讓學(xué)生經(jīng)歷探索，去感悟模型魅力

王桂清 趙順天

本文結(jié)合人教版五下“找次品”的教學(xué)，談一談如何讓學(xué)生經(jīng)歷“感悟天平模型→建立‘分3模型→完善‘分3模型→提煉3■模型”的過程，滲透模型思想。

一、動(dòng)手操作，體驗(yàn)天平模型

“找次品”是學(xué)生通過借助天平的構(gòu)造原理建立 3■ 的數(shù)學(xué)模型。整個(gè)探究過程不但抽象而且隨著物品的增多，隨機(jī)性也越來越強(qiáng)。對(duì)于五年級(jí)小學(xué)生來說，他們的思維還處在以形象思維為主向抽象思維過渡的階段，如果沒有天平作為支撐，天平稱次品的過程所呈現(xiàn)的隨機(jī)性是很難想象并形成表征的，此時(shí)的小組動(dòng)手操作就顯得尤為重要。

例如，給每個(gè)小組一架天平、9瓶鈣片（其中1瓶是次品）、一只黑色袋子和一只綠色袋子 。課前把1瓶次品和2瓶正品的鈣片裝入黑色袋子，把其余6瓶正品鈣片裝入綠色袋子。

活動(dòng)一：①提問，你能用天平把黑色袋子里的1瓶次品找出來嗎？②學(xué)生動(dòng)手操作。③討論，稱幾次能把次品找出來？學(xué)生有的認(rèn)為是1次，有的認(rèn)為是2次。認(rèn)為是2次的學(xué)生是當(dāng)天平平衡時(shí)因缺乏經(jīng)驗(yàn)不敢斷定余下的那1瓶是次品，就繼續(xù)把余下的那1瓶和天平上的任意1瓶再次驗(yàn)證，把驗(yàn)證的這一次也算1次。經(jīng)過討論與交流，再次實(shí)踐與驗(yàn)證（反復(fù)稱幾次）后，斷定只需1次就能從3瓶鈣片中找出1瓶次品。④得出結(jié)論，從3瓶鈣片中找出1瓶次品，只需1次就能保證找出。

活動(dòng)二：①操作，在黑色袋子里再添加6瓶正品鈣片，束緊袋口，攪亂。②學(xué)生動(dòng)手操作。③討論，稱幾次能把次品找出來？④結(jié)論不一，產(chǎn)生矛盾。此過程，賦予學(xué)生充足的時(shí)間與空間，學(xué)生的主動(dòng)性與積極性在一次又一次的探索發(fā)現(xiàn)中被充分調(diào)動(dòng)起來，讓學(xué)生在“找中學(xué)”，在找中積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在找中感悟知識(shí)背后所隱藏的天平模型——分3模型，即天平兩端各為1份，余下的為1份。

二、符號(hào)表征，建立“分3模型”

對(duì)于用天平“找次品”，雖然給了學(xué)生充分的時(shí)間與空間動(dòng)手操作，但操作過程所呈現(xiàn)的結(jié)果多而繁雜。引導(dǎo)學(xué)生用簡(jiǎn)潔、清晰的符號(hào)表征稱的過程，既可以記錄下活動(dòng)的瞬間與每次稱的過程，又可以進(jìn)行系統(tǒng)分析。

例如：從3瓶鈣片中找出1瓶次品，可引導(dǎo)學(xué)生用以下符號(hào)表征（圖1）

其中，第一個(gè)“3”表示總瓶數(shù)，第二個(gè)“3”表示分成3份，“（？搖？搖？搖）”里的3個(gè)“1”表示每份為1瓶，“＼”表示天平不平衡，“↑”既表示天平上揚(yáng)的一端，又表示較輕的次品所在的位置，“_”表示天平平衡。這樣的符號(hào)系統(tǒng)既可以表示用天平稱的過程，又可以一目了然地看出一共稱了幾次。

