Fibonacci數(shù)列一類推廣數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用

作者簡介：黃秋茂，漢，汕頭市潮陽建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)校，助理講師，學(xué)歷：本科。

摘要：使用矩陣的方法，對Fibonacci數(shù)列的一類推廣數(shù)列{fn}進(jìn)行深入的討論，得到它的矩陣，并得到相應(yīng)的性質(zhì)，同時也涉及了這類數(shù)列的一些應(yīng)用問題。

關(guān)鍵詞：Fibonacci數(shù)列;通項(xiàng)公式;矩陣

中圖分類號：O611.4文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：2095-9214（2015）03-0132-02

主要內(nèi)容

吳振奎在《斐波那鍥數(shù)列》中，講述了大量關(guān)于Fibonacci數(shù)恒等式的結(jié)果，并定義了Fibonacci矩陣11

10，同時還給出了Fibonacci數(shù)列通項(xiàng)的多種表達(dá)形式，例如公式：

Fn=151+52n-1-52n，n=0，1，2，3…

矩陣表示形式：

Fn+1Fn

FnFn-1=11

10nn=1，2，3…

行列式形式：

Fn=1-100…00

11-10…00

011-1…00

0011…00

…………………

0000…1-1

0000…11n×n

隨著人們對Fibonacci數(shù)列的深入研究，F(xiàn)ibonacci數(shù)列的推廣形式也進(jìn)一步豐富起來，如彭黎霞的《三階Fibonacci數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用》，就通過對三階Fibonacci數(shù)列的分析，求得通項(xiàng)公式，并得到一些性質(zhì)，同時舉例加以應(yīng)用。本文利用高等代數(shù)的方法，對Fibonacci數(shù)列的推廣數(shù)列{fn}進(jìn)行定義，即f0=1，f1=1，f2=1，，當(dāng)n≥2時，fn+1=fn+fn-2，同時求得相應(yīng)的矩陣，并得到與Fibonacci數(shù)列相似的性質(zhì)，并舉例加以應(yīng)用。

1.fn+1=fn+fn-2數(shù)列與fn+1=fn+fn-2矩陣

定義1數(shù)列{fn}，f0=1，f1=1，f2=1，fn+1=fn+fn-2，n=2，3，4….稱數(shù)列{fn}為Fibonacci數(shù)列的推廣數(shù)列.

定義2矩陣101

100

010稱為推廣的三階Fibonacci矩陣.

定理1對于{fn}，有

fnfn+1-fnfn-1

fn-1fn-fn-1fn-2

fn-2fn-1-fn-2fn-3=101

100

010n，n=3，4，5….

證：當(dāng)n=3時，

f3f4-3f2

f2f3-2f1

f1f2-1f0=211

111

101=101

100

0103

等式成立.

假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立.即

fkfk+1-fkfk-1

fk-1fk-fk-1fk-2

fk-2fk-1-fk-2fk-3=101

100

010k.

當(dāng)n=k+1時，

101

100

010k+1=101

100

010k×101

100

010=fkfk+1-fkfk-1

fk-1fk-fk-1fk-2

fk-2fk-1-fk-2fk-3×101

100

010

=fk+1fk-1fk

fkfk-2fk-1

fk-1fk-3fk-2=fk+1fk+2-fk+1fk

fkfk+1-fkfk-1

fk-1fk-fk-1fk-2

即等式成立.

綜上所述，對于一切大于或等于3的正整數(shù)n都成立.證畢.

2.Fibonacci數(shù)列一類推廣數(shù)列{fn}中的性質(zhì)

性質(zhì)1對于{fn}中三個連續(xù)的數(shù)，它們的最大公因子為1.即（fn+2，fn+1，fn）=1

證由推論1得

fn+2fn+1fn

fn+1fnfn-1

fnfn-1fn-2=-1

將它們按第一列展開得：

fn+2×（fn×fn-2-f2n-2）-fn+1×（fn-1×fn-2-fn×fn-1）+fn×（fn+1×fn-1-f2n）=-1

設(shè)（fn+2，fn+1，fn）=d，則有d=1，即（fn+2，fn+1，fn）=1.

