基于小波熵自適應(yīng)最佳分解層數(shù)確定算法

崔 治，李加升

(湖南城市學(xué)院通信與電子工程學(xué)院，湖南益陽 413000)

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基于小波熵自適應(yīng)最佳分解層數(shù)確定算法

崔 治，李加升

(湖南城市學(xué)院通信與電子工程學(xué)院，湖南益陽 413000)

針對(duì)超聲信號(hào)小波閾值去噪中最佳分解層數(shù)的選取問題，提出基于小波熵的自適應(yīng)分解層數(shù)確定算法。該算法首先利用離散小波變換分解含噪信號(hào)，計(jì)算分解后信號(hào)子區(qū)間的小波熵，然后將細(xì)節(jié)系數(shù)與原始信號(hào)的熵之比和低頻子帶均方根誤差相結(jié)合以確定最佳分解層數(shù)。最后利用信噪比(SNR)、均方根誤差(RMSE)、峰值相對(duì)誤差(REPV)和峰位置誤差(EPP)四項(xiàng)指標(biāo)對(duì)算法性能進(jìn)行評(píng)估。仿真和實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明：該算法能自適應(yīng)地確定最佳分解層數(shù)，在有效濾除含噪超聲信號(hào)中的噪聲、提高性噪比的同時(shí)，還能更有效地保留原始信號(hào)中的有用成分。

最佳分解層數(shù)；小波熵；超聲信號(hào)；自適應(yīng)

0 引言

超聲波在傳輸過程中會(huì)受到儀器電噪聲、材料晶粒散射噪聲等的影響，使得接收到的陷信號(hào)往往淹沒在噪聲中，易造成誤判或漏判[1]。對(duì)超聲信號(hào)進(jìn)行小波閾值去噪是一種行之有效的去噪方法，大量的實(shí)驗(yàn)表明，在選擇小波基和設(shè)計(jì)閾值函數(shù)之外，小波分解的層數(shù)也是影響超聲信號(hào)閾值去噪結(jié)果的重要原因。研究者們?cè)诙看_定分解層數(shù)方面的成果主要集中在以下兩方面：

(1)基于噪聲檢驗(yàn)，根據(jù)信號(hào)與噪聲小波分解的不同傳播特性來確定最佳的分解層數(shù)[2-3]；

(2)基于奇異值分析，根據(jù)對(duì)信號(hào)進(jìn)行分解后各層小波系數(shù)的奇異值斜率來決定最佳分解層數(shù)[4-5]。

但是，基于噪聲檢驗(yàn)的方法需要獲取噪聲特征序列這一先驗(yàn)條件，在超聲檢測(cè)的實(shí)際環(huán)境中往往難以滿足；基于奇異值分析的方法需要根據(jù)信號(hào)各層小波分解系數(shù)的奇異值特性，計(jì)算相應(yīng)的奇異值斜率并通過與一個(gè)閾值斜率進(jìn)行比較來確定最佳層數(shù)，計(jì)算量大，也難以設(shè)置合適的閾值斜率。鑒于此，本文融合小波分解細(xì)節(jié)系數(shù)熵之比和低頻帶均方根誤差兩項(xiàng)指標(biāo)，提出一種基于小波熵的自適應(yīng)最佳層數(shù)確定算法，以仿真的超聲信號(hào)和實(shí)地采集的缺陷波為例，利用信噪比(SNR)、均方根誤差(RMSE)、峰值相對(duì)誤差(REPV)和峰位置誤差(EPP)對(duì)算法的性能進(jìn)行評(píng)估。

1 超聲信號(hào)的去噪原理

在超聲檢測(cè)過程中，電源電壓的波動(dòng)、靜電干擾、接地不良等儀器因素和超聲波在被檢測(cè)試樣內(nèi)部傳播時(shí)遇到異質(zhì)界面和粗晶粒所造成的散射與反射都會(huì)對(duì)超聲信號(hào)造成影響，這些噪聲一般都表現(xiàn)為平坦的寬帶特性，因此在研究時(shí)可以看作是加性高斯白噪聲。這樣，一個(gè)包含有噪聲的原始超聲信號(hào)f(k)可以用下面的公式來表示：

f(k)=r(k)+e(k)(i=1,2,…,N)

(1)

式中：r(k)為真實(shí)超聲信號(hào)；e(k)為噪聲。

(2)

對(duì)原始信號(hào)f(k)進(jìn)行離散小波變換后，損失函數(shù)轉(zhuǎn)化為

(3)

