截?cái)嗫傮w最小二乘法在抑制地磁導(dǎo)航磁力儀隨機(jī)誤差方面的應(yīng)用

王立輝，余 樂(lè)，梁冰冰，喬 楠

（1. 東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院 微慣性?xún)x表與先進(jìn)導(dǎo)航技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210096；2. 空間物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100076）

截?cái)嗫傮w最小二乘法在抑制地磁導(dǎo)航磁力儀隨機(jī)誤差方面的應(yīng)用

王立輝1，余 樂(lè)1，梁冰冰2，喬 楠1

（1. 東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院 微慣性?xún)x表與先進(jìn)導(dǎo)航技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210096；2. 空間物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100076）

三軸磁力儀的隨機(jī)誤差補(bǔ)償技術(shù)是當(dāng)前水下地磁導(dǎo)航領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。傳統(tǒng)上采用最小二乘法或其相關(guān)改進(jìn)方法進(jìn)行誤差修正，是基于假設(shè)隨機(jī)誤差為高斯分布或者沒(méi)有考慮到磁力儀觀測(cè)方程的病態(tài)問(wèn)題。將總體最小二乘方法與正則化方法結(jié)合起來(lái)，提出一種截?cái)嗫傮w最小二乘法，來(lái)處理觀測(cè)方程兩邊都存在隨機(jī)誤差的病態(tài)問(wèn)題。仿真結(jié)果表明，截?cái)嗫傮w二乘法能很好地抑制磁力儀測(cè)量中的病態(tài)影響，且將經(jīng)過(guò)截?cái)嗫傮w二乘法標(biāo)定前后的殘差減小至10 nT以?xún)?nèi)。此外，比起最小二乘法補(bǔ)償和總體最小二乘法補(bǔ)償后的測(cè)量數(shù)據(jù)，經(jīng)過(guò)截?cái)嗫傮w最小二乘法補(bǔ)償后的測(cè)量數(shù)據(jù)更加接近真實(shí)值，達(dá)到了抑制隨機(jī)誤差的目的。

水下地磁導(dǎo)航；三軸磁力儀；病態(tài)問(wèn)題；截?cái)嗫傮w最小二乘法；隨機(jī)誤差補(bǔ)償

地磁輔助導(dǎo)航系統(tǒng)具有隱蔽性好、信息量豐富等優(yōu)勢(shì)，是解決水下載體長(zhǎng)航時(shí)、高精度、自主導(dǎo)航問(wèn)題的有效途徑之一，成為一種重要的水下導(dǎo)航與定位方法[1-2]。磁場(chǎng)物理量的實(shí)時(shí)測(cè)量獲取在整個(gè)地磁輔助導(dǎo)航系統(tǒng)中有著舉足輕重的作用[3]。在實(shí)際測(cè)量過(guò)程中，由于存在干擾磁場(chǎng)、磁力儀自身精度誤差、地磁觀測(cè)不充分等因素，影響了磁力儀測(cè)量的準(zhǔn)確性，需要對(duì)磁力儀進(jìn)行誤差補(bǔ)償[4]。

在地磁導(dǎo)航磁力儀測(cè)量誤差補(bǔ)償方面，幾種磁力儀補(bǔ)償模型相繼被提出：非線性?xún)刹椒ㄋ惴▽?duì)磁力儀的輸出進(jìn)行建模，引入中間變量，利用相關(guān)公式求得補(bǔ)償系數(shù)，可以減小計(jì)算量并無(wú)需提供初始值[5-6]；自適應(yīng)最小二乘法（ALS）根據(jù)隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)方差自適應(yīng)地給出一致的參數(shù)估計(jì)值，并且已經(jīng)運(yùn)用到磁力儀導(dǎo)航中的傳感器標(biāo)定補(bǔ)償問(wèn)題中[7]；一種基于遞歸加權(quán)最小二乘（RWLS）算法的磁力儀誤差補(bǔ)償方法在每一步遞歸更新階段都避免了矩陣求逆的操作，使數(shù)值求解過(guò)程更加穩(wěn)定[8]；總體最小二乘（TLS）考慮了線性矩形方程兩端存在測(cè)量誤差，進(jìn)一步提高了標(biāo)定補(bǔ)償?shù)臏?zhǔn)確性[9]。