從9瓶鈣片中找出1瓶次品隨機(jī)性強(qiáng)且過程復(fù)雜，學(xué)生在稱的過程中可能出現(xiàn)以下幾種情況。

情景一：

由天平連續(xù)平衡到第一次就不平衡，最多4次，最少1次。

情景二： 情景三：

最多3次，最少2次。 最多3次，最少1次。

情景四：

無論天平平衡與否都是2次。

先讓學(xué)生經(jīng)歷搜集、整合相關(guān)信息的過程，探討解決問題的方案，再通過觀察比較、分析綜合，抽象概括出：從9瓶鈣片中找出1瓶次品至少稱2次保證能找出；最佳方案是：把9瓶鈣片平均分成3份。原因一：9剛好是3的倍數(shù)；原因二：平均分成3份剛好與天平的模型相匹配，天平兩端各1份，余下為1份，剛好3份，不管天平平衡與否都能第一次排除■的正品，次品就隱藏在1份里，稱的次數(shù)自然減少。由此推導(dǎo)出：當(dāng)物品的個(gè)數(shù)剛好是3的倍數(shù)時(shí)平均分成3份稱的次數(shù)最少。平均分成3份即“分3模型”在充滿觀察、對(duì)比、分析與綜合的活動(dòng)過程中被建立。引領(lǐng)學(xué)生對(duì)“知識(shí)背后的知識(shí)”的探究，體驗(yàn)知識(shí)的形成過程，發(fā)現(xiàn)知識(shí)的形成通道才是數(shù)學(xué)建模教學(xué)背景下應(yīng)有的學(xué)習(xí)過程。

三、變式例證，完善“分3模型”

所謂變式是指變更對(duì)象的非本質(zhì)屬性，突出隱蔽的本質(zhì)要素。變式例證就是運(yùn)用不同的知識(shí)和方法，對(duì)有關(guān)數(shù)學(xué)概念、定理、公式及課本上的習(xí)題進(jìn)行不同角度、層次、情形、背景等的變化的例證，引導(dǎo)學(xué)生從變的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)不變的本質(zhì)，從不變中探求規(guī)律，逐步完善數(shù)學(xué)模型。

例如，當(dāng)學(xué)生概括出當(dāng)所稱物品是3的倍數(shù)時(shí)平均分成3份，稱的次數(shù)既最少又能保證找出次品。教師提問：“如果所稱物品不是3的倍數(shù)時(shí)是不是也分成3份稱，次數(shù)最少又能保證找出次品呢？就如從8瓶鈣片中找出1瓶較重的鈣片，怎么分？至少稱幾次能保證找出次品？”教師再次引導(dǎo)學(xué)生用符號(hào)表征。

圖6與圖7為學(xué)生中典型的兩種分法。學(xué)生通過觀察、對(duì)比后發(fā)現(xiàn)分成3份的次數(shù)最少又保證能找出次品。教師再提出假設(shè)：如果所稱物品是10瓶、11瓶鈣片呢？（列出圖8）

引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)：最多的1份比最少的1份少1。類比概括：當(dāng)所稱物品不是3的倍數(shù)時(shí)，把物品盡量平均分成3份，最多的1份比最少的1份多1?？偨Y(jié)：當(dāng)所稱物品是3的倍數(shù)時(shí)，把所稱物品平均分成3份；不是3的倍數(shù)時(shí)，把所稱物品盡量平均分成3份，即“分3模型”。這一模型與天平模型相吻合。

四、拓展延伸，提煉“3■ 模型”

用天平“找次品”這一模型的建立如果僅僅止于把所測(cè)物品“平均分成3份”或“盡量平均分成3份”，那模型的建立是不完整的。應(yīng)結(jié)合教材中的“你知道嗎？”進(jìn)行分析，提煉出最終的模型——“3■模型”。

用天平找次品時(shí)，所測(cè)物品數(shù)目與至少需要測(cè)試的次數(shù)有以下關(guān)系（只含一個(gè)正品，已知次品比正品重或輕）

問題：（1）要保證6次能測(cè)出次品，待測(cè)物品可能是多少個(gè)？（2）從上表中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？為什么？

要解決以上兩個(gè)問題就要先提煉出用天平找次品的最終模型。引導(dǎo)學(xué)生從上表中找出3、9、27、81、243等數(shù)量，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些數(shù)剛好是3的n次方，即3■、3■、3■、3■……3■，對(duì)比分析后發(fā)現(xiàn)3的幾次方剛好就是天平所稱的次數(shù)。就如3的1次方剛好稱1次，物品的范圍在2～3；3的2次方剛好稱2次，物品的范圍在4～9；3的3次方剛好稱3次，物品的范圍在10～27等。提煉出3■模型后問題（1）就迎刃而解，先算出3的6次方是729，則待測(cè)物品可能是244～729。此環(huán)節(jié)其實(shí)是過程性模型，其實(shí)質(zhì)是滲透以個(gè)別的知識(shí)為前提，推出一般性結(jié)論的歸納推理；從一般性結(jié)論出發(fā)，得到個(gè)別的、具體的演繹推理的方法。

（作者單位：福建省安溪縣實(shí)驗(yàn)小學(xué)？搖？搖？搖本專輯責(zé)任編輯：王彬）