基于射影幾何的CCD相機幾何模型研究

孫 瑜,李占利

(西安科技大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,西安710054)

基于射影幾何的CCD相機幾何模型研究

孫 瑜,李占利

(西安科技大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,西安710054)

為提高由多幅二維圖像解算出的空間坐標(biāo)信息的精度,基于射影幾何原理,提出一種像方空間與物方空間的幾何形狀計算方法。分析電荷耦合器件(CCD)相機成像射影幾何原理,根據(jù)透視變換和交比不變性質(zhì),利用直線之間存在平行、垂直和相交等關(guān)系,建立基于直線特征的相機成像幾何模型,已知相機參數(shù),證明并推導(dǎo)像方空間二維影像和物方空間形狀與坐標(biāo)信息的幾何轉(zhuǎn)換關(guān)系。分析結(jié)果表明,該方法結(jié)合了整幅圖像的幾何信息,能提高空間點等幾何特征的坐標(biāo)信息計算精度,以及視覺測量和三維重建的精度。

電荷耦合器件相機;射影幾何;透視變換;交比;成像模型

1 概述

根據(jù)在不同視點上所獲取的二維影像來重建原空間物體的三維模型是攝影測量以及計算機視覺等領(lǐng)域的熱門研究內(nèi)容。由二維圖像到三維重建,它們之間的變換關(guān)系由攝像機成像幾何模型決定［1-3］。相機成像幾何模型是進行三維重建數(shù)據(jù)處理的基礎(chǔ),主要描述相機像方空間與物方空間坐標(biāo)變換關(guān)系［4-6］。文獻［7-8］分別進行了空間圓精確定位與檢測的研究與探討。關(guān)于相機鏡頭畸變的問題,文獻［9］根據(jù)交比不變性原理利用擬合函數(shù)計算相機畸變參數(shù),文獻［10］用非線性優(yōu)化方法實現(xiàn)了鏡頭畸變參數(shù)的標(biāo)定,文獻［11］利用共軛節(jié)面的性質(zhì)建立了一種圖像畸變幾何模型,提出了圖像畸變的解決方法。本文研究電荷耦合器件(Charge Coupled Device,CCD)相機成像幾何模型,分析相機成像幾何原理,建立相機成像幾何模型,根據(jù)相機參數(shù)推導(dǎo)計算像方空間邊界輪廓與物方空間邊界輪廓的透視對應(yīng)關(guān)系。

2 相機成像原理

典型的CCD相機模型是基于共線原理的,物體空間中的每個點經(jīng)過一條過投影中心的直線投射到圖像平面［12-13］。用攝像機去拍攝物體,得到拍攝物體的圖像,空間物體與圖像中物體的對應(yīng)關(guān)系是射影幾何中的中心投影,也稱為透視投影［14］。如圖1所示,這時透視中心就是攝影中心S,即相機的光學(xué)中心。光軸為SSi,透視軸是圖像平面A′B′C′D′與物體平面ABCD的交線l。為不失一般性,假設(shè)像平面與物體平面夾角為α。下面進一步研究像平面與物平面的透視對應(yīng)關(guān)系。

圖1 相機成像幾何模型

3 像方空間與物方空間的對應(yīng)關(guān)系

3.1 圖像平面信息

拍攝一幅圖像,它的形狀為矩形,且已知它的長和寬。設(shè)圖像平面矩形為A′B′C′D′,長為2a,寬為2b。在圖2中,Si為圖像中心,從Si向透視軸l做垂線,垂足為X。

圖2 圖像大小

在圖像平面上已知A′B′=C′D′=E′F′=2a,A′D′=B′C′=G′H′=2b,Si是矩形A′B′C′D′的中心,所以,G′Si=SiH′=b,E′Si=SiF′=a。

3.2 成像幾何關(guān)系推導(dǎo)

建立過光軸、垂直于透視軸的平面幾何關(guān)系如圖3所示。已知攝像機光學(xué)中心為S,攝像機焦距為f,則SSi=f,光軸上光學(xué)中心到物體平面的距離為d,d=SSw,圖像平面與物體平面的夾角為α,∠SiXSw=∠SwSI=∠SiSI′=α,攝像機俯仰角為θ,∠SiSH′=∠SiSG′=θ;tanθ=b/f。,cosθ=。

圖3 成像幾何關(guān)系

如圖3所示,從攝影中心向物方平面作垂線,作SI⊥GX,交G′X于點I′。在RtΔSSiI′中,易知:

在RtΔSISw中,可以推導(dǎo)得到:

由式(1)、式(2),可以推導(dǎo)出:

在RtΔXSiSw中,可以推導(dǎo)得:

在RtΔSiSH′中,可知tanθ=b/f,θ=arctan(b/f),推導(dǎo)得到:

在RtΔSIG中,由于∠GSI=α+θ,結(jié)合式(2),推導(dǎo)得到:

4 物方邊界形狀分析與證明

下面討論經(jīng)攝像可得到矩形圖像的空間幾何形狀特征。

討論平行于透視軸的直線變化規(guī)律。已知相機焦距為f,視點沿光軸到物體所在平面的距離為d,則SSi=f,SSw=d。透視變換具有如下透視性質(zhì):平行于透視軸的一組平行弦,透視后仍然平行于透視軸。

建立過光軸、平行于透視軸的平面幾何關(guān)系,即物方幾何關(guān)系如圖4所示。

圖4 物方幾何關(guān)系

根據(jù)透視性質(zhì),由于光軸垂直于圖像平面,有SSi⊥E′F′,因為E′F′//l,所以EF//l。

物方邊界輪廓分析如圖5所示,在 ΔESF和ΔE′SF′中,可以推導(dǎo)得到下式:

圖5 物方邊界輪廓分析

如圖5(a)所示,結(jié)合式(9),可知E′F′/EF=f/ d,因此:

同理在圖 4中,由于邊A′B′//l,AB//l,因此AB//l,CD//l,因此AB//CD。

如圖5(b)所示,在ΔSAB中有:BG=GA。

如圖5(c)所示,在ΔSCD中有:DH=HC。

綜合以上結(jié)論,然后分析物方空間輪廓形狀。如圖6所示,因為l⊥ΔSSwX,所以GH⊥l,GH⊥AB,且GH平分上下底,得證四邊形ABCD是等腰梯形。因此,得到看出,圖像平面的矩形A′B′C′D′是與物方平面上的等腰梯形ABCD透視對應(yīng)的。

圖6 物方邊界輪廓

從以上分析可知,圖像平面的矩形是與物方空間的等腰梯形透視對應(yīng)的,這也說明了一個現(xiàn)象,平行于透視軸的2條等長線段,距離眼睛遠的那條看起來比距離近的這條長度要短。

5 透視對應(yīng)輪廓大小的確定

在射影幾何中,中心投影具有如下性質(zhì):

性質(zhì) 射影變換保持點的共線及交比不變。

也就是說,若A,B,C,D4個點共線,則經(jīng)射影變換后,其對應(yīng)的像點Ac,Bc,Cc,Dc仍然共線,且交比保持不變,即cross(A,B;C,D)=cross(Ac,Bc;Cc,Dc)。

根據(jù)以上性質(zhì),討論共面線束SG,SSw,SH,SX的交比,可以轉(zhuǎn)化為計算G′X和GX上4點的交比,即:

結(jié)合式(4),將式(13)推導(dǎo)如下:

根據(jù)上面(GSw,HX)計算公式,結(jié)合式(8),可以求出SwH,有:

進而可以根據(jù)HX=SwX-SwH,計算得出HX。

至此,可以利用式(2)、式(14),將式(12)化簡,得到:

如圖6所示,根據(jù)影像的矩形大小,計算推導(dǎo)出了透視對應(yīng)的空間梯形大小,包括梯形的上下底、高以及投影中心在梯形的位置。

綜合以上分析與推導(dǎo),可以得到以下結(jié)論:

(1)矩形圖像是與等腰梯形透視對應(yīng)的,透視軸平行于等腰梯形的底,靠近透視軸的底小,較遠的底大。

(2)給定矩形圖像的大小、相機焦距、相機與物體平面夾角與距離,可以計算出透視對應(yīng)的等腰梯形的位置與大小。

(3)矩形圖像上被圖像中心平分、垂直于透視軸的線段,在空間平面中,它的透視對應(yīng)線段是垂直于透視軸的,但圖像中心透視對應(yīng)點比該線段中點離透視軸方向更近些。

6 結(jié)束語

本文研究基于射影幾何的CCD相機幾何模型。通過對相機成像模型與輪廓透視對應(yīng)關(guān)系的討論,針對針孔相機的透視對應(yīng)特點,基于射影幾何的透視變換性質(zhì),推導(dǎo)物方空間的形狀、位置與大小。分析結(jié)果表明該模型為準確表達二維圖像與空間物體的透視關(guān)系提供理論依據(jù),可用于三維重建的像方空間與物方空間坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,具有一定理論意義和工程應(yīng)用價值。今后將對相機畸變的實際問題做進一步研究。

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編輯 劉 冰

Research on Geometric Model of CCD Camera Based on Projective Geometry

SUN Yu,LI Zhanli
(College of Computer Science and Technology,Xi’an University of Science and Technology,Xi’an 710054,China)

Aiming at enhancing the spatial coordinates precision solved by 2D images,a new method based on projective geometry for calculation of 3D model coordinate transformation between image side and object side space is proposed.Charge Coupled Device(CCD)camera imaging geometric principle is analyzed based on perspective transformation and cross-ratio invariant properties.Imaging geometric model based on linear feature is established using the relationship of parallel,perpendicular and intersecting between straight lines.With acquired photographs and camera parameters,the shape and size of the corresponding scene space are deduced and proved on the basis of the cross ratio invariability of collinear points with perspective projection.The coordinate transformation between image side and object side space of the 3D model is calculated.And perspective correspondence from image side to object side space is built. Experimental results prove that the calculation accuracy of the spatial points coordinates can be enhanced by image geometric information.The method can be applied to enhance the precision of image feature extraction and location of geometric features such as circle,and to increase the measurement precisiong of the photogrammetry system and 3D coordinate reconstruction.

Charge Coupled Device(CCD)camera;projective geometry;perspective transformation;cross ratio;imaging model

1000-3428(2015)05-0270-04

A

TP391.41

10.3969/j.issn.1000-3428.2015.05.050

陜西省自然科學(xué)基金資助項目“基于視覺計算的井下信息感知理論與方法研究”(2012JM8029)。

孫 瑜(1982-),女,講師、碩士,主研方向:計算機視覺;李占利,教授、博士。

2014-04-30

2014-07-11E-mail:1224682061@qq.com

中文引用格式:孫 瑜,李占利.基于射影幾何的CCD相機幾何模型研究［J］.計算機工程,2015,41(5):270-273.

英文引用格式:Sun Yu,Li Zhanli.Research on Geometric Model of CCD Camera Based on Projective Geometry［J］. Computer Engineering,2015,41(5):270-273.