在航海測(cè)量過(guò)程中，三軸磁力儀在垂直方向上的測(cè)量分量受到了載體機(jī)動(dòng)能力的限制，使得垂直方向的誤差參數(shù)無(wú)法被充分的激勵(lì)，導(dǎo)致地磁觀測(cè)不充分，即觀測(cè)方程AX=b會(huì)遇到病態(tài)問(wèn)題。本文以地磁導(dǎo)航磁力儀測(cè)量誤差補(bǔ)償為研究背景，將 TLS方法和Tikhonov正則化方法相結(jié)合，提出截?cái)嗫傮w最小二乘法(TTLS)[10,16]來(lái)解決地磁測(cè)量誤差補(bǔ)償?shù)牟B(tài)問(wèn)題。在選擇正則化參數(shù)的方法上，考慮到L曲線法有時(shí)會(huì)由于曲線過(guò)于平滑而難以準(zhǔn)確找到頂點(diǎn)，缺乏較好的準(zhǔn)確性，因此采用廣義交叉檢核法（Generalized Cross-Validation, GCV）[11-12]來(lái)確定正則化參數(shù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，TTLS方法能有效抑制磁力儀標(biāo)定中的病態(tài)問(wèn)題，獲得了較好的磁力儀誤差補(bǔ)償效果。

1 磁力儀誤差特性建模

三軸捷聯(lián)磁力儀在使用過(guò)程中將會(huì)受到諸多誤差源的影響[13]，這些誤差源主要分為兩類(lèi)：儀表誤差和載體干擾磁場(chǎng)。這兩類(lèi)誤差源彼此耦合，共同影響磁力儀的測(cè)量精度。

1.1 磁力儀隨機(jī)誤差特征

當(dāng)載體在某一固定位置或者磁場(chǎng)變化較小的地區(qū)作各種姿態(tài)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于地磁場(chǎng)矢量為常矢量，捷聯(lián)式三軸磁傳感器的測(cè)量矢量滿(mǎn)足

式中：F表示磁力儀的輸出，上標(biāo)S表示傳感器坐標(biāo)系， FS表示三軸磁力儀的輸出，代表當(dāng)?shù)氐卮艌?chǎng)在載體坐標(biāo)系的磁場(chǎng)矢量，上標(biāo)b表示載體坐標(biāo)系。將式(1)展開(kāi)，寫(xiě)成三分量形式：

三軸間正交誤差是由于在制造過(guò)程中不能保證三個(gè)磁傳感器的測(cè)量軸完全兩兩正交而引起的測(cè)量誤差。非正交誤差模型如圖1所示。

圖1 三軸磁傳感器的非正交模型Fig.1 Non-orthogonal model of three-axis magnetic sensor

圖1中，X0、Y0、Z0表示理想正交模型中三軸磁傳感器的矢量指向，X1、Y1、Z1表示實(shí)際磁傳感器三軸的指向。圖2中假設(shè)Z1軸與正交坐標(biāo)系的Z0軸重合，且 X1O Z1面與 X0OZ0重合，X1軸在 X1O Z1面與軸X0的夾角為α、β為Y1在 X0OZ0面的投影與Y0的夾角，γ為Y1與 X0OZ0面的夾角。

據(jù)圖1所示的矢量關(guān)系，可以推導(dǎo)如下關(guān)系式：

式(3)即為三軸磁傳感器的非正交數(shù)學(xué)模型。式中，CN是非正交誤差矩陣，X0、Y0、Z0為傳感器理論輸出值，X1、Y1、Z1為存在非正交誤差時(shí)的三維磁場(chǎng)強(qiáng)度。

傳感器的安裝會(huì)存在微小的方位誤差。設(shè)傳感器敏感軸與載體坐標(biāo)軸的誤差角為 [εxεyεz]T，那么安裝誤差角數(shù)學(xué)模型為

式中，CM表示安裝誤差矩陣，X2、Y2、Z2為存在安裝誤差時(shí)的三維磁場(chǎng)強(qiáng)度。

由于材料和制造工藝水平的限制，傳感器的三個(gè)軸之間的靈敏度、測(cè)量信號(hào)的放大電路特性不完全相同，導(dǎo)致存在三軸間存在刻度因子誤差，分別設(shè)為rx、ry、rz，那么刻度因子誤差數(shù)學(xué)模型為

