關(guān)于《空間解析幾何》課堂教學(xué)設(shè)計(jì)探究

王雪麗

DOI：10.16661/j.cnki.1672-3791.2015.36.235

摘 要：該文以《高等數(shù)學(xué)》下冊的《空間解析幾何》§1和§2內(nèi)容為例，談?wù)勎业恼n堂教學(xué)設(shè)計(jì)，目的使學(xué)生更好地理解和接受空間解析幾何的思想方法，系統(tǒng)完整的認(rèn)識(shí)和掌握點(diǎn)線面知識(shí)，為高等數(shù)學(xué)后面多元函數(shù)的微積分學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：空間解析幾何 向量 直線 平面

中圖分類號(hào)：G40-057 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2015）12（c）-0235-02

Instructional Design and Teaching Art Research of Space Analytic Geometry

Wang Xueli

（The Pilot College Of？Beijing University？of Technology，Beijing，101101，China）

Abstract：Space analytic geometry，which was in the part II of higher mathematics，is adopted for an example to discuss about？？instructional design and teaching art，which objective is to make the students understand and accept the relevant knowledge better，and get complete and system understanding about the knowledge of point，line and surface，furthermore to lay a solid foundationfor studying calculus of poly-function.

Key Word：Space analytic geometry；Vector；line；Surface

《空間解析幾何》§1空間向量及其運(yùn)算、§2空間平面和直線方程內(nèi)容是學(xué)生學(xué)過的簡單內(nèi)容，并且是為學(xué)生推廣學(xué)習(xí)及后面多元函數(shù)的積分做準(zhǔn)備。為此，考慮對(duì)這兩節(jié)內(nèi)容的課堂教學(xué)處理：拋開書本內(nèi)容的次序，考慮從點(diǎn)的集合論角度出發(fā)，從簡單入手，由一點(diǎn)擴(kuò)到多點(diǎn)，從一維空間到多維空間不同的表現(xiàn)形式，引出點(diǎn)、線、面的表示及其幾何意義，目的使學(xué)生系統(tǒng)完整的認(rèn)識(shí)和掌握點(diǎn)線面的知識(shí)。具體做法如下。

1 點(diǎn)

點(diǎn)在不同的空間有不同的表示，從一點(diǎn)開始：

在一維空間，它與數(shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)，表示是取值取自于實(shí)數(shù)域上的點(diǎn)。

在二維空間，可以通過其位置（坐標(biāo)或向徑）對(duì)應(yīng)表示，為了表示這一點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，或極坐標(biāo)系，使用有序?qū)崝?shù)（x，y），（ρ，θ）或向量（xi+yi）表示。這里，為了表示同一點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)之間的關(guān)系，從其幾何關(guān)系不難得出：x=ρcosθ，y=ρsinθ關(guān)系式；同時(shí)，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)學(xué)生不太熟悉的內(nèi)容：向量的概念和性質(zhì)、幾何意義；

在三維空間，與二維空間同樣的考慮，建立坐標(biāo)系—— 空間直角坐標(biāo)系，或柱面坐標(biāo)系，或球面坐標(biāo)系，坐標(biāo)表示點(diǎn)為（x，y，z），（ρ，θ，z），（ρ，θ，φ）或向量表示（xi+yi+Zk），幾何得出同一點(diǎn)不同的坐標(biāo)之間的關(guān)系等等。

以此類推，可推廣研究任意維數(shù)的空間中的點(diǎn)的表示。

2 線

線由點(diǎn)構(gòu)成。幾何描點(diǎn)即可得到線。如何表示線呢？眾所周知，曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程，不滿足方程的點(diǎn)不在曲線上。利用線的這一特性，我們可推導(dǎo)出它的坐標(biāo)表示。

由簡單入手，最簡單的是直線：

在二維空間中，（1）對(duì)于空間中的一條直線，在直線上任取兩點(diǎn)（x1，Y1）（x2，y2），通過兩點(diǎn)的向量運(yùn)算可得到直線的方向向量（x2-x1，y2-y1），通過直線過的點(diǎn)（x1，y1）及得到的直線的方向向量（x2-x1，y2-y1），都可使用兩點(diǎn)式確定給出表示直線的直線方程=（y-y1）/（y2-y1）=（x-x1）/（x2-x1）（即直線上任一點(diǎn)與兩點(diǎn)中的一點(diǎn)確定的直線與兩點(diǎn)確定的直線方向相同）；或者通過幾何計(jì)算直線的斜率tanθ=（y2-y1）/（x2-x1），使用點(diǎn)斜式給出直線方程y-y1=（y2-y1）/（x2-x1）（x-x1）。注意，兩點(diǎn)式和點(diǎn)斜式方程是恒等變形而已；除此表示之外，由兩點(diǎn)式方程不難給出直線的參數(shù)方程表示，即取比值作為參變量t得到{x=x（t），y=y（t）}，即{x=x1tt（x2-x1），y=y1+t（y2-y1）}。（2）對(duì)于空間中的兩條直線，他們的位置關(guān)系無外乎平行，相交或者垂直。若兩條直線平行，特點(diǎn)：兩條直線方向相同，因此，對(duì)應(yīng)直線方向向量對(duì)應(yīng)成比例；若兩條直線垂直，從代數(shù)的層面考慮，即對(duì)應(yīng)直線方向向量點(diǎn)乘積為零，從而引出§1向量的運(yùn)算及其性質(zhì)。這里要詳細(xì)講解。

