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    一類面積最值問(wèn)題解法探究

    2015-06-18 17:04徐世奎
    文理導(dǎo)航 2015年17期
    關(guān)鍵詞:二次函數(shù)拋物線面積

    徐世奎

    【摘 要】數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一就是它具有嚴(yán)密的系統(tǒng)性,數(shù)學(xué)的知識(shí)、思想、方法之間都有密切的內(nèi)在聯(lián)系。要理解和掌握數(shù)學(xué)的知識(shí)、思想和方法,不僅要理解和掌握數(shù)學(xué)的每一個(gè)知識(shí)、思想和方法,而且還要理解和掌握數(shù)學(xué)的知識(shí)、思想、方法之間的內(nèi)在聯(lián)系。那么善于總結(jié)歸納數(shù)學(xué)思想與方法是學(xué)好數(shù)學(xué)的必須。

    【關(guān)鍵詞】面積;拋物線;二次函數(shù)

    本文以一道習(xí)題的多種解題方法出發(fā),體會(huì)總結(jié)歸納數(shù)學(xué)思想方法對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的好處。

    問(wèn)題:已知拋物線y=ax2+bx+c沿x軸向右平移2個(gè)單位后所得拋物線為y=ax2-4ax+4a+1,正方形ABCD的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),其邊分別平行于坐標(biāo)軸,以O(shè)為圓心的圓在第二象限內(nèi)與正方形ABCD相交于點(diǎn)P、Q,且P、Q在拋物線y=ax2+bx+c上。

    (1)求a的取值范圍;

    (2)設(shè)AB交X軸于點(diǎn)E,若PE⊥EC.求E、C兩點(diǎn)的坐標(biāo);

    (3)在(2)的條件下,設(shè)直線AC與y=ax2+bx+c相交于M、N,問(wèn)在直線AC上方的拋物線y=ax2+bx+c上,是否存在一點(diǎn)T,使得△MNT的面積最大?若存在求出最大面積,并指出此時(shí)T的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。

    考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題

    分析:(1)分析說(shuō)理或論證均可。

    (2)利用相似求出P、Q,坐標(biāo)是關(guān)鍵。

    (3)如何求面積最大值,利用代數(shù)或幾何方法均可,這將是本文探究的重點(diǎn)。

    解析:

    (1)通過(guò)觀察y=ax2-4ax+4a+1,不難發(fā)現(xiàn)y=a(x-2)2+1,將其沿x軸向左平移2個(gè)單位后就成了y=ax2+bx+c,故y=ax2+bx+c即為y=ax2+1。

    方法一(敘述說(shuō)理)

    ∵y=ax2+1的對(duì)稱軸為y軸,經(jīng)過(guò)P、Q兩點(diǎn)

    ∴拋物線的開(kāi)口必須向下

    ∴a<0

    方法二(論述說(shuō)理)

    設(shè)P(xp,yp) Q(xQ,yQ),將其帶入y=ax2+1得

    yp=axP2+1,yQ=axQ2+1

    ∴axP2-axQ2=yp-yQ

    ∴a(xp+xQ)(xp-xQ)=yp-yQ

    ∵yp>yQ,,xp>xQ,xp<0,xQ<0

    ∴xp+xQ<0,xp-xQ:>0,yp-yQ>0

    ∴a= ?<0

    (2)易知△APE∽△BEC,故有 ?= ?= ?,設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,0),則P( ?x0,-x0),根據(jù)HL知△PHOE≌△QEO,故Q(x0,- ?x0),將P,Q坐標(biāo)代入y=ax2+1中得:

    x ? ?+1=-x0ax ? ?+1=- ?x0解之得,x0=- ?,a=-

    ∴E=(- ?,0),C( ?,- ?)

    (3)方法一:幾何法,利用與直線AB平行的直線當(dāng)與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),△MNT以MN為底邊的高最大,從而面積最大。

    由A(- ?, ?),C( ?,- ?)得直線解析式y(tǒng)=-x,故由y=-x+by=- ?x2+1得 ?x2-x+b-1=0,由△=0得b=

    由 ?x2-x+ ?=0得x= ?,∴T( ?, ?)

    方法二:幾何法,將△MNT如圖分解成兩個(gè)共底的三角形。

    S△MNT=S△MST+S△SNT= ?TS(h1+h2)= ?TS×GN

    而GN長(zhǎng)度一定,要使S△MNT最大,則TS長(zhǎng)度最大

    設(shè)T(x1,- ?x ? ?+1),則S(x1,-x1)

    故TS=TS=-- ?x ? ?+x1+1=- ?[(x1- ?)2+ ?]

    ∴當(dāng)x1= ?時(shí)TS最大,此時(shí)T( ?, ?)

    方法三:代數(shù)法,構(gòu)建關(guān)于△MNT的面積的二次函數(shù)是關(guān)鍵。

    設(shè)T(x0,y0)

    S△MNT=S四邊形MGNT-S△MGN=(S梯形MGST+S△TSN)-S△MGN

    故應(yīng)先求出M、N的坐標(biāo),從而得出以x0為自變量的S的二次函數(shù),求出最值。

    可見(jiàn)一題多解,就是對(duì)于同一問(wèn)題,由于觀察的角度不同、側(cè)重點(diǎn)不同,運(yùn)用知識(shí)的不同,思考方向和思維力度的不同,從而得到不同的解法。采用不同方法求解,是開(kāi)拓學(xué)生思路,培養(yǎng)學(xué)生將已學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通的一個(gè)重要途徑,用多種方法解答同一道數(shù)學(xué)題,不僅能更牢固地掌握和運(yùn)用所學(xué)知識(shí),而且,通過(guò)一題多解,分析比較,尋找解題的最佳途徑和方法,能夠培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力。

    (作者單位:湖北省宜昌市夷陵區(qū)分鄉(xiāng)初中)

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