模型思想，通向遷移大道的“光明之路”

嚴(yán)育洪 俞昭英

【編者按】一直以來，有一種誤區(qū)，義務(wù)教育階段的學(xué)生的模型思想的培養(yǎng)，重點在初中，小學(xué)階段對于模型思想的培養(yǎng)并不重視。但實際上，模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。其重要程度，不言而喻。本期專輯，我們來共同關(guān)注容易被人忽視，而又無比重要的“模型思想”。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）給數(shù)學(xué)下的定義是：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)?！鄙鲜兰o(jì)90年代，數(shù)學(xué)的定義是：“數(shù)學(xué)是研究模式的科學(xué)?！卑堰@兩句話連起來就是：“數(shù)學(xué)是研究關(guān)于數(shù)量關(guān)系和空間形式模式的科學(xué)?！痹賹φ諗?shù)學(xué)模型的定義：“數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界事物的特征、數(shù)量關(guān)系和空間形式的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)?！蔽覀儾浑y發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)模式、數(shù)學(xué)模型之間的本質(zhì)聯(lián)系，數(shù)學(xué)教學(xué)也就是幫助學(xué)生建模的過程。

心理學(xué)家布魯納指出：“掌握基本數(shù)學(xué)思想方法能使數(shù)學(xué)更易于理解和更易于記憶，領(lǐng)會基本數(shù)學(xué)思想方法是通向遷移大道的‘光明之路?！北疚囊蕴K教版三上“間隔規(guī)律”一課為例，來具體談一談：如何領(lǐng)會數(shù)學(xué)建模思想，為教學(xué)鋪設(shè)一條通向遷移大道的“光明之路”。

教材所呈現(xiàn)的情境圖，教師教學(xué)時，一般按照由遠(yuǎn)到近的事物觀察順序安排知識探究順序。那么這幾組研究對象之間只是種類不同嗎？在知識的表現(xiàn)形式上是否也有著區(qū)別呢？

其實，這幾組事物在知識上有著一定的代表性：兔子和蘑菇的排列方式是離散量的代表，夾子和手帕、木樁和籬笆的排列方式是連續(xù)量的代表。數(shù)學(xué)模型有一個原則是簡化原則，利用數(shù)學(xué)語言（符號、式子與圖像）模擬現(xiàn)實的模型。把現(xiàn)實模型抽象、簡化為某種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)模型的基本特征。如果用△和○分別代表兔子和蘑菇，前者的數(shù)學(xué)模型可以抽象、簡化成“△○△○△○……△○△”，如果把夾子、木樁看成點，手帕、籬笆看成線，后者的數(shù)學(xué)模型可以抽象、簡化成“■”。相對而言，對連續(xù)量的理解要難于離散量。以夾子和手帕為例，我們可以用多媒體演示由現(xiàn)實模型抽象成數(shù)學(xué)模型（線段）的過程。

如果我們把△看成點，○看成線，那么最后，我們還可以把前者進(jìn)一步抽象成線段圖，這樣兩種不同的研究對象就統(tǒng)一到了相同的數(shù)學(xué)模型中。數(shù)學(xué)家斯蒂恩說過：“如果一個特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個圖形，那么就整體地把握了問題的思路。"

當(dāng)然，數(shù)學(xué)模型具有外推性，原型客體的信息不止于物體，還可以發(fā)展成圖形、數(shù)字、符號的間隔排列，甚至各種元素混搭的間隔排列。如果進(jìn)一步拓展，還可以是“虛實相間”的間隔排列，例如“把一根木料鋸3次，能鋸成幾段？”這樣的生活原型，也可以看成“一一”間隔排列，其中“一”（兩端物體）是“實”的木段，還有“一”（中間物體）是“虛”的鋸口，抽象成線段圖是“■”，可以轉(zhuǎn)換成“■”。不管上述何種對象，我們都可以用上述數(shù)學(xué)模型表示。

