密子集D和U的開加細(xì)η，對(duì)任意x∈D，存在o∈N(x)，使得(η)o是有限的(曹金文，2003)。

定義3 空間X的一個(gè)散射分解是指X的兩兩不相交的子集構(gòu)成的覆蓋{Lα∶α<γ}并且滿足?α<γ，∪{Lδ∶δ<γ}開于(Junnila et al.,1986)。

2 關(guān)于幾乎可數(shù)仿緊空間

2.1 相關(guān)的概念

定義4 設(shè)ξ是空間X的一個(gè)子集族，稱ξ在空間X內(nèi)是幾乎局部有限的，如果存在X的一個(gè)稠密子集D，對(duì)任意x∈D，存在o∈N(x)，使得(ξ)o是有限的。

定義5 設(shè)ξ={Uα∶α<γ}是空間X的一個(gè)子集族，稱ζ={Vα∶α<γ}是ξ在X中具有幾乎局部有限的開膨脹，如果滿足條件：

⑴ζ在空間X內(nèi)是幾乎局部有限的開集族。

⑵對(duì)任意α<γ，Uα?Vα。

定義6 設(shè)基數(shù)κ≥ω，空間X稱為是幾乎κ-仿緊的當(dāng)且僅當(dāng)X的每個(gè)勢≤κ的開覆蓋U，都有幾乎局部有限的開加細(xì)。

幾乎ω-仿緊空間又稱為是幾乎可數(shù)仿緊空間。

定義7 ⑴ 設(shè)基數(shù)κ≥ω，空間X稱為是幾乎κ-可膨脹的當(dāng)且僅當(dāng)X的每個(gè)局部有限的閉集族{Fα∶α<κ}，都存在X的幾乎局部有限的開集族U={Uα∶α<κ}，且對(duì)任意α<κ，F(xiàn)α?Uα。

幾乎ω-可膨脹空間又稱為是幾乎可數(shù)可膨脹空間。

⑵ 空間X是幾乎可膨脹的，如果對(duì)任意κ≥ω，X是幾乎κ-可膨脹的。

2.2 主要結(jié)論

定理1 若空間X的開覆蓋ξ={U(s)∶s∈S}有幾乎局部有限的開加細(xì)η，則ξ有一個(gè)幾乎局部有限的精確開加細(xì)。

證明：設(shè)η={Vt∶t∈T}，對(duì)任意Vt∈η，存在s(t)∈S，使Vt?U(s(t))，對(duì)任意s∈S，令W(s)=U{Vt∈η∶s(t)=s}，下證{W(s)∶s∈S}為ξ的幾乎局部有限的精確開加細(xì)。事實(shí)上，因?yàn)棣?{Vt∶t∈T}幾乎局部有限，所以存在X的一個(gè)稠密子集D，對(duì)任意x∈D，存在U∈N(x)，使得(η)o是有限的。即存在有限集T0?T，使得對(duì)任意t∈TT0，有U∩Vt=?，

所以{W(s)∶s∈S}為ξ={U(s)∶s∈S}的幾乎局部有限的精確開加細(xì)。

定理2 X為幾乎可數(shù)仿緊空間當(dāng)且僅當(dāng)X的每個(gè)可數(shù)散射分解有一個(gè)幾乎局部有限的開膨脹。

證明： 充分性，設(shè){Ln∶n∈N}是X的任意可數(shù)散射分解，令Un=∪{Lk∶k≤n}，則{Un∶n∈N}是X的一個(gè)開覆蓋，由定理1知，其存在X中幾乎局部有限的精確開加細(xì){Vn∶n∈N}，存在X的一個(gè)稠密子集D和U，對(duì)任意x∈D，存在O∈N(x)，使得|{Vn∶O∩Vn≠?,n∈N}是有限的，令Wn=∪{Vk∩Un∶k≥n}。

設(shè)i(x)=max{n∈N∶O∩Vn≠?}，則對(duì)任意j>i(x)，∪k>jVk∩O=?，由于Wn?∪{Vk∶k≥n}，則{Wn∶n∈N}也是X中幾乎局部有限的。由于{Ln∶n∈N}是X的散射分解，所以對(duì)任意i∈N,n

Li?∪{Vk∩Li∶k≥i}?∪{Vk∩Li∶k≥i}=Wi，

所以{Wn∶n∈N}是{Ln∶n∈N}在X中幾乎局部有限的開膨脹。

定理3 幾乎κ-仿緊空間是幾乎κ-可膨脹的。

定理4 空間X是幾乎可數(shù)仿緊的當(dāng)且僅當(dāng)X是幾乎可數(shù)可膨脹的。

證明： 充分性，由定理3可知。

必要性，設(shè)ζ={Un∶n∈N}為幾乎可數(shù)可膨脹空間X的可數(shù)開覆蓋。令E0=U0，對(duì)n≥1，En=Un∪i

由定理3與定理4可得以下結(jié)論：

推論1：幾乎仿緊空間是幾乎可膨脹的，幾乎可膨脹空間是幾乎可數(shù)仿緊的。

曹金文. 2003.幾乎仿緊空間[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),19(1):57-60.

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Properties and Characterization of Nearly Countable Paracompact Spaces

CAI Qi-rong, LIU Tang-wei

(School of Science, East China Institute of Technology, Nanchang, JX 330013, China)

The notion of nearly countable paracompact spaces on the basis of Elise Grabner defined nearly metacompact spaces are introduced, get a equivalent characterization:Xis a nearly countable paracompact space if and only if every scattered partition ofXhave a nearly locally finite open expansion. And also discuss of the relationship between nearlyκ-paracompact spaces, nearly countable paracompact spaces and nearlyκ-expandable spaces:Nearlyκ-paracompact space is a Nearlyκ-expandable space.Xis a nearly countable paracompact space if and only ifXis a nearly countable expandable space.

nearly Countable paracompact; nearly expandable; nearly locally finite; scattered patition.

2014-09-02

江西省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(20114BAB201016)；江西省教改基金資助項(xiàng)目(JXJG-11-8-21)

蔡奇嶸(1982—),女,碩士,講師，主要從事一般拓?fù)鋵W(xué)的研究。E-mail：qrcai@ecit.cn

10.3969/j.issn.1674-3504.2015.04.020

O189.11

A

1674-3504(2015)04-0458-03