中考數(shù)學(xué)填空題解答技巧

劉頓

填空題和選擇題一樣都屬小題，要求每題盡可能在短時間內(nèi)作答，因而可加大中考試卷卷面的知識容量，同時也可以考查同學(xué)們對數(shù)學(xué)概念的理解、數(shù)量問題的計算解決能力和推理論證能力.一般來講，每道題都應(yīng)力爭在3分鐘內(nèi)完成.填空題只要求填寫結(jié)果，每道題填對了得滿分，填錯了得零分.

解答填空題的基本要求是：正確、迅速、合理、簡捷.解題的基本策略是：巧做.解題的要領(lǐng)：快——運算要快，力戒小題大做；穩(wěn)——變形要穩(wěn)，不可操之過急；全——答案要全，力避殘缺不齊；活——解題要活，不要生搬硬套；細(xì)——審題要細(xì)，不能粗心大意.

由此，在填空題上失分一般比選擇題和解答題嚴(yán)重，結(jié)合這種現(xiàn)象，我們很有必要探討填空題的解答策略和方法.

直接法是解填空題的基本方法，它是直接從題設(shè)條件出發(fā)，通過變形、推理、運算等過程，直接得到結(jié)果.它是解填空題的最基本、最常用的方法.使用直接法解填空題，要善于通過現(xiàn)象看本質(zhì)，熟練應(yīng)用解方程和解不等式的方法，自覺地、有意識地采取靈活、簡捷的解法.

例1 （2014年浙江省湖州卷）計算：50°-15°30′=______.

分析 根據(jù)度化成分乘以60，可得度分的表示方法，根據(jù)同單位的相減，可得答案.

解 50°-15°30′=49°60′-15°30′=34°30′，故答案為：34°30′.

說明 此類題是進(jìn)行度、分、秒的加法計算，相對比較簡單，注意以60為進(jìn)制即可.

定義法是運用數(shù)學(xué)中的相關(guān)定義、概念、定理、公理等內(nèi)容，作出正確解答的一種方法.

例2 （2014年湖南省長沙卷）拋物線y=3（x-2）2+5的頂點坐標(biāo)是___________.

分析 由于已知拋物線的解析式是頂點式，所以可以直接寫出結(jié)論.

解 依題意，得拋物線y=3（x-2）2+5的頂點坐標(biāo)是（2，5）.

當(dāng)填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個定值，而已知條件中含有某些不確定的量時，可以將題中變化的不定量選取一些符合條件的恰當(dāng)特殊值，或特殊角、圖形特殊位置、特殊點等進(jìn)行處理，從而得出探求的結(jié)論，這樣可大大地簡化推理、運算的過程.

例3 （2014年貴州省貴陽卷）若m+n=0，則2m+2n+1=______.

分析 由于m+n=0，于是可以設(shè)m=1，n=-1，代入計算即可.

解 ∵ m+n=0，∴設(shè)m=1，n=-1，當(dāng)m=1，n=-1時，2m+2n+1=2×1+2×（-1）+1=1.即結(jié)果為1.

說明 本題的條件為m+n=0，即m與n是一對相反數(shù)，所以在取特殊值代入計算時，只要滿足所取的兩個數(shù)是一對相反數(shù)即可.

“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微.”數(shù)學(xué)中大量數(shù)與形的問題后面都隱含著形的信息，圖形的特征上也體現(xiàn)著數(shù)的關(guān)系.我們要將抽象、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，通過形的形象、直觀揭示出來，以達(dá)到“形幫數(shù)”的目的；同時我們又要運用數(shù)的規(guī)律、數(shù)值的計算，來尋找處理形的方法，來達(dá)到“數(shù)促形”的目的.對于一些含有幾何背景的填空題，若能數(shù)中思形，以形助數(shù)，則往往可以簡捷地解決問題，得出正確的結(jié)果.

例4 （2014年湖北省鄂州卷）如圖，直線y=kx+b過A（-1，2）、B（-2，0）兩點，則0≤kx+b≤-2x的解集為______.