本課教學(xué)涉及兩個層次的規(guī)律發(fā)現(xiàn)：首先是兩種事物在排列方式上的規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生建立如線段圖的數(shù)學(xué)模型，然后是兩種事物在數(shù)量關(guān)系上的規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生建立如字母式“b=a+1”的數(shù)學(xué)模型。形式?jīng)Q定內(nèi)容，有了前者在排列上的規(guī)律，才會有后者在數(shù)量上的規(guī)律。需要指出的是，這種間隔排列其實是“人為”構(gòu)造的規(guī)律，并非是事物自有規(guī)律，所以建議教師在構(gòu)造這種排列規(guī)律時，不妨加上前提條件“像這樣排列……”，讓學(xué)生明白教材例題中省略號的含義。

數(shù)學(xué)模型能解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實狀態(tài)，也能預(yù)測到對象的未來狀況。除了例題所示的兩端物體相同這種情形，我們可以讓學(xué)生基于“△○△○△○……△○△”，通過增加一個○或減少一個△發(fā)現(xiàn)還存在著“兩端物體不同”這種情形，其數(shù)學(xué)模型的表達(dá)式變成了“b=a”。

數(shù)學(xué)模型還能提供處理對象的最優(yōu)決策或控制，揭示客觀對象本質(zhì)，適應(yīng)變化。上述模型變式，深究下去，我們不難發(fā)現(xiàn)其背后有著相同的模型思想—— “一一間隔”，事物排列對應(yīng)著“一一對應(yīng)”的數(shù)學(xué)思想（圖1），這樣就把它們統(tǒng)一到了“一一對應(yīng)”思想的數(shù)學(xué)模型中。也就是說，記住了“一一對應(yīng)”思想，圖例與公式不記也無妨。

數(shù)學(xué)模型還具有可推導(dǎo)原則。如果繼續(xù)推導(dǎo)，我們可以發(fā)現(xiàn)除了直線上的一一間隔排列，還有圓周上的一一間隔排列。對后一種情況，在教學(xué)中我們可以一物兩用——把情境圖中的木樁和籬笆圍成一周，首先讓學(xué)生用“數(shù)一數(shù)”的方法探究規(guī)律，然后讓學(xué)生用“剪一剪”的方法（像項鏈那樣從中間剪開）統(tǒng)一規(guī)律，發(fā)現(xiàn)就是直線上頭尾不同的一一間隔排列的數(shù)學(xué)模型。

為了幫助學(xué)生理清楚、看明白它們之間的轉(zhuǎn)化過程，教師可以做兩件事：一是利用板書顯示這種結(jié)構(gòu)關(guān)系。二是讓學(xué)生借助雙手來練習(xí)，首先用一只手，5根手指有4個空，如果兩根手指之間夾一根小棒，那么一只手可以夾多少根小棒？然后用兩只手，照這樣，你認(rèn)為兩只手能夾多少根小棒？只能8根嗎？可以夾9根嗎（兩手并攏）？10根呢（兩手圍攏）？此時，手勢成了學(xué)生“掌握”知識的現(xiàn)實模型和學(xué)習(xí)工具。

如果繼續(xù)推導(dǎo)，由“一一間隔”可以推導(dǎo)出“一二間隔”“一三間隔”“二二間隔”“二三間隔”等，而這些就是學(xué)生在四年級將要學(xué)習(xí)的“周期規(guī)律”。如果教師具有長遠(yuǎn)眼光，就會有意識地使“間隔規(guī)律”與“周期規(guī)律”對接。例如，讓學(xué)生用畫圈的方式體現(xiàn)一一對應(yīng)思想（圈出重復(fù)出現(xiàn)部分）。由此可見，“間隔規(guī)律”的數(shù)學(xué)模型可以納入“周期規(guī)律”的數(shù)學(xué)模型中，是它的特殊情形。

