改進Twisting算法的相對位姿耦合控制

耿云海，陳炳龍，梁海朝

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)衛(wèi)星技術(shù)研究所，150080哈爾濱；2.北京航天長征飛行器研究所，100076北京）

改進Twisting算法的相對位姿耦合控制

耿云海1，陳炳龍1，梁海朝2

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)衛(wèi)星技術(shù)研究所，150080哈爾濱；2.北京航天長征飛行器研究所，100076北京）

為實現(xiàn)對非合作目標(biāo)航天器進行在軌服務(wù)，將Twisting算法與線性補償項相結(jié)合，設(shè)計相對位置與姿態(tài)耦合的二階滑?？刂破?以航天器對接端口間耦合相對運動模型為基礎(chǔ)，設(shè)計兩種滑模平面的改進Twisting控制器.選取嚴(yán)格李雅普諾夫函數(shù)，證明所設(shè)計的改進Twisting控制器對有界干擾具有有限時間收斂的特性，并估計出收斂時間的上界.設(shè)計數(shù)學(xué)仿真，將其與標(biāo)準(zhǔn)Twisting算法進行對比，驗證所設(shè)計的二階滑?？刂破鲗δＰ筒淮_定性及有界干擾具有較強的魯棒性，并能夠有效抑制執(zhí)行機構(gòu)的震顫.

航天器在軌服務(wù)；Twisting算法；線性補償；滑模平面；嚴(yán)格李雅普諾夫函數(shù)

眾所周知，真實物理系統(tǒng)中含有不確定性、空間環(huán)境中存在擾動作用，這些因素使得控制系統(tǒng)設(shè)計變得更加復(fù)雜.針對這類問題，發(fā)展出自適應(yīng)控制［1-2］、魯棒控制［3-4］、滑?？刂疲?-7］等方法，抑制不確定性及干擾.其中，自適應(yīng)控制通過增加控制器參數(shù)、動態(tài)計算控制器的增益，使系統(tǒng)對不確定性及干擾具有一定的魯棒性；但計算量隨著參數(shù)維數(shù)的增加而變大［8］.魯棒控制算法則通過擴展含有不確定性的狀態(tài)變量，利用增廣系統(tǒng)設(shè)計控制器來增強系統(tǒng)對不確定性的魯棒性；但隨著增廣變量的增加計算量也隨之加大.文獻［9］建立了增廣狀態(tài)的系統(tǒng)方程，基于航天器質(zhì)心間相對運動關(guān)系設(shè)計魯棒控制器，但該相對運動模型屬于點質(zhì)量模型，忽略了相對轉(zhuǎn)動對相對平動的耦合作用.

滑模變結(jié)構(gòu)控制方法獨立于系統(tǒng)動力學(xué)特性，且對已知界限的不確定性及干擾具有魯棒性.利用已知不確定性及擾動的上確界設(shè)計滑模平面，將系統(tǒng)狀態(tài)約束在滑模平面內(nèi).當(dāng)系統(tǒng)軌跡運動到滑模平面以后，系統(tǒng)響應(yīng)將不受不確定性和擾動的影響，只由滑模平面唯一決定.因此，滑?？刂破鲗τ薪绲牟淮_定性及干擾具有較強的魯棒性.但標(biāo)準(zhǔn)滑?？刂破髦贿m用于系統(tǒng)輸出的相對階為1的情況［10］，且在高頻開關(guān)切換下產(chǎn)生震顫效應(yīng).為降低震顫現(xiàn)象，文獻［11］提出高階滑模算法，在保證系統(tǒng)特性的基礎(chǔ)上，通過改變間斷面附近區(qū)域內(nèi)的動力學(xué)模型來避免中斷.高階滑模算法繼承了標(biāo)準(zhǔn)滑模控制器的優(yōu)點，并且利用狀態(tài)偏差對時間的高階導(dǎo)數(shù)解決了相對階的限制，既有效地減弱震顫，又改善開關(guān)延遲和離散測量對控制精度產(chǎn)生的影響［12］.然而，高階滑?？刂破魉璧男畔⒘侩S滑模相對階數(shù)的增加而增大（r階滑?？刂破餍枰嬎鉺、˙s、…、s（r-1））．具備有限時間收斂特性的任意階滑?？刂破魅匀惶幱诶碚撗芯浚?3］，但2階滑模控制器已經(jīng)成功解決了現(xiàn)實問題.被廣泛應(yīng)用的2階滑模算法有：Twisting［14-15］、Super Twisting［16-17］和終端滑模算法［18］.文獻［14］利用嚴(yán)格李雅普諾夫函數(shù)證明了標(biāo)準(zhǔn)Twisting算法的收斂特性.將其與線性控制算法進行對比：二階滑模算法對距離原點較近的有界干擾具有強魯棒性；線性算法處理距離原點較遠的有界擾動能力更強［19］.因此，在Twisting算法中加入線性補償項能有效改善閉環(huán)系統(tǒng)特性，減弱執(zhí)行機構(gòu)的震顫效應(yīng).

