從“植樹問題”看模型思想的教學

郭力丹

一、一道期末試題與原因分析

小明從第1棵樹勻速走到第6棵樹用了3分鐘，那么以相同的速度從第一棵樹走到第30棵樹需用幾分鐘？（每兩棵樹之間的距離相等）

思路簡析：很顯然，這道題屬于“植樹問題”的拓展應用，解答這道題首先要知道“植樹問題”的間隔規(guī)律（棵樹比間隔數(shù)多1），然后根據(jù)間隔規(guī)律分別推算第1到第6棵樹之間有5個間隔，每個間隔時間為3÷5=0.6分鐘。然后再根據(jù)1到30棵樹有29個間隔，將0.6×29 求出共需要的時間。訪談中，我們了解到大多數(shù)學生對不同“植樹問題”的間隔規(guī)律不是很理解，不清楚這道題要歸結(jié)為哪一種模型的“植樹問題”來解決。

原因分析：“植樹問題”在人教版四年級下冊已經(jīng)學習過，2014年修訂教材調(diào)整到五年級上冊，按道理應該不難理解。可學生的得分率如此之低很是出乎筆者的意料。經(jīng)過訪談，筆者了解到，大多數(shù)學生都能說出間隔數(shù)和植樹棵樹之間的關系，但是將植樹問題模型與生活實際相關聯(lián)不熟悉，筆者認為這可能與教師授課時的側(cè)重點有關系。該班級的教師在四年級教學時，采用整體教學的辦法，把“植樹問題”的三種類型，即所謂的“兩端都種”“只種一端”與“兩端都不種” 在一節(jié)課中同時呈現(xiàn)。并將“三種情況”的區(qū)分以及相應的計算方法（“加一”“不加不減”與“減一”）看成一種“規(guī)律”，要求學生熟練記住，牢固掌握。由于時間緊張，該教師在比較三種類型后沒有時間進行把生活中的問題轉(zhuǎn)化成“植樹問題”的環(huán)節(jié)，課后也沒有花時間進行專項訓練，致使學生對模型的理解僅僅停留在典型的“植樹問題”上。有些學生雖然會解決這一問題，但這些學生尚不能把“植樹問題”的解決方法與生活中相似的現(xiàn)象進行知識鏈接，這就導致了能找到規(guī)律但不會熟練運用規(guī)律解決問題。

二、對“植樹問題”教學中問題的反思

1. 教學時應注重“植樹問題”的模型應用。

“植樹問題”的教學涉及兩種層面的數(shù)學活動：其一，“植樹問題”可區(qū)分出三種不同的數(shù)學模型，即“兩端都種”“只種一端”與“兩端都不種”；其二，以“植樹問題”為原型引出普遍性的“間隔現(xiàn)象”的思考模式，然后再利用這一模式去解決各種新的實際問題，如“路燈問題”“排隊問題”“鋸樹問題”“爬樓問題”等。在實際教學中，教師們往往過于重視第一個層面的教學活動，即注重三種不同模型的區(qū)分，而對第二個層面的教學活動缺乏應有的重視。這樣就可能導致學生未能清楚地認識到上述現(xiàn)實問題都與“植樹問題”有著相同的數(shù)學結(jié)構(gòu)，可以被歸結(jié)為同一個數(shù)學模式，這樣的“植樹問題”教學無疑是有問題的。本題較低的得分率提醒我們：“模式應用”要比“三種情況的區(qū)分”有著更大的重要性。

俞正強老師執(zhí)教的“植樹問題”一課。他在引導學生理解了“植樹問題中的樹是種在平均分的點上”后，隨即提出一個問題讓學生思考“除了植樹人把樹種在點上，還有什么人把什么也放在平均分的點上？”這個問題很巧妙地將“植樹問題”引入生活，讓學生回到生活中找“植樹問題”。學生列舉這些例子：服務員杯子的放法，工人每隔幾米打地基，路燈的建設，每隔40米建一幢房子等都是放在平均分的點上。顯然，學生所說都是比較平常的事例。此時，俞老師有意舉出不同的例子：“高速公路，每隔50米設1個服務區(qū)”“美國選總統(tǒng)每5年選一次”“每隔一學期一張獎狀”等引導學生理解這些例子與植樹類似。在俞老師的拓展啟發(fā)下，學生想出的生活例子更多了。最后俞老師小結(jié)：“生活中的‘植樹問題，研究的是平均分中的點?！痹谶@個環(huán)節(jié)中，俞老師花的時間比較多。其實就是從抽象的數(shù)學模型出發(fā)，聯(lián)系生活實例，拓寬學生思路，不斷加深對“植樹問題”這類數(shù)學模型的理解，取得了很好的教學效果。