式中，CS表示刻度因子誤差矩陣，X3、Y3、Z3為存在刻度因子誤差時(shí)的三維磁場(chǎng)強(qiáng)度。

同時(shí)，由于剩磁現(xiàn)象，各敏感軸的激勵(lì)電路也存在零點(diǎn)漂移，使靜態(tài)工作點(diǎn)發(fā)生變化，并被逐級(jí)放大和傳輸，導(dǎo)致電路輸出端電壓偏離原固定值而上下漂動(dòng)的現(xiàn)象。設(shè)傳感器三個(gè)方向的零點(diǎn)偏移分別為bx0、by0、bz0，那么零點(diǎn)漂移誤差數(shù)學(xué)模型為

式中，CS稱(chēng)為軟磁系數(shù)矩陣。

根據(jù)以上對(duì)磁力儀測(cè)量誤差特性的分析與建模，可以得到三軸磁力儀的測(cè)量輸出模型為

將式(3)～(7)代入到式(8)中，得到：

式中，對(duì)應(yīng)系數(shù)矩陣和誤差矩陣分別為

其中：θ1～θ3是總非正交誤差角； k1～k3是總刻度因子誤差； o1～o3是總零偏誤差。因此，式(9)中的9參數(shù)能夠適當(dāng)?shù)孛枋鋈S磁力儀的輸入輸出過(guò)程。

1.2 磁力儀的隨機(jī)誤差分析模型

式(9)進(jìn)行逆向映射，可得到三軸磁力儀的標(biāo)定模型為

在一個(gè)磁場(chǎng)強(qiáng)度已知且恒定區(qū)域內(nèi)，其場(chǎng)強(qiáng)標(biāo)量值為定值，根據(jù)式(10)可得：

式中，

式(11)是一個(gè)橢球方程，式(12)為磁場(chǎng)強(qiáng)度真實(shí)值與測(cè)量值的平方差，當(dāng)沒(méi)有隨機(jī)誤差干擾時(shí)，r= 0，r∈N×1，N為地磁測(cè)量數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。由于磁傳感器隨機(jī)誤差干擾的存在，只能通過(guò)估計(jì)橢球參數(shù)ξ，ξ∈10×1，得到 ，使殘差r最小，即有如下優(yōu)化指標(biāo)：

然后計(jì)算出 ρ1～ρ3、 k1～k3和o1～o3九個(gè)參數(shù)，完成誤差標(biāo)定與補(bǔ)償?shù)倪^(guò)程。

2 隨機(jī)誤差補(bǔ)償算法

由式(12)可知，當(dāng)r最小，也就是r=0的時(shí)候，式(13)優(yōu)化指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。由于這是屬于非線性問(wèn)題，需要進(jìn)行線性化處理，將式(12)展開(kāi)，得到如下線性方程：

式中，

選擇q個(gè)測(cè)量值，對(duì)式(15)進(jìn)行求解，由于q遠(yuǎn)大于10，式(15)是超定的線性方程。在解得未知量X后，即可根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)解算，求得誤差標(biāo)定模型中的標(biāo)定系數(shù)，方程解的精度將直接對(duì)誤差補(bǔ)償?shù)男Чa(chǎn)生影響。

如果系統(tǒng)矩陣A是精確的，而數(shù)據(jù)矢量b受到高斯白噪聲的影響，方程可以采用標(biāo)準(zhǔn)的最小二乘法進(jìn)行估計(jì)，得到的估計(jì)值為

2.1 總體最小二乘法估計(jì)

式(16)的求解方法就是標(biāo)準(zhǔn)的最小二乘法(least square，LS)，是基于隨機(jī)誤差是高斯分布的假設(shè)[14]。但是，在磁力儀測(cè)量的觀測(cè)方程中，隨機(jī)誤差是非高斯分布的。另外，在磁力儀標(biāo)定研究中，隨機(jī)誤差不僅分布在觀測(cè)矢量y中，還分布在系統(tǒng)矩陣A中，不滿(mǎn)足Gauss-Markov定理的條件。因此，在系數(shù)矩陣有較小的擾動(dòng)時(shí)，最小二乘法的解可能有偏，甚至無(wú)解。

總體最小二乘(total least squares, TLS)需要得到的參數(shù)估值，需同時(shí)顧及系數(shù)矩陣A和觀測(cè)值y的隨機(jī)誤差，使得線性方程是相容的[15]。因此，TLS技術(shù)成為解決磁力儀參數(shù)標(biāo)定與誤差補(bǔ)償?shù)姆椒ㄖ弧?/p>