本文考慮相對轉(zhuǎn)動對相對平動的耦合作用，利用文獻［20-21］建立的航天器非質(zhì)心點間耦合動力學(xué)模型，將標(biāo)準(zhǔn)Twisting控制與線性算法相結(jié)合，以兩種滑模平面分別設(shè)計含線性補償項的改進Twisting控制器，并選取嚴(yán)格李雅普諾夫函數(shù)證明其對有界干擾具有有限時間收斂的特性.利用數(shù)學(xué)仿真，將其與標(biāo)準(zhǔn)Twisting控制器進行對比，驗證所建立的姿軌耦合控制器對有界干擾具有更強的魯棒性，可以有效減弱執(zhí)行機構(gòu)震顫效應(yīng)，提高對非合作目標(biāo)航天器進行在軌服務(wù)的可靠性.

1 相對運動動力學(xué)模型

圖1 兩航天器對接端口間相對運動關(guān)系

假設(shè)干擾加速度ad是連續(xù)可導(dǎo)的有界慢變函數(shù)，干擾力矩Td［22］、重力梯度力矩Tg分別為如下形式：

其中：ad0是干擾加速度的初值，kd為常數(shù)；ωo為軌道角速度的模；r是地心矢徑的模，Z0為單位地心矢徑．

2 二階滑?？刂破髟O(shè)計

2.1 標(biāo)準(zhǔn)Twisting控制器

令滑模狀態(tài)為s，記x=s、y=˙s．閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程形式如下：

其中｜μ｜≤D．

由Twisting算法可知，當(dāng)α-D＞β＞D成立時系統(tǒng)（4）可在有限時間內(nèi)收斂到平衡點．

記期望狀態(tài)為xd，狀態(tài)偏差e=x-xd．取滑模平面s=e，由Twisting算法設(shè)計式（1）的姿軌耦合控制器T1形式如下：

其中，α1、β1為主對角線矩陣．由式（2）、式（3）及擾動力矩Td、Tg的形式可知，δ連續(xù)可導(dǎo)且有界．

取滑模平面s=˙e+λe，λ為正常數(shù)組成的主對角線矩陣，由Twisting算法設(shè)計式（1）的姿軌耦合控制器T2形式如下：

記X=s、Y=˙s，得到閉環(huán)系統(tǒng)方程為

因此，｜Δi｜≤χi，當(dāng)α2i-χi＞β2i＞χi時系統(tǒng)（6）也可在有限時間內(nèi)收斂到平衡點．其中，

2.2 改進Tw isting控制器

為改變閉環(huán)系統(tǒng)特性，將Twisting算法與線性補償項相結(jié)合，得到如下閉環(huán)系統(tǒng)方程：

選取嚴(yán)格李雅普諾夫函數(shù)如下：

對W（x，y）進行放大處理得

其中，

對W求時間的一階導(dǎo)數(shù)得

其中，

求解如下微分方程：

因此，系統(tǒng)（8）收斂到原點的時間上限Tf為

2.3 改進的姿軌耦合控制器

取滑模平面為s=e時，設(shè)計基于改進Twisting算法的姿軌耦合控制器M1，形式如下：

令X=s，Y=˙s；則閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程為

由2.1節(jié)可知，當(dāng)M1i-Εi＞M2i＞Εi，M3i，M4i＞0時系統(tǒng)（12）在有限時間內(nèi)收斂到平衡點．

取滑模平面為s=˙e+λe時，設(shè)計基于改進Twisting算法的姿軌耦合控制器M2形式如下：

令X=s，Y=˙s，Δ=˙δ；則閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程為

由2.1節(jié)可知，當(dāng)K1i-χi＞K2i＞χi，K3i，K4i＞0時系統(tǒng)（14）在有限時間內(nèi)收斂到平衡點．

分析上述控制的設(shè)計過程：M1控制器直接抑制有界干擾，M2控制器則通過抑制干擾對時間的導(dǎo)數(shù)來提高魯棒性．因此，M1對相對位置的控制精度高于M2，而M2對相對速度的控制精度高于M1．

3 數(shù)學(xué)仿真

3.1 仿真參數(shù)

S與T的軌道六根數(shù)如表1所示，兩航天器質(zhì)量為：ms=240 kg，mt=320 kg；轉(zhuǎn)動慣量為

對接端口位置矢量在各自體系下表示為

表1 試件主要參數(shù)S和T的軌道參數(shù)

