邢成云老師“冪的運(yùn)算性質(zhì)”教學(xué)設(shè)計(jì)

冪的運(yùn)算性質(zhì)有四條：同底冪的乘法、同底冪的除法、冪的乘方、積的乘方，都是基于冪的運(yùn)算，教材上安排了4個(gè)課時(shí)，零打碎敲，重起爐灶，無形中浪費(fèi)了課堂啟動(dòng)起來的現(xiàn)場資源，使得思維脈絡(luò)得不到有效延伸，缺失了思維的連貫性。鑒于此，把這4課時(shí)內(nèi)容進(jìn)行了整合，把本節(jié)課安排在有理數(shù)的乘方的第三課時(shí)，借助乘方的概念，步步推進(jìn)，完成冪的運(yùn)算性質(zhì)的整體構(gòu)建，然后再利用1課時(shí)，適度演練，鞏固成果，完成這一單元的教學(xué)。

1.開放創(chuàng)新，提出問題

問題1：給出三個(gè)數(shù)2，3，4，任取其中兩個(gè)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，你能寫出使運(yùn)算結(jié)果最大的算式嗎？

發(fā)現(xiàn)乘方運(yùn)算變大的可能性大，估計(jì)可能會(huì)出現(xiàn)23，24，32，34，42，43中的一個(gè)或幾個(gè)，至此，師生可共同復(fù)習(xí)回顧上一節(jié)課學(xué)習(xí)的乘方的意義以及底數(shù)、指數(shù)、冪的概念。

[設(shè)計(jì)意圖]教師提供給學(xué)生開放性的小問題，意在引導(dǎo)學(xué)生回顧有理數(shù)的四則運(yùn)算和有理數(shù)乘方的概念。因?yàn)榈讛?shù)、指數(shù)、冪等概念是理解本節(jié)課同底數(shù)冪的基礎(chǔ)，而這些概念是剛剛學(xué)習(xí)過的，學(xué)生在潛意識(shí)中不難想到乘方運(yùn)算。

問題2：請(qǐng)同學(xué)們思考：：

（1）到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)研究了有理數(shù)的哪些運(yùn)算？是怎樣研究的（這些運(yùn)算研究的基本思路怎樣）？

加、減、乘、除、乘方，從低級(jí)到高級(jí)，并注意了互逆關(guān)系的使用；

（2）對(duì)照有理數(shù)的運(yùn)算，猜想一下，冪的運(yùn)算有哪些？

應(yīng)該也有加、減、乘、除、乘方等運(yùn)算；

（3）在學(xué)習(xí)有理數(shù)的內(nèi)容時(shí)，主要體現(xiàn)了哪些思想方法？分類思想、類比思想。

[設(shè)計(jì)意圖]一是通過問題串激活原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識(shí)，為新知學(xué)習(xí)奠定知識(shí)、思想等方面的基礎(chǔ)；二是新知與舊知無論從內(nèi)容、形式或研究方法上都有類似性，所以通過問題2明確研究思路，搭建認(rèn)知框架。

2.借力乘方，拾級(jí)而上

借力前面數(shù)的運(yùn)算，再設(shè)置兩個(gè)題組，從特殊到一般推進(jìn)，從底數(shù)、指數(shù)均為數(shù)，到其中之一為字母，一直延伸到全部字母化，拾級(jí)而上，逐層遞進(jìn)，獲得同底數(shù)冪的運(yùn)算法則，而后以此為起點(diǎn)，通過系列化的問題，完成冪的乘方、積的乘方的建構(gòu)。

（1）同底數(shù)的乘法運(yùn)算（底數(shù)、指數(shù)有一類是字母的）：

a3·a4=？b2·b4=？m2·m3=？2m·2n=？

問題：計(jì)算完成后借助觀察提出什么猜想？略。

（2）同底數(shù)的乘法運(yùn)算（底數(shù)、指數(shù)均為字母的）：

am·an=？

am·an = （aaa…a）·（a·a·a…a）（______的意義）

___個(gè)a___個(gè)a

= a·a·a…a （乘法結(jié)合律）_____個(gè)a

= am+n （_______的意義）

問題1：你能歸納出一般結(jié)論嗎？

一般地，若字母m、n都是正整數(shù)，則am·an = am+n（m、n是正整數(shù)）

問題2：你能類比上式猜出am÷an=___，并驗(yàn)證你的猜想嗎？

可通過a4÷a2=？等進(jìn)行具體化驗(yàn)證，而后再進(jìn)行一般性驗(yàn)證。

追問：同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則用文字表述為什么呢？

類比同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，可敘述為：同底數(shù)冪的除法運(yùn)算是底數(shù)不變，指數(shù)相減。

問題3： m、n、p是正整數(shù)，你會(huì)計(jì)算am·an·ap嗎？

根據(jù)乘法的結(jié)合律，am·an·ap =（am·an）ap = am+n·ap=am+n+p。進(jìn)而把同底數(shù)冪推廣至多個(gè)同底數(shù)冪的運(yùn)算。

問題4： a4·a4·a4·a4·a4·a4=？你能根據(jù)運(yùn)算的結(jié)果做出猜想嗎？

……

[設(shè)計(jì)意圖]以同底數(shù)冪作基點(diǎn)，先行進(jìn)行同底數(shù)冪中因數(shù)個(gè)數(shù)的推廣，而后從指數(shù)特殊的角度、底數(shù)因數(shù)增至兩個(gè)的角度，步步延伸，揭示出冪的另外兩條運(yùn)算性質(zhì)，既讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到知識(shí)的來龍去脈，更重要的是弄清它們的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，這種知識(shí)的自然生長，對(duì)促成學(xué)生的遷移能力大有裨益。

對(duì)本節(jié)而言，乘方即是新知“同底數(shù)冪”的“生長點(diǎn)”， 而“同底冪的除法、冪的乘方、積的乘方”，即是新知的“延伸點(diǎn)”，前后貫通，一脈相承，如此組織教學(xué)有效地踐行了新課程的理念，同時(shí)也是對(duì)自己教學(xué)主張的具體化闡釋。

（本文系山東省教學(xué)研究課題：全息教學(xué)論下的跨越式教學(xué)（課題編號(hào)：pt-20120126）的終結(jié)性成果）（作者單位：山東省濱州市北鎮(zhèn)中學(xué)初中部）■

□責(zé)任編輯 周瑜芽

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