在實(shí)際測(cè)量標(biāo)定過(guò)程中，A和y會(huì)同時(shí)受到隨機(jī)誤差的干擾，不滿(mǎn)足最小二乘法的使用條件。這些隨機(jī)誤差是零均值獨(dú)立等方差σ分布的，將隨機(jī)誤差計(jì)入式(15)可得A和y的一階近似擾動(dòng)為

式中：非奇異對(duì)角矩陣 D=diag(d1,d2,…,dq)，di＞0；（ΔA,Δy）∈Rq×10；H=diag(h1,h2,…,h10)，hi＞0。因此找到干擾最小的約束最優(yōu)解即為 TLS解XTLS，對(duì)擴(kuò)展矩陣 D(ΔA,Δb) H=U∑LT進(jìn)行奇異值分解，其中U∈Rq×q，UTU=Iq，∑= diag （σ1,σ2,…,σ10）,且σ1≥ σ2≥ …≥ σ10， L ∈R10×10，LTL =I10，對(duì)應(yīng)的右奇異值向量為 l1, l2,… ,l10。XTLS可以表示為

2.2 截?cái)嗫傮w最小二乘法

TTLS是在TLS的基礎(chǔ)上，利用廣義奇異值分解來(lái)解決觀測(cè)方程病態(tài)的問(wèn)題[16]。TLS同時(shí)考慮了來(lái)自系數(shù)矩陣與觀測(cè)矩陣的擾動(dòng)，要求這兩個(gè)擾動(dòng)的Frobenius范數(shù)達(dá)到最小。然而，當(dāng)觀測(cè)方程是病態(tài)的，TLS的解的范數(shù)會(huì)很大，使得求出的解毫無(wú)意義。TTLS適用于嚴(yán)重病態(tài)的、方程兩邊等式都存在誤差的線性問(wèn)題。

對(duì)擴(kuò)展矩陣 D （ΔA , Δb） H進(jìn)行奇異值分解后，得到矩陣L。對(duì)矩陣L進(jìn)行分塊：

其中，n為觀測(cè)值數(shù)量，α(α≤n)為正則化因子?？傻肨TLS的解：

采用GCV(generalized cross-validation)法來(lái)求取正則化因子α。通過(guò)正則化能對(duì)病態(tài)問(wèn)題的解估計(jì)增加合理的約束，保證解穩(wěn)定。對(duì)于Gauss-Markov約束項(xiàng)：

滿(mǎn)足 Axα= qαf，xα為待求參數(shù)，qα為影響矩陣，U為單位陣，為觀測(cè)值y誤差協(xié)方差矩陣，為單位權(quán)方差。

3 仿真驗(yàn)證

在實(shí)測(cè)背景場(chǎng)中抽取 150個(gè)采樣點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行TTLS隨機(jī)誤差分析，得到隨機(jī)誤差的估計(jì)值。本次仿真計(jì)算得正則化因子α=6，系數(shù)矩陣A的條件數(shù)為1.07×104，屬于嚴(yán)重病態(tài)問(wèn)題。如圖2所示，曲線(1)是真實(shí)地磁場(chǎng)數(shù)據(jù)，曲線(2)是磁傳感器測(cè)量值，曲線(3)是經(jīng)過(guò) TTLS補(bǔ)償后的數(shù)據(jù)?？梢钥闯?，經(jīng)過(guò)TTLS補(bǔ)償后的曲線與真實(shí)曲線基本重合，補(bǔ)償后殘差基本控制在10 nT以?xún)?nèi)，如圖3所示。

圖2 誤差補(bǔ)償效果對(duì)比圖Fig.2 Contrast on compensation results of random noise errors

圖3 標(biāo)定殘差Fig.3 Calibrated residual

為了驗(yàn)證TTLS補(bǔ)償性能優(yōu)于TLS、LS的性能，用三種方法分別對(duì)同一地磁測(cè)量值進(jìn)行誤差補(bǔ)償和殘差對(duì)比。下列選取一組實(shí)驗(yàn)結(jié)果來(lái)說(shuō)明，表1列出了三種標(biāo)定方法估計(jì)磁力儀標(biāo)定參數(shù)的結(jié)果。

