頁(yè)巖氣藏三重介質(zhì)模型壓力動(dòng)態(tài)分析及其應(yīng)用

封欽亞，許藝博，張欣，劉靜華，杜春雨，田玉明

（中國(guó)石油大學(xué)（北京）國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京102249）

0 引言

國(guó)內(nèi)外常規(guī)天然氣的產(chǎn)量不斷下降，開(kāi)發(fā)的目標(biāo)已經(jīng)開(kāi)始轉(zhuǎn)向非常規(guī)資源，例如頁(yè)巖儲(chǔ)層中的頁(yè)巖氣。大多數(shù)頁(yè)巖儲(chǔ)層為天然裂縫儲(chǔ)層，其蘊(yùn)藏著20%以上的世界油氣儲(chǔ)量［1］，具有非常大的開(kāi)發(fā)價(jià)值。常規(guī)儲(chǔ)層一般由多孔并具有高滲透率的巖石組成，而頁(yè)巖通常是一種具有極低滲透率的烴源巖，且頁(yè)巖中產(chǎn)生的氣體多為甲烷，一般困于微孔隙空間或者附著在頁(yè)巖中的有機(jī)物質(zhì)上，不易從中分離出來(lái)；所以，從頁(yè)巖中開(kāi)采氣體是相當(dāng)困難的［2-7］。為了估計(jì)頁(yè)巖儲(chǔ)層中的可采氣體，就需要一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)描述氣體在頁(yè)巖中的流動(dòng)過(guò)程。

在過(guò)去的幾年里，雙重介質(zhì)模型已經(jīng)廣泛被用作解釋氣體在頁(yè)巖基質(zhì)和裂縫中的流動(dòng)［5-7］。傳統(tǒng)的雙重介質(zhì)模型假設(shè)所有的基質(zhì)在整個(gè)流動(dòng)系統(tǒng)中具有相同的性能，裂縫具有高的滲透率。雙重介質(zhì)首先是Barenblatt 等［8］1960年引入的，模型假定在基質(zhì)和裂縫中流動(dòng)為擬穩(wěn)定流；后來(lái)，Warren 等［9］延伸了Barenblatt模型，通過(guò)瞬態(tài)試井分析，引入2 個(gè)無(wú)量綱參數(shù)（彈性?xún)?chǔ)能比、竄流系數(shù)）來(lái)分別表示系統(tǒng)的儲(chǔ)存油氣能力、基質(zhì)和裂縫系統(tǒng)中流體流動(dòng)的難易程度；de Swaan［10］和Ozkan 等［11］分 別 于1976年、1987年 在 假 設(shè) 基 質(zhì) 與裂縫間的流動(dòng)為不穩(wěn)定流動(dòng)的基礎(chǔ)上，提出了雙重介質(zhì)模型，但雙重孔隙介質(zhì)的缺陷在于忽略了基質(zhì)中存在微孔隙、基質(zhì)在整個(gè)系統(tǒng)中不是均質(zhì)的。

頁(yè)巖儲(chǔ)層的天然氣很大一部分來(lái)自于頁(yè)巖基質(zhì)。然而，頁(yè)巖樣品的滲透率太低，以至于在實(shí)驗(yàn)室內(nèi)無(wú)法測(cè)量氣體從頁(yè)巖基質(zhì)到裂縫的流動(dòng)，因此，一些隱藏的流動(dòng)通道不易被發(fā)現(xiàn)。為解釋這種現(xiàn)象，近些年學(xué)者們提出來(lái)了一些假設(shè)。例如：Javadour 和Civan 等分別于2009年、2010年提出了分子擴(kuò)散和Knudse 竄流作用［12-13］；F.P.Wang 等［14］2009年 提 出 了 在 頁(yè) 巖 基 質(zhì) 巖塊中存在具有滲透性的白云巖石和天然的裂縫。