由上述分析可知，在小波域內(nèi)對(duì)含噪超聲信號(hào)進(jìn)行去噪的問題就轉(zhuǎn)化成了使式(3)所表示的損失函數(shù)獲得最小解的問題。在小波域內(nèi)，信號(hào)的能量往往集中體現(xiàn)在小部分幅度比較大的小波系數(shù)上，而噪聲由于其頻率和能量譜相對(duì)分散，因此噪聲的小波系數(shù)絕對(duì)值比較小，且能量分散在大部分的小波系數(shù)上。因此，在對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行小波分解的過程中，當(dāng)分解到最佳層數(shù)后，有用信號(hào)的小波系數(shù)將大于噪聲的小波系數(shù)，這樣，通過閾值收縮方式即可實(shí)現(xiàn)對(duì)含噪信號(hào)的去噪處理。

2 本文算法設(shè)計(jì)

2.1 小波分解細(xì)節(jié)系數(shù)熵之比

在信息論中，熵用來表示信源中所有符號(hào)包含信息量和不確定度的均值，它代表了信號(hào)在動(dòng)態(tài)過程的有用信息。對(duì)信號(hào)進(jìn)行多尺度小波變換，將所得的各尺度小波系數(shù)轉(zhuǎn)換成概率分布序列，由這個(gè)序列計(jì)算得到的熵值的大小反映了小波系數(shù)矩陣的稀疏程度，或者說，反映了信號(hào)的不確定度和復(fù)雜度。

設(shè)信號(hào)f(t)經(jīng)離散小波變換后，在第j分解尺度下k時(shí)刻的細(xì)節(jié)系數(shù)為dj,k，近似系數(shù)為aj,k，則尺度為j時(shí)(j=0,1,…，M)的細(xì)節(jié)能量為

(4)

式中Cj(k)為對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)，Cj(k)=[f(t),Ψj,k(t)]。

信號(hào)總能量為

(5)

相對(duì)小波能量可以表示為Pj=Ej/E。將第j層分解的細(xì)節(jié)系數(shù)Cj(k)均分為n個(gè)子區(qū)間，有

(6)

式中m為采樣點(diǎn)數(shù)。

每個(gè)子區(qū)間的相對(duì)小波能量Pj,i可由對(duì)應(yīng)的第i個(gè)子區(qū)間的小波能量Ej,i與該層小波系數(shù)總能量相比求得：

Pj,i=Ej,i/Ej

(7)

(8)

可得第i個(gè)子區(qū)間對(duì)應(yīng)的小波熵Wi為

(9)

分別計(jì)算原始信號(hào)的熵W0和第j層分解細(xì)節(jié)系數(shù)的小波熵Wj，則熵之比η為

η=Wj/W0

(10)

小波分解的層數(shù)越多，得到的細(xì)節(jié)系數(shù)的熵越小，表明信息的確定性越大。文獻(xiàn)[7]認(rèn)為，當(dāng)某層分解細(xì)節(jié)系數(shù)小波熵與原始信號(hào)的熵之比為5%時(shí)，可視作細(xì)節(jié)系數(shù)已確定。

2.2 均方根誤差

設(shè)原始信號(hào)為f(k)，第j層分解的低頻帶為fj(k)，則均方根誤差為

(11)

式中N為信號(hào)的長度。

2.3 算法設(shè)計(jì)

根據(jù)上述指標(biāo)，提出確定小波分解最佳層數(shù)的算法如下：

(1)計(jì)算出小波分解細(xì)節(jié)系數(shù)熵之比大于5%的最大分解層數(shù)m和熵之比小于5%的最小分解層數(shù)n，m和n滿足:

m=n-1

(12)

(2)計(jì)算對(duì)應(yīng)分解層數(shù)的均方根誤差Em和En；

(3)確定最佳分解層數(shù)j:

(13)

3 評(píng)價(jià)指標(biāo)

為了驗(yàn)證本文提出的小波分解最佳層數(shù)選取方法，采用信噪比(SNR)、均方根誤差(RMSE)、峰值相對(duì)誤差(REPV)和峰位置誤差(EPP)四項(xiàng)指標(biāo)對(duì)超聲信號(hào)的去噪效果進(jìn)行評(píng)估。其中，峰值相對(duì)誤差(REPV)和峰位置誤差(EPP)定義如下：

(14)

式中：Ti為原始信號(hào)的峰值；To為經(jīng)去噪處理后信號(hào)的峰值。

EPP=Si-So

(15)