初始姿態(tài)四元數(shù)和姿態(tài)角速度的初值為

采用雙組元軌道和姿態(tài)發(fā)動機做為執(zhí)行機構(gòu)，控制力與力矩的輸出限制分別為amax=0.2 m／s2和Tmax=0.8 N·m.干擾加速度為：

假設(shè)相對位置、相對速度、相對姿態(tài)角速度均由狀態(tài)估計器給出，仿真實驗?zāi)康氖球炞C所設(shè)計姿軌耦合控制器對有界干擾的魯棒性，因而不考慮敏感器測量誤差影響.分別設(shè)計控制器T1、T2、M1、M2使與實現(xiàn)安全對接，具體參數(shù)如表2所示．

表2 控制器參數(shù)

3.2 仿真結(jié)果

選取不同形式的干擾加速度分別進行仿真，將150 s到200 s仿真時間內(nèi)數(shù)據(jù)的平均值與其三倍標(biāo)準(zhǔn)方差之和定義為標(biāo)準(zhǔn)Twisting算法的控制精度；將50 s到100 s仿真時間內(nèi)數(shù)據(jù)的平均值與其三倍標(biāo)準(zhǔn)方差之和定義為改進Twisting算法的控制精度.由于M1，M2對不同形式干擾的控制效果相似，這里僅給出有界線性增長干擾作用下的仿真結(jié)果，圖2～6為M1控制效果，圖7～11為M2控制效果．計算T1、M1與T2、M2的控制精度如表3所示．

圖2 M1在有界線性增加干擾作用下的相對平動關(guān)系曲線（Fbs）

圖中，x、y、z為對接端口間相對位置分量，Vx、Vy、Vz為對接端口間相對速度分量；φr、θr、ψr為相對姿態(tài)角分量；ωrx、ωry、ωrz為相對姿態(tài)角速度分量；｜ρij｜為對接端口之間的距離，｜ρ00｜為航天器質(zhì)心間距離；Fcx、Fcy、Fcz為姿軌發(fā)動機輸出控制力分量；Tcx、Tcy、Tcz為姿軌發(fā)動機輸出控制力矩分量；相對姿態(tài)角速度分量；Sx、Sy、Sz是由相對平移關(guān)系組成的滑模面分量，Sq1、Sq2、Sq3是由相對四元數(shù)矢部組成的滑模面分量．

圖3 M1在有界線性增加干擾作用下的相對轉(zhuǎn)動關(guān)系曲線（Fbt）

圖4 M1在有界線性增加干擾作用下的相對距離關(guān)系曲線

圖5 M1在有界線性增加干擾作用下的執(zhí)行機構(gòu)輸出關(guān)系曲線（Fbs）

圖6 M1在有界線性增加干擾作用下的控制器滑模平面

圖7 M2在有界線性增加干擾作用下的相對平動關(guān)系曲線（Fbs）

圖8 M2在有界線性增加干擾作用下的相對轉(zhuǎn)動關(guān)系曲線（Fbt）

圖9 M2在有界線性增加干擾作用下的相對距離關(guān)系曲線

圖10 M2在有界線性增加干擾作用下的執(zhí)行機構(gòu)輸出關(guān)系曲線（Fbs）

圖11 M2在有界線性增加干擾作用下的控制器滑模平面

T1與M1仿真結(jié)果對比可見，含線性補償項的改進Twisting控制器M1對有界干擾的抑制能力更強，收斂速度更快．對比表3的計算結(jié)果，M1對各個相對運動狀態(tài)的控制精度以及消除執(zhí)行機構(gòu)震顫效應(yīng)等方面都遠遠優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)Twisting控制器T1．類似地，T2與M2仿真結(jié)果對比后可以得出相似結(jié)論：M2對有界干擾的抑制能力更強，收斂速度更快，且M2的控制精度及消除執(zhí)行機構(gòu)震顫效應(yīng)等方面也都遠遠優(yōu)于T2．綜上所述，含線性補償項的M1、M2控制器可以有效抑制不確定性和有界干擾，使系統(tǒng)具有更強的魯棒性；同時，顯著改善了執(zhí)行機構(gòu)因高頻切換而產(chǎn)生的震顫效應(yīng)，提高了標(biāo)準(zhǔn)Twisting算法的性能，同時繼承了滑?？刂破髟谟邢迺r間收斂到平衡點的特性．