數(shù)學(xué)模型還有一個原則是反映性原則，除了反映夾手帕、圍籬笆、鋸木頭等現(xiàn)實原型，經(jīng)典的“植樹問題”同樣具有相似性。兩端都種的數(shù)學(xué)模型是■，棵數(shù)=段數(shù)+1；一端種一端不種的數(shù)學(xué)模型是■，棵數(shù)=段數(shù)；兩端都不種的數(shù)學(xué)模型是■，棵數(shù)=段數(shù)-1。對最后一種方案，如果把“段”看成兩端物體，那么“棵數(shù)=段數(shù)-1”就可以轉(zhuǎn)換為“段數(shù)=棵數(shù)+1”，學(xué)生的認(rèn)識再次得到統(tǒng)一。上述三種排列情形，我們同樣可以反映在手勢上（圖2）。

手勢的圖像（其實也就是線段圖）與公式都可以構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，但圖像或圖示讓學(xué)生印象更深，這得益于“心理意象法”的學(xué)習(xí)方式。學(xué)生在理解和記憶的時候，采用數(shù)形結(jié)合的方法，嘗試在心里用圖像來描繪知識比單純地背誦公式效果要好得多。心理意象法的關(guān)鍵就是把抽象的東西形象化。

模型思想的建立是學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。這節(jié)課屬于“找規(guī)律”課，按照教材意圖只需要讓學(xué)生找出規(guī)律就完成了教學(xué)任務(wù)，至于“用規(guī)律”不作為本課教學(xué)目標(biāo)，但可能有學(xué)生會追問：“這個規(guī)律學(xué)了有什么用呢？”“植樹問題”就可以體現(xiàn)本課所學(xué)知識的用途。“間隔問題”是“植樹問題”的知識準(zhǔn)備。為了讓學(xué)生知道知識的“去處”，在教學(xué)的后期，教師不妨續(xù)接到“植樹問題”。當(dāng)然，其中的“樹”不僅僅只是樹，例如生活中的“掛鉤問題”同樣是“植樹問題”，當(dāng)然也是“間隔問題”。

聯(lián)想是學(xué)習(xí)與教學(xué)的實質(zhì)，聯(lián)想是因關(guān)聯(lián)而發(fā)生的想象。學(xué)習(xí)因關(guān)聯(lián)而存在，教學(xué)則是為關(guān)聯(lián)而存在；教學(xué)因想象而存在，學(xué)習(xí)則是為想象而存在。在現(xiàn)實中，有時不用模型思想去探究解決問題，那么一個個問題可能就是相對孤立的問題；用模型思想去探究解決問題，那么一個個問題就可能只是“一個”問題。模型思想可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力，學(xué)會將紛繁復(fù)雜的現(xiàn)實事物抽象概括為同一“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)”，體驗并掌握數(shù)學(xué)建模的思想。

這節(jié)課的“間隔問題”，可以聯(lián)想到生活中的“植樹問題”，然后又聯(lián)想出許多實際問題，這是把書教厚的過程，也是模型的“化開”過程，讓學(xué)生能夠舉一反三。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的目的在于解決實際問題，而這種構(gòu)建本身就是一種“再創(chuàng)造”；反過來，這么多實際問題最終都可以回到“間隔問題”，這是把書教薄的過程，也是模型的“化歸”過程。笛卡爾將數(shù)學(xué)方法原理加以拓展并作為普遍的思想法則寫進(jìn)他的《方法論》一書中，他把建立數(shù)學(xué)模型看作重要的方法應(yīng)用于其他領(lǐng)域，從而設(shè)計了一個能解決各種問題的“萬能方法模式”。“間隔問題”的數(shù)學(xué)模型雖然達(dá)不到“萬能”，但運用其方法原理也能解決一系列實際問題。

在教學(xué)過程中進(jìn)行數(shù)學(xué)建模思想的滲透，從外在的“形”到內(nèi)在的“型”，可以使學(xué)生感覺到利用數(shù)學(xué)建模思想解決實際問題的妙處，進(jìn)而對數(shù)學(xué)產(chǎn)生更大的興趣，領(lǐng)會建模思想是一條通向遷移大道的“光明之路”。

（作者單位：江蘇省無錫市錫山教師進(jìn)修學(xué)校？搖？搖？搖江蘇省宜興市第二實驗小學(xué)）