愛因斯坦速算揭秘

趙國瑞

有一次，愛因斯坦（1879～1955，偉大物理學家）臥病在床，一位朋友去看他，寒暄了一陣之后，他要這位朋友出一道數(shù)學題給他做，朋友想了一下，就出了一道乘法計算題：“2 976×2 924=？”

朋友請愛因斯坦在最短的時間內(nèi)算出得數(shù)。愛因斯坦看了看題目，略一思索，便答出得數(shù)8 701 824。

這位朋友聽后，感到非常驚訝，問他怎么會算得這么快？愛因斯坦笑了笑說：“這兩個數(shù)的左邊都是29，而它們的后兩位數(shù)加起來正好是100，這樣就可以用一種速算法：29×30=870，76×24=（50+26）（50-26）=502-262=1 824，把1 824添在870后面，8 701 824的得數(shù)就出來了?！?/p>

朋友似乎有點不相信，找了一些類似的題目演算起來。過了一會兒，他敬佩地說：“愛因斯坦先生，您的速算方法真是太妙了！”

看完上面的故事，同學們會有什么啟示呢？大家在感嘆愛因斯坦算法巧妙之余，能否對其算法進行揭秘呢？我們應該相信自己，勇敢地向權(quán)威挑戰(zhàn)。愛因斯坦之所以能夠快速求出兩個數(shù)的乘積，主要原因是“眼中有數(shù)，心中有式”。

愛因斯坦實際上是做具有某種特點的兩個四位數(shù)的速算，這兩個四位數(shù)的前兩位數(shù)字相同，后兩位數(shù)字的和為100。按照愛因斯坦的算法，前兩位數(shù)字相同而后兩位數(shù)字之和等于100的兩個四位數(shù)相乘的速算規(guī)律是：在相同的前兩位數(shù)字乘以比它大1的數(shù)的積的后面寫上后兩位數(shù)字相乘的積，結(jié)果即為這兩個四位數(shù)的積。

若設(shè)這兩個四位數(shù)分別為abcd ， abef 。abcd表示一個四位數(shù)，它的千位數(shù)字是a，百位數(shù)字是b，十位數(shù)字是c，個位數(shù)字是d，abef 的意義也是如此，且cd + ef =100，則

abcd · abef =（100 ab+ cd）×（100 ab+ ef ）

=（100 ab）2+100 ab·ef +100 ab· cd+ cd· ef

=10 000 ab2+100 ab（ cd+ ef ）+ cd· ef

=10 000 ab2+100 ab×100+ cd· ef

=10 000 ab2+10 000 ab+ cd· ef

=10 000 ab（ ab+1） + cd· ef 。

由于 cd· ef 表示兩個兩位數(shù)相乘，因此它是一個三位數(shù)或四位數(shù)，而10 000 ab（ ab+1）表示 ab（ ab+1）的10 000倍，所以只需在 ab（ ab+1）的結(jié)果后面寫上 cd· ef 的結(jié)果，即為abcd·abef 的結(jié)果。因此愛因斯坦的速算是有科學依據(jù)的。

說明：在證明abcd·abef =10 000 ab（10 000 ab+1） + cd· ef 時，我們沒有將abcd表示為10 000a+100b+10c+d，而是將 ab、 cd分別看成一個整體，則abcd可表示為100 ab+ cd，對于abef 也做了同樣的處理，這樣可以簡化運算過程，大大減少運算量。

下面讓我們再舉一例速算：3 969×3 931。

解：因為這兩個四個數(shù)的前兩位數(shù)字相同，且69+31=100，

而39×40=1 560，69×31=（50+19）（50-19）=502-192=2 500-361=2 139。

所以3 969×3 931=15 602 139。

下面請同學們嘗試對與愛因斯坦類似的問題進行探究，并用式子表示：

（1）十位數(shù)字相同而個位數(shù)字之和等于10的兩個兩位數(shù)相乘的計算規(guī)律，如24×26，32×38等；

（2）前三位數(shù)字相同而后三位數(shù)字之和等于1 000的兩個三位數(shù)相乘的計算規(guī)律，如123 498×123 502，512 163×512 837等。

參考答案：（1） ab· ac=100a （a+1）+ b·c（b+c=10）；

（2）abcdef · abcmnp=1 000 000 abc（ abc +1）+def·mnp（ def + mnp=1 000）。