3.數(shù)列{fn}通項(xiàng)的組合數(shù)和形式

設(shè)爬n階樓梯，一次可跨三階或一階，爬到n階時不同的方法有多少種？

記fn表示到n階樓梯的走法，為求fn，我們考慮如果第一次跨上一階時，那么后面有fn-1種方法，如果第一次跨上3階時，那么后面有fn-3種方法.于是有fn=fn-1+fn-3，而且顯然，f1=1，f2=1，f3=2，f4=3，于是我們做如下分析.設(shè)為了爬n階樓梯，我們一次跨了三階有n-3i次，一次跨一階的就有n-3i，而且0≤i≤n3.這時共跨了（n-3i）+i=n-2i次，我們從n-2i次中選出i次跨了三階的，剩下的就是一次跨一階的了.從而不同的爬樓梯方式有Cin-2i種，于是我們得到：fn=∑n3i=0Cin-2i.

即得.

定理4對于Fibonacci數(shù)列一類推廣

數(shù)列{fn}，有fn=∑n3i=0Cin-2i.

4.數(shù)列{fn}在組合上的應(yīng)用

例1有雌雄一對兔子，假定過三個月后，每個月便可繁殖雌雄各一的一對小兔子，小兔子經(jīng)過三個月后，每一對兔子每個月也能繁殖雌雄各一的一對小兔子.問過n個月后共有多少對兔子？

分析：設(shè)第n個月底，共有F（n）對兔子.易知F（1）=1，F(xiàn)（2）=1，F(xiàn)（3）=2.當(dāng)n≥4時，第F（n）個月底，共有F（n）對兔子，他們可分成如下兩類：①在第n-1個月或以前出生的兔子.屬于此類的兔子共有F（n-1）對.②在第n個月出生的兔子.屬于此類的兔子是由第n-3個月底的F（n-3）對兔子的繁殖.故共有F（n-3）對兔子.由加法原則，有F（n）=F（n-1）+F（n-3）.

例2現(xiàn)有紅藍(lán)兩種顏色的小球（兩種小球的數(shù)量都足夠多），將其排成一行，要求每個藍(lán)球的后面至少有兩個紅球，假設(shè)一行有n個位置，問滿足條件的排法有多少種。

分析：設(shè)共有f（n）種不同的排法。當(dāng)n=1時，這時只有一個位置，這時只能放紅球，藍(lán)球不滿足要求，這時只有一種排法，可得f（1）=1;當(dāng)n=2時，這時有兩個位置，但只能放兩個紅球，藍(lán)球放在任何一個位置都不合適，這時只有一種排法，可得f（2）=1;當(dāng)n>2時，這時有三個或更多的位置，如果第一個位置放置紅球，則后面的n-1個位置只要按要求排放即可，有f（n-1）中排法，如果第一個位置放藍(lán)球，根據(jù)要求后面兩個位置只能放紅球，則后面n-3個位置有f（n-3）種排法，綜合起來有f（n）=f（n-1）+f（n-3），且f（1）=1，f（2）=1，即排法f（n）構(gòu)成Fibonacci數(shù)列。

例3某社團(tuán)社長要把某個通知傳達(dá)下去，他決定在QQ上把通知傳達(dá)出去（不考慮群發(fā)），他把這則通知發(fā)給兩個社員，兩位社員收到消息后也立即轉(zhuǎn)發(fā)給其他人，假設(shè)兩位部長每人轉(zhuǎn)發(fā)通知兩次，其他人收到通知后也會同樣轉(zhuǎn)發(fā)兩次，同時假設(shè)這中間沒有重復(fù)現(xiàn)象出現(xiàn)，發(fā)送和轉(zhuǎn)發(fā)一次需要1秒鐘，并且轉(zhuǎn)發(fā)后需要隔一秒鐘才能再轉(zhuǎn)發(fā)一次，則10秒鐘后，有多少人收到通知？

分析：根據(jù)題意可知，第一秒鐘，社長發(fā)送通知，第二秒鐘有一個部長接到通知，到了第三秒鐘，共有兩個人新接到通知，第四秒鐘就有1+2=3人接到通知，第五秒鐘發(fā)布社長已經(jīng)通知了兩個部長就不再通知其他人了，此時接到通知的人有1+3=4人，依次類推，到了第n秒鐘，接到通知的人數(shù)剛好是前一秒鐘接到通知人數(shù)與前三秒鐘接到通知人數(shù)的總和，如此則剛好構(gòu)成Fibonacci數(shù)列，則有10秒鐘后接到通知的人數(shù)是f0+f1+f2+…+f10=87。

（作者單位：汕頭市潮陽建筑職業(yè)技術(shù)學(xué)校）

參考文獻(xiàn)：

[1]吳振奎.斐波那鍥數(shù)列[M].沈陽：遼寧教育出版社，1987

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[5]曹汝成.組合數(shù)學(xué)[M].廣州：華南理工大學(xué)出版社，2001.