在三維空間中，與二維空間同樣的考慮，（1）對(duì)于空間中的一條直線，在直線上任取兩點(diǎn)（x1，y1，z1），（x2，y2，z2）確定給出兩點(diǎn)式直線方程（z-z1）/（z2-z1）=（y2-y1）=（x-x1）/（x2-x1），及相應(yīng)的直線參數(shù)方程{x=x（t），y=y（t），z=z（t）}。沒有本質(zhì)的變化。

以此類推，可推廣任意維數(shù)的空間的直線研究。

3 面

面也是由點(diǎn)構(gòu)成的。幾何描點(diǎn)即可得到面。如何表示面呢？仍然遵循曲面上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程，不滿足方程的點(diǎn)不在曲面上。利用面的這一特性，我們可推導(dǎo)出它的坐標(biāo)表示。

最簡單的面是平面，仍然從點(diǎn)出發(fā)，下面給出平面的方程表示：

從學(xué)生認(rèn)知的角度，都知道，兩條平行直線、兩條相交直線、直線和直線外一點(diǎn)，以及不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)面，但無論哪種情形，都可歸結(jié)為可取到不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，因此，下面著重解決不共線的三點(diǎn)確定表示平面問題：大家都知道，確定平面的關(guān)鍵要素是只要知道面上的一點(diǎn)和固定面不動(dòng)的“杠桿”（即面的法向量），這個(gè)平面就完全確定了，由此，面上的一點(diǎn)不難從三點(diǎn)中任選一點(diǎn)即可，剩下的問題轉(zhuǎn)變?yōu)槿绾斡扇c(diǎn)確定平面的法向量問題，仍然從代數(shù)的層面考慮，由三點(diǎn)的向量運(yùn)算可確定法向量，從而引出本章§2的知識(shí)點(diǎn)代數(shù)的差乘積運(yùn)算（x3-x1，y3-y1，z3-z1）×（x3-x2，y3-y2，z3-z2=（1，m，n）。這里重點(diǎn)講授差乘積運(yùn)算的定義、性質(zhì)；并且使用點(diǎn)法式（平面的法線垂直于平面上的任一直線（1，m，n）·（x-x1，y-y1，z-z1）=0確定平面方程1（x3-x1+m（y-y1）+n（z-z1）=0也給出了。

4 推廣點(diǎn)的集合的考慮

在一維空間中，點(diǎn)的集合表示的是數(shù)軸上的區(qū)間。

在二維空間中，點(diǎn)的集合表示的是平面上的區(qū)域。

在三維空間中，點(diǎn)的集合表示的是空間上的區(qū)域。

對(duì)以上點(diǎn)的集合，我們從微觀研究，相應(yīng)微小部分即為將來要介紹的面積元、體積元的知識(shí)，它是按照通常的做法，我們統(tǒng)稱為是格子法（即坐標(biāo)變量取常量（例如在二維空間直角坐標(biāo)系下使用平行于坐標(biāo)軸的直線去分割得到的格子））得到。當(dāng)然，此處是擴(kuò)展學(xué)生的思維，略講，明白思想，在后面用到的地方細(xì)講。

總之，筆者通過這樣的教學(xué)思路進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐，并與傳統(tǒng)課堂按照課該次序進(jìn)行講授比較發(fā)現(xiàn)：學(xué)生的聽課狀態(tài)明顯發(fā)生了改變，學(xué)生認(rèn)真聽并且能夠堅(jiān)持聽下去的人數(shù)明顯增多了，學(xué)生的求知欲增強(qiáng)了，聽課率提高了，并且從學(xué)生辨識(shí)方程在解析幾何中的表示反映出學(xué)生聽課效果明顯改善。由此啟示我們：從學(xué)生的認(rèn)知角度出發(fā)，以教給學(xué)生完整的知識(shí)體系，過程體現(xiàn)課程的思想方法不失是我們課堂教學(xué)的一個(gè)有效教學(xué)設(shè)計(jì)思路。

參考文獻(xiàn)

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