讓數(shù)學概念活起來

張曉芬

摘 要：數(shù)學是思維的科學，概念是思維的細胞，教好概念是教好數(shù)學的內(nèi)在要求。概念教學搞不好，數(shù)學課程目標的實現(xiàn)就失去了根基。然而，現(xiàn)實中不少教師對數(shù)學概念教學有名無實，許多教師甚至認為教概念不如多講幾道題目更“實惠”；更令人擔心的是，有些教師不知如何教概念。學生也往往錯誤地認為，學概念就是背定義、記公式，既沒有形成數(shù)學概念思維，也根本不理解數(shù)學思想。專門整理了一位省高中數(shù)學優(yōu)質(zhì)課一等獎教師的一節(jié)“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)”課堂教學實錄，并作了一些評析。就數(shù)學概念教學引入發(fā)現(xiàn)、形成理解、深化掌握等方面有許多值得學習借鑒的地方，與大家一起分享探討。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；概念教學；思維 一、概念引入發(fā)現(xiàn)

【課堂實錄】

教師：在我們生活中，哪些現(xiàn)象也是周而復始的？請同學們

舉例。

學生：太陽東升西落，人的心臟跳動。

教師：對，生活中，這些現(xiàn)象是周而復始的。今天是星期幾？

學生：星期四。

教師：再過幾天又是星期四呢？

學生：七天。

教師：那再過七天呢？

學生：還是星期四。

教師：今天是星期四，只要過的天數(shù)具有什么特征，就會再次出現(xiàn)星期四？

學生：7的倍數(shù)。

教師：我們在生活中又接觸了周而復始。

【個人點評】

概念的引入貼近生活。在引入課題時，情境的內(nèi)容生活化，從學生熟悉的生活情境出發(fā)，使學生感受到數(shù)學就在他們的周圍，感覺數(shù)學并不遙遠、陌生、從情感上增強了探究的自信；從長遠來看，有利于培養(yǎng)學生理論聯(lián)系實際、學以致用的意識，提高學生觀察事物、發(fā)現(xiàn)問題的能力。

二、概念形成理解

【課堂實錄】

教師：數(shù)學來源于生活，有這么一個概念來概括函數(shù)的周期性（板書函數(shù)周期性）。對于一般函數(shù)f（x），請給出周期函數(shù)的定義，用自己的語言。同學之間可以討論交流。

學生：經(jīng)過相等的間隔，函數(shù)值相等。

教師：相等的間隔，間隔值確定的嗎？

學生：間隔值是個數(shù)。

教師：間隔值是個常數(shù)，不妨設為T，對函數(shù)f（x），有某個常數(shù)T，函數(shù)值相等如何用數(shù)學式子表示？

學生：f（x）=f（x+T）

教師：通過這位同學的敘述，整理出對于一般函數(shù)f（x），存在某個常數(shù)T，有f（x）=f（x+T），則f（x）為周期函數(shù)（板書）。有沒有要補充的？

學生：T≠0

教師：當T=0時，f（x）=f（x+T），就是f（x）=f（x），沒什么研究價值。

教師：經(jīng)過這位同學的補充，周期函數(shù)的定義完善為：對于一般函數(shù)f（x），存在某個非零常數(shù)T，有f（x）=f（x+T），則f（x）為周期函數(shù)（板書上添加）。從式子上看，x在定義域內(nèi)，x+T也在定義域內(nèi)，那么取出f（3+5）=f（3），f（7+5）=f（7），f（10+5）=f（10）這些式子，能說明函數(shù)f（x）是周期函數(shù)嗎？