2. 改進“植樹問題”的模型建構(gòu)策略。

策略一：從除法的意義入手建構(gòu)模型。

筆者認為，學生在學習“植樹問題”之前已經(jīng)學會用除法算式解決實際問題，那么，在解決“植樹問題”的過程中可以基于學生的學習基礎，從除法的意義入手，將“植樹問題”作為用除法解決問題中的一類特殊情況加以處理，可以采用“一一對應”的思想，在理解“間隔數(shù)和棵樹”這兩者關系的基礎上，引導學生逐步建構(gòu)“商+1，商，商-1”的植樹問題模型，并在解決問題的過程中學會具體問題具體分析，判斷數(shù)學模型，應用數(shù)學模型解決問題。

俞正強老師分四個層次解決“植樹問題”的建構(gòu)問題。

（1）從除法意義入手。第一個問題：“20米，每5米分一段，共分幾段？”這個問題是二年級平均分的問題。學生一下就列出了算式：20÷5=4（段）?！盀槭裁从贸▉碜?？”“你什么時候會做這種題目的？”通過一連串問題，回歸除法的意義，幫助學生復習——用除法算式解決問題的最根本的意義是平均分。

（2）變式思考。第二個問題：“20米路，每5米栽一棵樹，共栽幾棵樹？”學生的普遍想法是：20÷5=4（棵），都認為也是在把20平均分，所以是4棵。而只有一位學生的想法是不同的，他認為是“20÷5+1=5（棵）”，因為在0米時要種一棵。俞老師通過一連串追問，學生不斷地進行思考與表述，最后通過畫圖得出是5棵。利用數(shù)形結(jié)合思想，幫助學生理解“樹是種在哪兒的？”

（3）兩題比較。俞老師追問：“這兩題一樣嗎？不一樣在哪里？”學生通過對問題的思考，區(qū)分出平均分是一段一段地分，而種樹是種在段與段之間兩端的點上。教師板書：點。 接著，教師不斷追問：“點與段的差別在哪里？”“點多，還是段多？”“怎么個多法？”“ 1段是2點，2段是3點，3段是4點，4段是5點……”當學生清楚地得出“棵（點）=1+平均分”時，教師小結(jié)：“植樹是植在點上的?！?/p>

（4）問題變式。如果把20米改成50米，改成100米，200米呢？還能解決嗎？“不管換成多遠，方法都是一樣的?！庇崂蠋煂⒗}引申到更為普遍的現(xiàn)象中。

策略二：從基本模型拓展到其他模型。

前文提及，在“植樹問題”中涉及“兩端都種”“只種一端”與“兩端都不種”這三種模型，筆者認為，這三種模型應該以“兩端都種” 為基本模型，教學中不應該對三種模型平均用力，可重點教學“兩端都種”，在此基礎上通過變式發(fā)展得到“只種一端”與“兩端都不種”的數(shù)學模型。這樣既把握了三種數(shù)學模型的內(nèi)在聯(lián)系，又避免了教學時間不足的矛盾。仍以俞老師執(zhí)教的“植樹問題”為例：教師在引導學生建立“20÷5+1”這個數(shù)學模型后，巧設了兩個變式情境，并做拓展。

（1）一端不種。教師問：“某某小朋友，你扛著5棵樹準備去種，如果其中一端被一棟房子擋住了，你怎么辦？”在教師的引導下，學生得出方案：帶回一棵樹，即“20÷5+1-1”，也就是一端不種減1。

（2）兩端不種。教師又問：“某某小朋友，你也扛著5棵樹去種，兩端都被房子擋住了，你怎么辦？”此為呈現(xiàn)出另一種特殊情況，即兩端不種，帶回兩棵。學生得出方案：“20÷5+1-2”，即兩端不種減2。

這兩個模型則是在“20÷5+1”這一經(jīng)典模型的基礎上演變出來的。帶回1棵就減1，帶回2棵就減2。清楚直觀，不易混淆。

（3）模式拓展。教師又追問：“除了種樹外，什么情況下可以一端不種，什么情況下可以兩端不種？”通過再一次的舉例，學生對“植樹問題”在生活中的應用有了更為深入的理解。

學生學習“數(shù)學模型”的建構(gòu)與應用，需要經(jīng)歷一個長期的、不斷積累經(jīng)驗與不斷深化的過程。教師在教學實踐中結(jié)合數(shù)學知識的教學精心培育模型方法，使學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋應用的過程。教師要重視數(shù)學模型的應用，引導學生用數(shù)學模型來描述身邊的自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象。

（作者單位：福建省福州市錢塘小學屏北分校）