式中:Si為原始信號(hào)的峰位置；So為去噪處理后信號(hào)的峰位置。

峰值相對(duì)誤差反映了去噪后信號(hào)能量損失的程度，在超聲檢測(cè)中，缺陷波的幅值與形狀將影響對(duì)缺陷種類和大小的判斷；峰位置誤差反映了信號(hào)去噪后出現(xiàn)時(shí)間失真的程度高低，在超聲檢測(cè)中，缺陷波的出現(xiàn)時(shí)間與缺陷位置直接相關(guān)。由此可見，信噪比越高，均方根誤差、峰值相對(duì)誤差和峰位置誤差越小，表明信號(hào)去噪的效果越好，原始信號(hào)中的有用成分被保留得越完整。

4 仿真分析

超聲檢測(cè)中的缺陷回波是一種被探頭中心頻率調(diào)制的非平穩(wěn)信號(hào)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，一般可以用下式來模擬[8]：

h(t)=ρe-μ(t-τ)cos[2πf(t-τ)]

(16)

為了驗(yàn)證本文算法的性能，首先在MATLAB7.0環(huán)境下進(jìn)行效果分析。圖1(a)是式(16)所示的仿真信號(hào)，各參數(shù)取值為ρ=3.24，μ=1012，τ=5×10-6，f=2×106。圖1(b)是加入σ為15的白噪聲后的信號(hào)?？梢钥吹?，由于噪聲的影響，回波幅值已發(fā)生明顯改變，有用信號(hào)被淹沒在了噪聲中。對(duì)信號(hào)進(jìn)行去噪時(shí)還存在選擇最佳小波基的問題，本文選擇Sym-4小波、軟閾值函數(shù)對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行閾值去噪[9]。首先采用本文提出的方法來判定最佳分解層數(shù)。經(jīng)計(jì)算，當(dāng)分解層數(shù)為5時(shí)，熵之比為0.051 7，均方根誤差E為6.153；分解層數(shù)為6時(shí)，熵之比為0.049 1，均方根誤差E為5.947，據(jù)此可以確定最佳分解層數(shù)為6。

(a)原始仿真信號(hào)

(b)加噪信號(hào)圖1 仿真信號(hào)及加噪信號(hào)

與此同時(shí)，在MATLAB中對(duì)該原始信號(hào)分別進(jìn)行2～9層分解并計(jì)算各項(xiàng)指標(biāo)，得到評(píng)價(jià)結(jié)果如表1所示。從表1可以看到，分解層數(shù)為6時(shí)，均方根誤差(RMSE)和峰值相對(duì)誤差均為最小，增大分解層數(shù)到9層后信噪比有所提高，但增幅非常小(約為0.104%)，而均方根誤差(RMSE)和峰位置誤差則分別增大了1.874%和38.71%，峰值相對(duì)誤差更是從0.62%增至5.20%，增幅達(dá)到8倍。后三項(xiàng)指標(biāo)的增大表明此時(shí)信號(hào)出現(xiàn)失真，將導(dǎo)致誤檢或漏檢，同時(shí)運(yùn)算量也會(huì)大大增加。因此，綜合各種評(píng)價(jià)指標(biāo)后，最佳分解層數(shù)應(yīng)該是6，這與采用本文算法進(jìn)行計(jì)算的結(jié)果一致，表明了本文算法的可行性。

表1 不同分解層數(shù)下的評(píng)價(jià)指標(biāo)

分解層數(shù)為2、6和9的信號(hào)如圖2所示。從視覺主觀來看，圖2(b)的效果已經(jīng)達(dá)到了最佳，6層分解是最佳層數(shù)。

為了進(jìn)一步判斷本文算法的可靠性，對(duì)式(16)的仿真信號(hào)添加σ為5、20、25、30、35的白噪聲，分別采用本文算法計(jì)算最佳分解層數(shù)，通過比較2～9層分解下不同的評(píng)價(jià)指標(biāo)來進(jìn)行驗(yàn)證，得到結(jié)果如表2所示。

(a)2層分解

(b)6層分解

(c)9層分解圖2 分解層數(shù)為2、6、9時(shí)的結(jié)果

由表2可知，當(dāng)待處理信號(hào)的信噪比較高時(shí)，采用較少的分解層數(shù)就能獲得比較理想的結(jié)果，當(dāng)待處理信號(hào)的信噪比較低時(shí)，分解層數(shù)必須有所增加。本文算法能根據(jù)信號(hào)中噪聲水平的不同而自適應(yīng)的選擇最佳分解層數(shù)，避免了過高分解層數(shù)造成的信號(hào)失真，有助于提高超聲檢測(cè)的效率，也避免了計(jì)算資源的浪費(fèi)。在噪聲水平難以事先確定的超聲檢測(cè)中，本文算法是有效的。