學生：不能說明，不連續(xù)。

教師：那補f（4+5）=f（4），f（5+5）=f（5）……補全就行了嗎？

學生：應該取f（3+5）=f（3），f（3+10）=f（3），f（3+15）=f（3）……

教師：這樣取下去能得到f（3+5k）=f（3），你得到了周期是幾？

學生：周期是5。

教師：剛才的例子中馬年符合12年一輪回，馬年后的羊年符合12年一輪回嗎？

學生：符合。

教師：可見，我們年份中的每個年份都符合12年一輪回。這反映在函數(shù)f（x）上，只對f（3）符合剛才周而復始的規(guī)律夠了嗎？

學生：不夠。

教師：那對函數(shù)中的x有何要求？

學生：對定義域中的每一個x，都要符合周而復始的規(guī)律。

教師：在大家的不斷完善下，定義為：對于一般函數(shù)f（x），存在某個常數(shù)T≠0，對定義域內(nèi)的每一個x，都有f（x）=f（x+T），則f（x）為周期函數(shù)（繼續(xù)在黑板上補充）。從定義上看到f（x）=f（x+T），那么延續(xù)下去f（x）=f（x+T）=f（x+2T）…x+T在定義域內(nèi)，x+2T也在定義域內(nèi)，那么該函數(shù)對定義域會有什么要求呢？

學生：定義域往兩邊發(fā)展。

【個人點評】

概念的形成教師“導”學生“做”。教師的“導”穿針引線，學生的“做”數(shù)學作為課堂的主線。把“現(xiàn)成的數(shù)學”在教師的指導下變?yōu)閷W生親身體驗和經(jīng)歷的過程，體會蘊含在其中的思想方法，享受“做”數(shù)學的樂趣。波利亞曾說過：學習任何知識的最佳途徑都是由自己發(fā)現(xiàn)，因為這種發(fā)現(xiàn)，理解最深刻，也最容易掌握其中內(nèi)在的規(guī)律、性質(zhì)和聯(lián)系。以色列著名數(shù)學教育家斯法德等人的研究認為：在數(shù)學中，許多抽象的數(shù)學概念，從操作的角度可以分別被看作一個過程操作。通過學生“做”數(shù)學，這個過程操作又被再現(xiàn)，這種親身體驗和經(jīng)歷的過程，如同重新經(jīng)歷數(shù)學的發(fā)現(xiàn)過程，也就是學生的“再發(fā)現(xiàn)”過程，可以啟迪學生發(fā)現(xiàn)問題，再創(chuàng)造地解決問題；通過學生“做”重新經(jīng)歷了概念本質(zhì)的形成過程，從而理解數(shù)學概念的本質(zhì)。從發(fā)展的眼光看，有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學探究能力和數(shù)學素養(yǎng)，開闊數(shù)學視野，激活數(shù)學思維，增強應用能力，從而有效提高教學效率。

三、概念深化掌握

【課堂實錄】

教師：對，定義域向無窮方向發(fā)展。我們在前面的學習中接觸過這樣的函數(shù)嗎？舉個例子。

學生：y=sin x。

教師：題1.y=sin x的周期，展示圖像（幻燈片）。

學生：周期2π。

教師：為什么周期是2π，4π是它的周期嗎？

學生：是。

教師：y=sin x的周期還有嗎？哪些也是？

學生：6π、-4π、-6π…

教師：正弦函數(shù)周期有多少個？

學生：無數(shù)個。

教師：只要是2π的非零整數(shù)倍，都是正弦函數(shù)的周期，在所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小的正數(shù)就叫做f（x）的最小正周期。例如y=sin x的最小正周期是2π。以后我們就約定函數(shù)f（x）的周期就是f（x）的最小正周期。

課后證明：y=sin x的最小正周期是2π。

教師：題2.y=sin 2x的周期。

學生：周期kπ，最小正周期π。

教師：約定函數(shù)f（x）的周期就是f（x）的最小正周期。為什么是π？

學生：∵sin 2x=sin（2x+2π），sin 2x=sin 2（x+π），f（x）=f（x+T）

∴T=π

教師：這位同學在解題中提到的一個思想，y=sin 2x的2x相當于題1中的x，令u=2x，y=sin u，y=sin u的周期為2π，所以y=

sin 2x的周期為π。

教師：題3.y=sin（2x+）的周期。

學生：還是π。

教師：你怎么做的？

學生：令u=2x+，y=sin u的周期為2π，sin（u+2π）=sin u，sin（2x++2π）=sin（2x+），sin[（2x+π）+）]=sin（2x+），