本文在F.P.Wang 等人假設(shè)的基礎(chǔ)上，針對(duì)頁(yè)巖氣儲(chǔ)層，提出了一個(gè)三重介質(zhì)模型：考慮了頁(yè)巖氣吸附作用及一部分頁(yè)巖基質(zhì)具有滲透性；假設(shè)每個(gè)頁(yè)巖基質(zhì)是由具有納米達(dá)西滲透率的微裂縫組成；氣體在微裂縫中的流動(dòng)機(jī)制主要是解吸；擴(kuò)展了原有的瞬態(tài)和擬穩(wěn)態(tài)雙重介質(zhì)頁(yè)巖氣模型。新的三重介質(zhì)模型描述了頁(yè)巖儲(chǔ)層內(nèi)部氣體的流動(dòng)行為。

1 頁(yè)巖氣吸附機(jī)理

頁(yè)巖氣與常規(guī)天然氣藏的最主要區(qū)別是頁(yè)巖氣主要以吸附狀態(tài)儲(chǔ)存于頁(yè)巖基質(zhì)中。頁(yè)巖氣藏在孔隙中的解吸、吸附流動(dòng)過(guò)程如圖1所示。

圖1 微孔內(nèi)頁(yè)巖氣解吸、擴(kuò)散、滲流分解過(guò)程示意

Langmuir 等溫吸附曲線能描述在恒溫條件下頁(yè)巖氣解吸與吸附的平衡關(guān)系，定量描述吸附氣體的壓力和被吸附量之間的關(guān)系。由于吸附是解吸的可逆過(guò)程，所以，等溫吸附曲線可以表征頁(yè)巖氣的解吸特征。Langmuir 從動(dòng)力學(xué)的觀點(diǎn)出發(fā)，得出了單分子層吸附的吸附方程，即Langmuir 方程：

式中：VE為單位巖石體積的總吸附量，m3；VL為L(zhǎng)angmuir體積，m3/t；pA為L(zhǎng)angmuir 壓力，MPa；pL為氣藏壓力，MPa。

2 數(shù)學(xué)模型的建立

三重介質(zhì)模型的假設(shè)條件：

1）人工裂縫具有高滲透率和極小的孔隙度，是頁(yè)巖氣唯一流向井筒的介質(zhì)。

2）頁(yè)巖基質(zhì)m 具有滲透性和孔隙性（帶有微裂縫），并且向裂縫中提供氣源。

3）頁(yè)巖基質(zhì)n 具有微小滲透性和孔隙性，并且既向裂縫又向頁(yè)巖基質(zhì)m 提供氣源。

三重介質(zhì)（裂縫、基質(zhì)m、基質(zhì)n）連續(xù)性方程分別為

其中

式中：ρg，ρs分別為氣體和巖石密度，g/cm3；vf，vm分別為氣體在裂縫中的流動(dòng)速度和氣體在基質(zhì)中的流動(dòng)速度，cm/s；t 為時(shí)間，d；qmf，qnf，qmn分別為基質(zhì)m 系統(tǒng)與裂縫系統(tǒng)、基質(zhì)n 系統(tǒng)與裂縫系統(tǒng)、基質(zhì)m 系統(tǒng)與基質(zhì)n 系統(tǒng)之間的竄流量，m3/d；φf(shuō)，φm，φn分別為裂縫系統(tǒng)、 基質(zhì)m 系統(tǒng)和基質(zhì)n 系統(tǒng)的孔隙度；下標(biāo)m，n，f分別代表基質(zhì)m、基質(zhì)n、裂縫。

將上述3 個(gè)連續(xù)性方程化簡(jiǎn)，并將引入連續(xù)性方程，則簡(jiǎn)化裂縫、基質(zhì)m、基質(zhì)n 的連續(xù)性方程分別為

其中

式中：K 為滲透率，μm2；ψ 為擬壓力，MPa2/（mPa·s）；αfm，αfn，αmn分別為系統(tǒng)的形狀因子（與基質(zhì)m、基質(zhì)n和裂縫的幾何形狀、裂縫的密集程度有關(guān)）；p 為壓力，MPa；C，Cgι，Ct分別為壓縮系數(shù)、系統(tǒng)原始?jí)嚎s系數(shù)、綜合壓縮系數(shù)，MPa－1；μ 為氣體黏度，mPa·s；ps為巖石顆粒壓力，MPa；M 為氣 體相對(duì)分子質(zhì)量，g/mol；Z 為壓縮因子；T 為氣體溫度，K；R 為通用氣體常數(shù)，取值0.008 314 MPa·m3/（kmol·K）。