表2 不同噪聲水平下的最佳分解層數(shù)

5 實(shí)驗(yàn)及結(jié)果

實(shí)驗(yàn)中所用的試件為整體厚度為1 cm的γ-TiAl合金層壓板，允許形變±0.5%，在制備過程中預(yù)先置入缺陷，探頭選擇中心頻率為5 MHz的5L64-A2型直探頭，用單側(cè)自發(fā)自收A掃描方式采集到一個(gè)含噪信號(hào)，通過時(shí)閘門將缺陷回波截取出來，在MATLAB中如圖3(a)所示。對(duì)該信號(hào)進(jìn)行小波閾值降噪，小波基為Sym-4。分解層數(shù)為2～9時(shí)對(duì)應(yīng)的評(píng)價(jià)結(jié)果如表3所示。由表3可見，分解層數(shù)為6時(shí)，峰值相對(duì)誤差和均方根誤差(RMSE)均為最小，說明此時(shí)信號(hào)去噪的效果最好，原始信號(hào)中的有用信息被最大可能地保留了下來，分解層數(shù)大于6后信噪比有微量增加，同時(shí)均方根誤差(RMSE)、峰值相對(duì)誤差和峰位置誤差開始增大。綜合起來最佳分解層數(shù)應(yīng)為6。采用本文提出的方法進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)分解層數(shù)為6時(shí)，熵之比為0.054 1，均方根誤差為5.343，分解層數(shù)為7時(shí)，熵之比為0.044 7，均方根誤差為7.101，據(jù)此確定最佳分解層數(shù)為6，與實(shí)際結(jié)果一致。

表3 不同分解層數(shù)下的結(jié)果對(duì)比

分解層數(shù)為2、6和9的信號(hào)如圖3(b)-圖3(d)所示。由圖可見，2層分解對(duì)噪聲的濾除不夠徹底，9層分解后信號(hào)非常光滑，但與6層分解的結(jié)果相比，信噪比僅提高了0.284%，均方根誤差和峰位置誤差卻增大了0.649%和24%，峰值相對(duì)誤差增大了1.46倍，表明此時(shí)信號(hào)已出現(xiàn)較大的失真，會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的檢測(cè)結(jié)果。分解到6層是最佳層數(shù)。

6 結(jié)論

本文提出了一種基于小波分解細(xì)節(jié)系數(shù)熵之比和低頻帶均方根誤差兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的最佳小波分解層數(shù)確定方法，仿真和實(shí)驗(yàn)表明，該方法在有效提高信噪比的同時(shí)，還能有效降低均方根誤差、峰值相對(duì)誤差和峰位置誤差，從而更加完整地保留原始信號(hào)的特征。構(gòu)造新的閾值函數(shù)和設(shè)計(jì)自適應(yīng)閾值規(guī)則將是下一步的研究方向。

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Determination Algorithm of Optimal Decomposition Level via Wavelet Entropy

CUI Zhi, LI Jia-sheng

(School of Communication and Electronic Engineering, Hunan City University, Yiyang 413000, China)

Aiming at the problem of how to select the optimal level of wavelet for ultrasonic signal denoising, an improved wavelet entyopy based method by combining the entropy ratio and the root-square-mean error of low bands was proposed. When the discrete wavelet transform was applied in the signal decomposition, the wavelet entropy at decomposed levels was calculated, then the entropy ratio and the root-square-mean error of low bands were used as the deciding threshold to choose the optimal decomposition level. The signal-to-noise ratio, the root-square-mean error, the relative error of peak value and the error of the peak position were used to evaluate the performance of the method. Simulation and experimental results show that the proposed method can adaptively determine the optimal decomposition level, remove the ultrasonic signal noise and keep the useful information effectively.

optimal decomposition level; wavelet entropy; ultrasonic signal; adaptive

(a)實(shí)地采集的信號(hào)

(b)2層分解

(c)6層分解

(d)9層分解圖3 實(shí)地采集的信號(hào)及其2、6、9層分解的結(jié)果

湖南省教育廳科研項(xiàng)目資助(13C122)；湖南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(13JJ6072)

2014-07-30 收修改稿日期：2015-03-27

TP216.1

A

1002-1841(2015)06-0127-04