玻璃微珠目數(shù)與砂床特征的回歸分析模型

張潔，陳文，康曉娜，劉松青，趙志良，王雙威

（1.中國石油鉆井工程技術(shù)研究院，北京100083；2.北京師范大學，北京100875；3.中國石油長城鉆探工程公司井下作業(yè)公司，北京100101）

儲層段漏失易造成儲層污染嚴重等諸多問題［1-3］，發(fā)展儲層段防漏堵漏技術(shù)迫在眉睫，但一直沒有配套的評價方法。采用常規(guī)堵漏儀，很難與儲層參數(shù)（滲透率、孔隙度、孔隙直徑等）相匹配［4-7］；而采用常規(guī)的儲層保護評價方法，不僅很難真實地反映儲層段堵漏材料的堵漏和儲層保護效果，而且會損害儀器。國外學者發(fā)明的可視式中壓砂床濾失儀，可以直觀定量地評價儲層段滲漏及中小漏的堵漏效果。但是，如何根據(jù)儲層孔隙度、孔隙直徑等參數(shù)確定砂床規(guī)格，一直沒有規(guī)范可以參考。為此，筆者借助掃描電鏡，利用回歸分析模型研究了玻璃微珠目數(shù)與砂床特征的關(guān)系。

1 實驗方法

1.1 孔隙直徑測定

將6 種不同規(guī)格的玻璃微珠烘干24 h 以上，分別放進玻璃圓筒中，輕拍上口多次，使得玻璃微珠緊實穩(wěn)定。然后，迅速將圓筒倒置于導電膠布之上，并施加一定的壓力，使得玻璃微珠不至于變形而影響孔隙直徑的測定。最后，將6 種樣品分別放入掃描電鏡樣品池中，通過掃描電鏡自帶的圖片分析軟件測定孔隙直徑。

1.2 孔隙體積及孔隙度測定

將玻璃微珠烘干至少24 h，分別將50 mL 玻璃微珠裝入內(nèi)徑為2.5 cm 的具塞量筒中，緩緩加入蒸餾水，使得砂床液面保持在50 mL。速度要慢，時間要充足，使得水充分滲透，將孔隙中的空氣排干凈。記錄此時滴入具塞量筒中的水的體積，即為孔隙體積Vp，而砂床的體積為50 mL，則孔隙度為φ=Vp/50×100%。

2 實驗結(jié)果與數(shù)據(jù)處理

2.1 孔隙直徑測定結(jié)果

整理不同目數(shù)的玻璃微珠對應砂床的孔隙直徑數(shù)值，結(jié)果如表1所示。

表1 不同目數(shù)玻璃微珠對應砂床的孔隙直徑數(shù)值

2.2 回歸分析模型對比

回歸分析是研究因變量與自變量之間變動比例關(guān)系的一種方法，分為線性回歸方法和非線性回歸方法2 種［8-10］。本文以線性回歸模型、線性模型EM 算法及非線性模型EM 算法分別建立了相應的3 個回歸分析模型。

2.2.1 線性回歸模型

線性回歸模型為Y=β0+β1X+e，e～N（0，σ2）。其中，X 為玻璃微珠的目數(shù)，Y 為砂床的孔隙直徑，e 為殘差，σ 為標準估計誤差，N（0，σ2）為正態(tài)分布。應用最小二乘估計法，得到的估計值是＝153.276，＝-1.309，＝33.523 10。線性回歸模型的優(yōu)點是簡單方便，但只能用到確定目數(shù)的數(shù)據(jù)，20～40 目及40～60 目玻璃微珠對應砂床的孔隙直徑無法用上，此模型不一定合理。

2.2.2 線性模型EM 算法

該方法是保留確定目數(shù)及范圍目數(shù)的數(shù)據(jù)。線性EM 算法模型為Y=β0+β1X+e，e～N（0，σ2）。應用最小二乘估計法，得到的估計值是＝178.827 0，＝－1.712 352，＝33.476 21。相較于線性回歸模型，線性模型EM 算法的優(yōu)點是用到了所有的數(shù)據(jù)。