2 數(shù)學(xué)模型的解

以上建立的頁(yè)巖氣三重介質(zhì)數(shù)學(xué)模型是一個(gè)復(fù)雜的非線性偏微分方程（組），無(wú)法用解析法直接求解，需將這類(lèi)復(fù)雜的偏微分方程離散化后進(jìn)行數(shù)值法求解［5-7］。

定義適當(dāng)?shù)某跏紬l件和邊界條件。初始條件：

外邊界條件：

內(nèi)邊界條件：

式中：ψfD為裂縫無(wú)因次擬壓力；ψmD′，ψnD′分別為基質(zhì)m、基質(zhì)n 的無(wú)因次擬壓力導(dǎo)數(shù)；rD為無(wú)因次距離；tD為無(wú)因次時(shí)間。

以基質(zhì)m（考慮三維滲流）的連續(xù)性方程為例。

式中：x，y，z 為空間坐標(biāo)。

1）對(duì)式（21）左邊項(xiàng)進(jìn)行差分。

2）以x 方向?yàn)槔?/p>

令

于是式（21）變成：

3）形狀因子的簡(jiǎn)化。

αfn和αmn使用Warren 和Root 1963年［9-10］定義的：

式中：L 為基質(zhì)巖塊的特征長(zhǎng)度，m；w 為裂縫面維數(shù)。

假設(shè)基質(zhì)巖塊呈正方體狀時(shí)，巖塊正方體單元的邊長(zhǎng)為αs，則w=3，L=αs，于是Ln分別為基質(zhì)巖塊和微基質(zhì)巖塊的長(zhǎng)度，m）。對(duì)于αfm，使用Wu 等2007年［15］定義的：

式中：A12為單位體積巖石中裂縫和基質(zhì)連接的面積，m2；L12為基質(zhì)長(zhǎng)度，m。

將基質(zhì)塊視為由微基質(zhì)塊包圍的交叉網(wǎng)格塊，并且裂縫厚度為l；因此，每個(gè)基質(zhì)塊都由長(zhǎng)為L(zhǎng)n的微基質(zhì)塊組成，長(zhǎng)為L(zhǎng)m［16-17］（見(jiàn)圖2）。

圖2 基質(zhì)理想化網(wǎng)格

由式（21）的簡(jiǎn)化分別得到基質(zhì)m、基質(zhì)n 和裂縫的差分方程：

3 井底壓力曲線分析

將式（30）、式（31）和式（32）進(jìn)行Matlab 編程求解，對(duì)以下幾種因素進(jìn)行討論。

3.1 竄流系數(shù)對(duì)井底壓力變化的影響

圖3a、圖3b、圖3c分別表示裂縫與基質(zhì)m 間的竄流系數(shù)λfm、裂縫與基質(zhì)n 間的竄流系數(shù)λfn、基質(zhì)m和基質(zhì)n 之間的竄流系數(shù)λmn對(duì)井底壓力的影響，竄流系數(shù)的數(shù)值大小反映了原油在2 種介質(zhì)間流動(dòng)的難易程度。

圖3 竄流系數(shù)對(duì)井底壓力的影響

從圖3中可以看出，竄流系數(shù)λ 越小，出現(xiàn)過(guò)渡段時(shí)期越晚，但整體形態(tài)不變。這說(shuō)明：在三重介質(zhì)模型中，當(dāng)壓力不斷降低，發(fā)生基質(zhì)m 向裂縫的竄流后，也將發(fā)生基質(zhì)n 向裂縫的竄流；基質(zhì)m 和基質(zhì)n 系統(tǒng)只控制著氣體的傳播，它們之間的竄流系數(shù)幾乎對(duì)井底壓力沒(méi)有影響。

3.2 儲(chǔ)容比對(duì)井底壓力變化的影響

圖4a、圖4b、圖4c分別表示裂縫、基質(zhì)m、基質(zhì)n系統(tǒng)的彈性?xún)?chǔ)容比（各系統(tǒng)儲(chǔ)容系數(shù)與總儲(chǔ)容系數(shù)之比）ωf，ωm和ωn對(duì)井底壓力變化的影響。