∴f（x+π）=f（x）

∴T=π

教師：題中的2x、2x+都可以整體代換成x，這里用了換元思想。

教師：題4.y=-2 sin（2x+）的周期。

教師：從圖象看，系數(shù)-2對周期有什么影響？

學生：沒什么影響。

教師：那題4的周期是多少？

學生：π。

教師：題5.y=sin（-2x+）的周期。大家各自做，請一位同學黑板上做。

學生：f（x）=sin（-2x+），令u=-2x+，∵sin（u+2π）=sin u

∴sin（-2x++2π）=sin（-2x+），∴sin[-2（x-π）+]=sin（-2x+）。

教師：思路清楚。題4中大家認為A對函數(shù)周期無影響，這里的φ=？對函數(shù)周期有沒有造成影響？

學生：無影響。

教師：題6.y=A sin（ωx+φ）（A，ω，φ為常數(shù)，A≠0，ω≠0）對周期有影響的是ω，根據(jù)我們剛才同樣整體代換的思想能得出y=

A sin（ωx+φ）的周期是多少？

學生：T=。

教師：同理，我們可以從y=cos x的周期是2π，得到y(tǒng)=A cos（ωx+φ）

（A，ω，φ為常數(shù)，A≠0，ω≠0）的周期是T=.

教師：那我們來一起探究題7：如果函數(shù)y=f（x）的周期是T，那么函數(shù)y=f（ωx），ω≠0的周期如何求？

學生：令u=ωx，f（u+T）=f（u），f（ωx+T）=f（ωx），f[ω（x+）]=

f（ωx），∴函數(shù)y=f（ωx）的周期是。

教師：有沒有不同意見？

學生：現(xiàn)在的周期約定為最小正周期，所以是。

【個人點評】

概念的深入以問題為線，層層遞進，不斷延伸，為思維而教。問題是思維的源泉，更是思維的動力。以問題串的形式貫穿于教學，使學生一環(huán)扣一環(huán)，在有效問題的驅(qū)動下進行積極的思考、探究、類比、討論，讓學生在探索、類比中發(fā)現(xiàn)知識，使得整節(jié)課有一氣呵成之感。這節(jié)課共設計了七個問題，從考慮一組對象著手，進而考慮包含該組對象在內(nèi)的更大的一組對象，把局部的、特殊的數(shù)學問題上升為整體的、普遍的數(shù)學問題。設計的問題具有較大的思維空間，問題與問題之間存在內(nèi)在的聯(lián)系和因果關(guān)系，這樣的設計不僅使課堂教學富有生命力，而且調(diào)動了學生思維的積極性和主動性，促使學生的思維向知識的深度和廣度拓展，進而提高了學生的學習能力。站在思維的高度設計問題，不僅能使學生學到知識，更能使學生收獲方法、提高悟性，從而真正促進學生思維的發(fā)展。

四、探討

數(shù)學學科是由一系列的概念、定理、法則等組成的體系，具有較強的確定性、準確性和邏輯性。數(shù)學概念教學是一個復雜的系統(tǒng)工程，不同概念教學使用的教學處理教學方法不同，但其共性的地方是大多數(shù)都從“具體—半具體—半抽象—抽象”的模式中產(chǎn)生設計，從生活實例出發(fā)，從學生的主動性開始，通過“引入概念—形成概念—深化概念”三個環(huán)節(jié)進行教學。該堂課教學基本沿用這條思路，結(jié)合其個人優(yōu)秀的教學基本功與學科素養(yǎng)，取得了教學的成功。

當然，數(shù)學概念教學這三個環(huán)節(jié)并不代表唯一方式，更不代表最優(yōu)。重要的是需要教師重視和加強數(shù)學概念的教學研究和探索，認識數(shù)學概念的重要性和基礎(chǔ)性，課堂教學中抓住數(shù)學核心概念，完善概念教學環(huán)節(jié)的科學性和實用性。從教育學與心理學的觀點出發(fā)，概念教學的核心就是“概括”：將凝結(jié)在數(shù)學概念中的數(shù)學家的思維活動打開，以若干典型具體事例為載體，引導學生展開分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性、歸納得出數(shù)學概念等思維活動而獲得概念。

編輯 韓 曉