2.2.3 非線性模型EM 算法

非線性EM 算法模型為Y=β0+β1X-1+e，e～N（0，σ2）。應用最小二乘估計法，得到的估計值是＝17.263 34，＝3 132.142，＝29.306 08。非線性模型EM算法與線性回歸模型對比，優(yōu)點是用到了所有數(shù)據(jù)；與線性模型EM 算法對比，優(yōu)點是考慮了實際情況，即砂床孔隙直徑與玻璃微珠目數(shù)的關(guān)系呈反比例趨勢。

這3 種模型的顯著性均小于0.05，說明模型都通過了參數(shù)顯著性檢驗，建立的回歸方程具有統(tǒng)計學意義。3 種模型的擬合程度對比結(jié)果，如表2所示。其中，R2表示模型的擬合程度，其值越大，說明模型擬合越好。由表2可看出，非線性模型EM 算法的R2最大，說明其擬合程度相對其他2 種方法更好。所以，決定采用非線性模型EM 算法，來描述玻璃微珠目數(shù)與緊密排列時孔隙直徑之間的關(guān)系。

表2 模型擬合程度對比

2.3 模型預測關(guān)系

非線性模型EM 算法的結(jié)果為

Y=17.263 34+3 132.142/X+e，e～N（0，29.306 082）

用橫軸表示殘差e 的假設分布的分位數(shù)，縱軸表示真實分布的分位數(shù)，繪制該模型的常規(guī)Q-Q 圖，表征殘差e 的真實分布（真實模型）和假設分布（假設模型）的匹配程度（見圖1）。

圖1 常規(guī)Q-Q

從圖1可看出，這些散點恰好落在第一象限的角分線上，說明真實分布與假設分布對應良好，即殘差e的真實分布可認為呈假設的正態(tài)分布。以殘差e 為縱坐標、以Y 值為橫坐標，繪制該模型殘差圖，以驗證殘差e 的真實分布是否為假設的正態(tài)分布（見圖2）。

從圖2可看出，殘差e=Y-17.263 34-3 132.142X-1，這些點均勻散落在以0 軸為中心的帶狀區(qū)域內(nèi)，說明殘差e 的分布是均值為0 的正態(tài)分布。將20～40 目及40～60 目玻璃微珠的真實目數(shù)補出來，繪制Y 與X-1的關(guān)系圖（見圖3）。結(jié)果表明，用模型預測補出的散點與真實的情況大概落在一條直線上，說明建立Y 與X-1為直線關(guān)系是合理的。

圖2 非線性EM 模型殘差

圖3 Y-X-1 關(guān)系

下面根據(jù)非線性模型EM 算法的結(jié)果，來預測砂床孔隙直徑最大概率下的波動范圍。當X 取20 目時，孔隙半徑應在173.870 μm 附近波動，在置信度為95%的情況下，波動范圍為116.431 60～231.309 30 μm。當X 取其他值時，用上述方法進行估計，結(jié)果如表3所示。

表3 玻璃微珠目數(shù)與砂床孔隙直徑的關(guān)系

2.4 孔隙體積及孔隙度測定結(jié)果

不同目數(shù)玻璃微珠對應砂床的孔隙體積及孔隙度值，如表4所示。

表4 玻璃微珠對應砂床的孔隙體積及孔隙度

根據(jù)表3及表4中不同目數(shù)玻璃微珠對應砂床的孔隙直徑及孔隙度的范圍，結(jié)合儲層段巖心的壓汞數(shù)據(jù)分析及常規(guī)孔滲分析數(shù)據(jù)，選擇最匹配目數(shù)的玻璃微珠作為砂床。

3 結(jié)論

1）測定了玻璃微珠對應砂床的孔隙直徑及孔隙度值，并通過3 種模型對比，采用擬合度最高的非線性模型EM 算法來建立玻璃微珠目數(shù)與緊密排列時孔隙直徑的對應關(guān)系，并根據(jù)該模型預測了95%置信度下砂床孔隙直徑的波動范圍。

2）通過預測不同目數(shù)玻璃微珠對應砂床的孔隙直徑及孔隙度的范圍，建立了玻璃微珠目數(shù)與砂床特征的對應關(guān)系，從而改進了可視式中壓砂床濾失評價方法，建立了一種可以與儲層參數(shù)相匹配的儲層段防漏堵漏評價方法。

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