圖4 彈性?xún)?chǔ)容比對(duì)井底壓力的影響

從圖4a可以看出：裂縫彈性?xún)?chǔ)容比影響曲線的前半段，其值越小，其第1 個(gè)下凹越淺且越窄；ωf影響2條曲線間的關(guān)系，當(dāng)ωf越小時(shí)，其第1 條曲線與第2條曲線的直線間距離就越小，這表明基巖與裂縫間的竄流時(shí)間就越長(zhǎng)。從圖4b、圖4c可看出，基質(zhì)m、基質(zhì)n 系統(tǒng)的彈性?xún)?chǔ)容比幾乎對(duì)井底壓力沒(méi)有影響。

3.3 滲透率比值對(duì)井底壓力變化的影響

圖5表示的是裂縫滲透率與基質(zhì)m 滲透率的比值K*對(duì)井底壓力的影響。從圖中可以看出，隨著滲透率比值的增大，第1 條曲線和第2 條曲線之間的距離越來(lái)越大，同時(shí)第1 條曲線在圖上變短且變高，表明基質(zhì)與裂縫之間的竄流時(shí)間就越長(zhǎng)。由于基質(zhì)n 的滲透率特別小，所以可以忽略不計(jì)。

圖5 滲透率比值對(duì)井底壓力的影響

4 現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際應(yīng)用

以四川威遠(yuǎn)縣龍馬溪組的一口頁(yè)巖氣井為例。首先對(duì)這口井的儲(chǔ)層特征、壓裂參數(shù)、生產(chǎn)參數(shù)通過(guò)Eclipse 數(shù)值模擬軟件進(jìn)行歷史擬合，之后采用本文所提出的頁(yè)巖氣三重介質(zhì)模型進(jìn)行模擬，最后與實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比?；緟?shù)如表1所示。

圖6反映了考慮吸附解吸與不考慮吸附解吸對(duì)壓裂頁(yè)巖氣井產(chǎn)能動(dòng)態(tài)曲線的影響。頁(yè)巖氣藏考慮吸附解吸比不考慮吸附解吸產(chǎn)量遞減更慢，且生產(chǎn)時(shí)間更長(zhǎng)，產(chǎn)量更加穩(wěn)定。

表1 儲(chǔ)層參數(shù)

圖6 吸附對(duì)產(chǎn)量的影響

通過(guò)現(xiàn)在頁(yè)巖氣實(shí)際數(shù)據(jù)和擬合數(shù)據(jù)進(jìn)行分析（見(jiàn)圖7），輸入值和擬合值變化規(guī)律基本符合，相對(duì)誤差在范圍內(nèi)，可以看出本文所建立的頁(yè)巖氣三重介質(zhì)模型基本符合現(xiàn)場(chǎng)應(yīng)用。

圖7 頁(yè)巖氣實(shí)際數(shù)據(jù)和擬合數(shù)據(jù)分析

5 結(jié)論

1）頁(yè)巖氣藏比較復(fù)雜，且基質(zhì)性能不同，本文所建立的三重介質(zhì)模型考慮了頁(yè)巖氣吸附性能及微孔隙的存在，并通過(guò)離散差分及Matlab 程序進(jìn)行求解。

2）分別分析了裂縫、基質(zhì)、基質(zhì)系統(tǒng)中的竄流系數(shù)、彈性?xún)?chǔ)容比、裂縫與基質(zhì)滲透率比值對(duì)井底壓力特征曲線的影響：竄流系數(shù)決定出現(xiàn)過(guò)渡段時(shí)期的早晚，彈性?xún)?chǔ)容比決定曲線下凹深度與寬度，滲透率比決定2條曲線之間的距離。這些結(jié)果可為以后頁(yè)巖氣藏開(kāi)發(fā)提供試井模型和理論依據(jù)。

3）根據(jù)四川威遠(yuǎn)縣龍馬溪組頁(yè)巖氣井的現(xiàn)場(chǎng)數(shù)據(jù)，利用求得的模型進(jìn)行計(jì)算。分析表明，實(shí)際數(shù)據(jù)與擬合數(shù)據(jù)基本規(guī)律一致。建立的模型得到有效驗(yàn)證。

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