分析 觀察圖象，利用一次函數(shù)的性質(zhì)直接確定不等式的解集.

解 根據(jù)題意可知，直線y=-2x過點（-1， 2），結(jié)合函數(shù)的圖象可知，0≤kx+b≤-2x所對應(yīng)的自變量的取值范圍是-2≤x≤-1，即0≤kx+b≤-2x的解集為-2≤x≤-1.

說明 一方面，利用一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定不等式解集的關(guān)鍵是要能正確理解圖象的意義，準(zhǔn)確地從函數(shù)圖象中捕捉求解的信息；另一方面，有關(guān)不等式與函數(shù)結(jié)合的試題大致有兩種情形：一是通過函數(shù)圖象，利用不等式比較大??；二是利用不等式與函數(shù)結(jié)合確定最優(yōu)方案和最值問題.另外，本題也可以先通過待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式，進(jìn)而通過圖象求解.

轉(zhuǎn)化法是通過“化復(fù)雜為簡單，化陌生為熟悉”，將問題等價地轉(zhuǎn)化成便于解決的問題，從而得出正確的結(jié)果.

例5 （2014年江蘇省無錫卷）如圖，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=3，⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、⊙A和⊙B的動點，則PE+PF的最小值是______.

分析 為了方便求解，可將求PE+PF的最小值轉(zhuǎn)化為基本圖形與常見問題來處理，即在直線CD的同一側(cè)，有兩個定點A、B，試在直線CD上找一點P，使PA+PB的值最小.

解 連結(jié)BF、AE，則BF=1、AE=2.將求“PE+PF的最小值”轉(zhuǎn)化為求“PE+2+PF+1的最小值”，即轉(zhuǎn)化為在如圖1中求“PA+PB的最小值”，此時出現(xiàn)了基本圖形與常見問題：在直線CD的同一側(cè)，有兩個定點A、B，試在直線CD上找一點P，使PA+PB的值最小.如圖2，過點A作關(guān)于直線CD的對稱點A′，連結(jié)A′B，交直線CD與點P，則P與D重合，CD⊥AA′，PA=PA′，此時PA+PB的最小值為線段A′B的值.在菱形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=60°，∴∠BAA′=90°，∠A′=30°，因此A′B=2AB=6.即如圖1中PA+PB的最小值為6，從而PE+PF的最小值為6-3=3.

說明 現(xiàn)階段我們求線段和的最小值的常見題型：（1）兩點在一條直線兩側(cè)；（2）兩點在一條直線同側(cè)（涉及一次軸對稱）；（3）一點在兩相交直線內(nèi)部（涉及二次軸對稱）；（4）兩點在兩相交直線內(nèi)部（涉及二次軸對稱）.解答以上最值問題的基本原理：①兩點之間線段最短；②垂線段最短.

近年來的中考試卷中頻頻出現(xiàn)一些規(guī)律探究型的填空題，此類題一般都具有一定的難度，要求同學(xué)們善于分析題意，并通過歸納、猜想、驗證，從而得到結(jié)果.

例6 （2014年江蘇省鹽城卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長不等的正方形依次排列，每個正方形都有一個頂點落在函數(shù)y=x的圖象上，從左向右第3個正方形中的一個頂點A的坐標(biāo)為（8，4），陰影三角形部分的面積從左向右依次記為S1，S2，S3，…，Sn，則Sn的值為___（用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）.

分析 根據(jù)直線解析式判斷出直線與x軸的夾角為45°，從而得到直線與正方形的邊圍成的三角形是等腰直角三角形，再根據(jù)點A的坐標(biāo)求出正方形的邊長并得到變化規(guī)律表示出第n個正方形的邊長，然后根據(jù)陰影部分的面積等于一個等腰直角三角形的面積加上梯形的面積再減去一個直角三角形的面積列式求解并根據(jù)結(jié)果的規(guī)律解答即可.

說明 本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形的面積、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，依次求出各正方形的邊長是解題的關(guān)鍵，難點在于求出陰影Sn所在的正方形和正方形的邊長.

（編輯 孫世奇）