幾種常微分方程解法中的數(shù)學(xué)化歸思想分析

賈麗麗

【摘 要】化歸思想作為數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法之一，在常微分方程解法中多有應(yīng)用?；瘹w思想可以有效幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)常微分方程，同時(shí)能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和應(yīng)用能力，所以教師應(yīng)該在日常數(shù)學(xué)教學(xué)中有意識地引導(dǎo)學(xué)生樹立化歸思想意識。本文主要介紹了化歸思想在一階常微分方程、高階常微分方程以及線性常微分方程組求解中的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】常微分方程 化歸思想 教學(xué)

常微分方程最早出現(xiàn)在17世紀(jì)，其理論性和應(yīng)用性都很強(qiáng)。歷史上的著名物理學(xué)家牛頓，就是通過常微分方程證明了地球是沿著橢圓的軌道繞太陽運(yùn)動的?，F(xiàn)如今，常微分方程更是被廣泛地應(yīng)用在了航天、醫(yī)藥、信息、生物、軍事等諸多領(lǐng)域中。常微分方程的教學(xué)過程中，可以采用多種數(shù)學(xué)思想方法，幫助學(xué)生深化理解該知識點(diǎn)的核心內(nèi)容，其中，化歸思想就是最常用的一種?；瘹w思想指的就是將需要解決的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為相對簡單或是已經(jīng)解決了的問題。下面介紹幾種采用化歸思想解決的常微分方程。

一、一階常微分方程

變量分離方程以及恰當(dāng)方程是一階常微分方程中最基礎(chǔ)的方程類型，其他類型如伯努利方程、線性方程、齊次方程等，都可以通過進(jìn)行變量替換的方式或是采取積分因子化的方式轉(zhuǎn)變?yōu)檫@兩種基礎(chǔ)的方程類型。其中，數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用正體現(xiàn)了化歸思想。

例1 求解常微分方程=。

解析：觀察等式右側(cè)的分子分母，分別提出公因式移到等式右側(cè)，右側(cè)分子分母再湊微分，便可以進(jìn)行變量替換，化簡方程。該題在求解過程中需要運(yùn)用三次變量替換，最后轉(zhuǎn)變?yōu)樽兞糠蛛x方程，化歸成能夠求解的方程。

二、高階常微分方程

針對高階常系數(shù)的齊次線性方程來說，可以通過特征值法求解，首先求得基本的解組，可以有效降減低積分運(yùn)算的復(fù)雜程度，而高階非齊次線性方程首先可轉(zhuǎn)化為求對應(yīng)齊次線性方程通解，再采用待定系數(shù)法求解。另外，冪級數(shù)解法與待定系數(shù)法的思想比較相似，也是簡化積分運(yùn)算的化歸思想方法之一。

例2 求解微分方程x″′-x=cost。

解析：首先，將非齊次方程化歸為可求解的方程，即求該方程對應(yīng)的齊次方程的通解，再由f（t）=cost，可設(shè)，原方程的應(yīng)取特解為x=Acost+Bsint，進(jìn)而找出方程特解，最后求出該方程通解。

三、線性常微分方程組

要想對非齊次線性常微分方程組求解，其中的關(guān)鍵點(diǎn)在于怎樣求出相應(yīng)的基解矩陣。只要求出基解矩陣，那么方程組所有的解都可以通過該矩陣表示出來，而非齊次線性常微分方程組的解通過積分的方式，利用基解矩陣表示出來。由常微分齊次線性方程組求得的系數(shù)矩陣是常數(shù)矩陣，那么基解矩陣便可以通過求出的系數(shù)矩陣求解，求解方法通?？梢圆捎美绽棺儞Q法或是特征向量法。這樣一來，對于含有常系數(shù)的線性微分方程組求解問題，便可以順利地轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，其中化歸思想得到了很好的體現(xiàn)。

例3 求線性方程組x′=Ax+f（t），其解可以表為φ（t），且已知φ（0），A，f（t）。

解析：由題可知，這是一個(gè)非齊次線性方程組，首先要先求出對應(yīng)齊次的基解矩陣，進(jìn)而求出相應(yīng)的解。

解：由x′=Ax，可以求出基解矩陣φ（t）=[φ1（t），φ2（t）]，另，齊次線性方程組的基解矩陣應(yīng)滿足φ（t）=exp（At），再利用非齊

次方程組通解公式φT（t）=exp（tA）φη+即可求得。

四、結(jié)語

化歸思想在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中是最重要的數(shù)學(xué)思想方法之一。雖然在解決不同的數(shù)學(xué)問題時(shí)，化歸思想的體現(xiàn)并不完全相同，但是綜合分析化歸思想的基本原則都是將復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單、未知轉(zhuǎn)化為已知、困難轉(zhuǎn)化為容易的一種思想方法。化歸思想在微積分方程中得到了有效的應(yīng)用，解決了很多難題，例如，高斯公式證明，可以一步步轉(zhuǎn)化為斯托克斯公式、格林公式、牛頓——萊布尼茲公式的證明。學(xué)生在學(xué)習(xí)常微分方程的過程中運(yùn)用化歸思想可以更好地理解學(xué)習(xí)知識點(diǎn)，體會數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，領(lǐng)悟更好的學(xué)習(xí)方法，在日后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和實(shí)際工作生活中形成化歸思想意識，勇于面對并解決新問題。所以，數(shù)學(xué)教師在日常的教學(xué)活動中，應(yīng)該有意識地培養(yǎng)學(xué)生采用化歸思想解決數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而提升學(xué)生的綜合素質(zhì)。

【參考文獻(xiàn)】

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