對比控制器M1、M2的仿真結(jié)果可知，M1對相對位置的控制精度高于M2，而對相對速度的控制精度低于M2．由此證明了2.3節(jié)對控制器的特性分析：控制器M1抑制式（12）中的有界干擾δ，直接針對δ進行補償；M2則通過抑制式（14）中有界的干擾變化率Δ來補償有界干擾δ對系統(tǒng)的影響．

3.3 參數(shù)不確定性的魯棒性驗證

選取轉(zhuǎn)動慣量參數(shù)，對Js、Jt進行正負拉偏10%，利用控制器M1、M2分別進行仿真，驗證所設(shè)計的二階滑?？刂破鲗δＰ蛥?shù)不確定性的魯棒性.計算70 s到100 s內(nèi)的控制精度，如表4～7所示.由仿真結(jié)果可見：M1對相對位置和姿態(tài)角的控制精度數(shù)量級不變，相對速度和姿態(tài)角速度精度有所降低；M2與之相反，相對位置和姿態(tài)角的控制精度有所下降，但仍比標(biāo)準(zhǔn)Twisting算法的精度高一或兩個數(shù)量級，相對速度和姿態(tài)角速度的控制精度數(shù)量級不變.由此可見，本文所設(shè)計的帶線性補償器的二階滑?？刂破鲗δＰ蛥?shù)不確定性有較強的魯棒性.

表3 控制器精度對比

表4 Js+10%，Jt+10%的控制精度

表5 Js+10%，Jt-10%的控制精度

表6 Js-10%，Jt+10%的控制精度

表7 Js-10%，Jt-10%的控制精度

綜上所述，仿真結(jié)果證明包含線性補償項的改進Twisting控制器對有界干擾及模型參數(shù)不確定性具有強魯棒性，并且達到較高的控制精度，足以保證與非合作目標(biāo)航天器對接端口間安全對接.

4 結(jié) 論

1）考慮相對轉(zhuǎn)動對相對平動的耦合作用，以航天器對接端口間耦合相對運動動力學(xué)模型為基礎(chǔ)，利用兩種形式的滑模平面分別設(shè)計含線性補償項的改進Twisting控制器，實現(xiàn)航天器相對位置與姿態(tài)協(xié)同控制，進而滿足對失控的非合作目標(biāo)航天器進行在軌服務(wù)的要求.

2）選取嚴(yán)格李雅普諾夫函數(shù)，證明所設(shè)計的含有線性補償項的改進Twisting控制器在有界干擾作用下不僅是全局漸進穩(wěn)定的，還具備在有限時間內(nèi)收斂到平衡點的特性.此外，給出了通過求解李雅普諾夫函數(shù)計算收斂時間上界的方法.

3）利用MATLAB-Simulink建立對比仿真，驗證所設(shè)計的改進Twisting控制器不但對有界不確定性具有較強的魯棒性，并且能夠有效抑制有限速率線性增長的和周期性的慢變有界干擾，仿真結(jié)果證明該改進Twisting控制器可以顯著減弱執(zhí)行機構(gòu)因高頻切換所產(chǎn)生的震顫效應(yīng).

后期的工作將在本文的基礎(chǔ)上，圍繞干擾及不確定性的形式深入研究減弱滑?？刂破鲌?zhí)行機構(gòu)震顫效應(yīng)的方法，結(jié)合自適應(yīng)控制思想設(shè)計變增益的自適應(yīng)相對位姿耦合控制算法.

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（編輯張 宏）

Relative position and attitude coupled control based on modified tw isting algorithm

GENG Yunhai1，CHEN Binglong1，LIANG Haizhao2
（1.Research Center of Satellite Technology，Harbin Institute of Technology，150080 Harbin，China；2.Beijing Institute of Space Long March Vehicle，100076 Beijing，China）

The relative position and attitude coupled second-order slidingmode controller is proposed by combining twisting algorithm with linear compensator for on-orbit servicing to a non-cooperative target spacecraft.On the basis of a coupled relativemotion model between docking ports on two spacecrafts，themodified twisting controllerswith linear compensation items are designed by using two different sliding surfaces.A strict Lyapunov function is proposed to prove that the modified twisting controllers have the property of finite time convergence for bounded perturbations and the upper bound for the time convergence is estimated.Simulation results are presented to validate strong robustness of the proposed second-order controllers formodel uncertainties and limited perturbationswith the comparison with the standard twisting algorithm.The chattering alleviation and attenuation is also achieved in actuatingmechanism.

spacecrafton-orbit servicing；twisting algorithm；linear compensation；sliding surface；strict Lyapunov function

V448.2

：A

：0367-6234（2015）11-0006-09

10.11918／j.issn.0367-6234.2015.11.002

2014-09-26.

耿云海（1970—），男，教授，博士生導(dǎo)師.

陳炳龍，chenbinglonghit＠163.com.