表1 三種方法的參數(shù)估計(jì)Tab.1 Parameters estimation of the three methods

圖4～5依次是三種標(biāo)定方法分別在X、Y、Z方向的對(duì)比圖，曲線(1)是真實(shí)地磁場(chǎng)數(shù)據(jù)，曲線(2)～(4)分別是LS、TLS、TTLS標(biāo)定后的數(shù)據(jù)?？梢钥闯?，經(jīng)過(guò) LS補(bǔ)償后的數(shù)據(jù)離真實(shí)值比較遠(yuǎn)，這是由于系數(shù)矩陣A的病態(tài)性導(dǎo)致LS解算結(jié)果誤差較大。同樣看出，三種標(biāo)定方法的性能由強(qiáng)到弱依次是TTLS、TLS、LS。圖6～7依次是三種標(biāo)定方法分別在X、Y方向的殘差對(duì)比圖，同樣可以看出TTLS的補(bǔ)償性能優(yōu)于其它兩種方法，達(dá)到了誤差補(bǔ)償?shù)男Ч?/p>

圖4 x方向補(bǔ)償對(duì)比圖Fig.4 Contrast on compensation results of

圖5 y方向補(bǔ)償對(duì)比圖Fig.5 Contrast on compensation results of

圖6 x方向殘差對(duì)比圖Fig.6 Contrast on residuals of direction

圖7 y方向殘差對(duì)比圖Fig.7 Contrast on residuals of direction

4 結(jié) 論

水下地磁導(dǎo)航的磁力儀的測(cè)量環(huán)境復(fù)雜，受到多種誤差因素和觀測(cè)數(shù)據(jù)不足的影響。依據(jù)誤差特性建立誤差分析模型后，需利用合理的方法對(duì)模型進(jìn)行修正。TLS適用于觀測(cè)方程兩端存在的誤差的情況，卻無(wú)法解決海洋磁測(cè)數(shù)據(jù)不充分引起的病態(tài)問(wèn)題。TTLS是TLS的自然擴(kuò)展，它既適用于方程兩端存在誤差的情況，也適用于處理磁力儀測(cè)量的病態(tài)問(wèn)題。仿真結(jié)果表明，TTLS法誤差補(bǔ)償性能優(yōu)于LS法和TLS法，將未補(bǔ)償前的地磁測(cè)量殘差從150 nT減小到10 nT以?xún)?nèi)。說(shuō)明TTLS方法能夠解決磁力儀測(cè)量病態(tài)問(wèn)題，提高了參數(shù)估計(jì)的精度，達(dá)到了抑制隨機(jī)誤差的目的。

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Truncated total least squares algorithm in restraining random error of geomagnetic navigation magnetometer

WANG Li-hui1, YU Le1, LIANG Bing-bing2, QIAO Nan1
(1. Key Laboratory of micro-inertial instrument and advanced navigation technology, Ministry of education, School of instrument science and engineering, Southeast University, Nanjing 210096, China; 2. Science and Technology on Space Physics Laboratory, Beijing 100076, China)

Three-axis magnetometer measurement random error compensation is currently a hot topic in underwater geomagnetic navigation research field. Traditional methods are based on least squares (LS), total least squares (TLS) or other improved methods to compensate measurement random errors, supposing that measurement random errors are Gaussian or without ill-posed problems of magnetometer observation equation. To solve the ill-posed problems and/or to reduce the measurement random error existed in both sides of observation equation, a method named truncated total least squares (TTLS) is proposed. The TTLS combines (TLS) with regularization method. Simulation results demonstrate that the TTLS can effectively inhibit the pathological influence of the magnetometer measurement, and the residual between the real data and the data after TTLS calibration can be decreased to 10 nT. Moreover, comparing with the measurement data after TLS compensation and LS compensation, the data after TTLS compensation are closer to the real data, achieving the purpose of restraining the measurement random errors.

underwater geomagnetic navigation; three-axis magnetometer; ill-posed problem; truncated total least squares; random error compensation

U666.1

：A

2015-09-21；

：2015-11-25

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61203192，51477028）；船舶工業(yè)預(yù)研基金（13J3.8.4）；中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金資助（東南大學(xué)優(yōu)秀青年教師項(xiàng)目-2242013R30016）

王立輝（1979—），男，博士生導(dǎo)師，副教授，從事導(dǎo)航、精密儀器等方面的應(yīng)用研究。E-mail: wlhseu@163.com

1005-6734(2015)06-0763-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2015.06.012