三自由度直線篩分機(jī)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析*

白亮亮,沙世名

(蘭州交通大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,甘肅蘭州 730070)

三自由度直線篩分機(jī)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析*

白亮亮,沙世名

(蘭州交通大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,甘肅蘭州 730070)

用半解析法推導(dǎo)出了一類直線篩分機(jī)系統(tǒng)的全響應(yīng)及Poincaré映射在不動(dòng)點(diǎn)處的線性化矩陣?；赑oincaré映射法和Floquet理論對(duì)系統(tǒng)的Flip分岔、環(huán)面倍化分岔進(jìn)行了分析;用四階變步長龍格-庫塔法編程仿真了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。研究該系統(tǒng)有利于提高篩分機(jī)的篩分效率。

篩分機(jī);Poincaré映射;分岔;混沌

0 引 言

機(jī)械設(shè)備由于配合不當(dāng)或磨損將導(dǎo)致零部件之間出現(xiàn)間隙,而間隙的存在會(huì)引起零部件之間的碰撞,影響系統(tǒng)工作性能。如火車輪軌間的碰撞會(huì)影響列車的運(yùn)行平穩(wěn)性;系統(tǒng)振動(dòng)參數(shù)的優(yōu)劣會(huì)影響煤炭、礦石等篩分機(jī)械的篩分效率[1];齒輪、軸承的碰撞可能給機(jī)械設(shè)備的正常使用造成隱患,誘發(fā)事故。文獻(xiàn)[2]分析了一類多自由度含間隙碰撞振動(dòng)系統(tǒng)周期碰撞的穩(wěn)定性、分岔及混沌的變遷規(guī)律。文獻(xiàn)[3]理論分析并且數(shù)值驗(yàn)證了一類三自由度碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的周期分岔與叉式分岔。文獻(xiàn)[4]對(duì)一種在超諧參數(shù)激勵(lì)和非線性周期參數(shù)激勵(lì)下的機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行了研究,發(fā)現(xiàn)了新的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。文獻(xiàn)[5]分析了一類四自由度系統(tǒng)不變環(huán)面失穩(wěn)與混沌的形成過程。文獻(xiàn)[6]采用六維龐加萊映射法研究了一類三自由度碰撞系統(tǒng)的Hopf-flip余維二分岔問題。文獻(xiàn)[7]討論了一類有彈性沖擊的弱阻尼系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。文獻(xiàn)[8]運(yùn)用理論分析與仿真結(jié)合的方式對(duì)一類沖擊系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了系統(tǒng)的研究。

筆者將工業(yè)設(shè)備中的一類直線篩分機(jī)簡化成一種三自由度垂向振動(dòng)模型,運(yùn)用變步長四階Runge-Kutta法對(duì)系統(tǒng)的二階微分方程組進(jìn)行求解,用Poincaré映射理論和仿真模擬法對(duì)該系統(tǒng)在特定參數(shù)下的Flip分岔、Neimark-Sacker分岔與環(huán)面倍化分岔向混沌演化的過程進(jìn)行研究,并且給出了系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)和發(fā)生不同分岔時(shí)的具體參數(shù)。

1 系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)及Poincaré映射

圖1為直線篩分機(jī)的簡化力學(xué)模型。

圖1 直線篩分機(jī)簡化模型

質(zhì)量塊M1通過剛度系數(shù)為K1的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C1的線性阻尼器交接于底部支撐平面,質(zhì)量塊M3由剛度系數(shù)為K3的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C3的線性阻尼器懸掛于上支撐平面,M2借助于彈簧K2、阻尼系器C2器懸掛在質(zhì)量塊M1下。假設(shè)三個(gè)質(zhì)量塊只沿著鉛垂方向振動(dòng),并分別受到簡諧激勵(lì)Pisin(ΩΤ+τ)(i=1、2、3)的驅(qū)動(dòng)。彈簧處于平衡位置時(shí)建立如圖1所示坐標(biāo)系,此時(shí)M1與M3之間的間距為D,當(dāng)M1與M3的位移滿足條件:X1-X3=D時(shí),M1與M3第一次發(fā)生碰撞。碰后瞬時(shí),M1與M3改變速度方向,又以新值開始運(yùn)動(dòng),然后又相撞,這樣重復(fù)運(yùn)動(dòng)。假定力學(xué)模型中阻尼器均是Rayleigh型比例阻尼,用恢復(fù)系數(shù)R確定碰撞過程。

圖1所示系統(tǒng)在隨意相鄰兩次碰撞間的無量綱微分方程為:

式中:x·i-,x·i+(i=1,3)表示質(zhì)塊M1與M3碰撞前后的瞬時(shí)速度,R為恢復(fù)系數(shù)。“.”表示無量綱時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)。式(1)中,無量綱量化過程如下:

令ψ表示方程式(1)的正則模態(tài)矩陣,ω1和ω2代表系統(tǒng)的固有頻率,取ψ為變頻矩陣,并且進(jìn)行坐標(biāo)變換:

在對(duì)該模型的分析過程中,采用Floquet理論來判斷系統(tǒng)周期解的穩(wěn)定性及分岔類型。

2 通向混沌的道路

2.1 由Flip分岔通向混沌的道路

選該系統(tǒng)的一組參數(shù):μm2=2.55,μm3=5.65,μk2=0.05,μk3=3.64,ζ=0.002,f10=1.0,f20=0.0,f30=0. 0,R=0.47,d=0.6,并且令ω為系統(tǒng)的分岔參數(shù),仿真結(jié)果表明當(dāng)ω＜0.038 85時(shí),系統(tǒng)具有一個(gè)穩(wěn)定的周期1,振子在相空間的運(yùn)動(dòng)軌跡為一條封閉的曲線,見圖2(a);當(dāng)ω逐漸遞增至ω=0.038 85時(shí),該系統(tǒng)突然發(fā)生Flip分岔,由周期1運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)變成周期2的軌道,見圖2(b);當(dāng)ω=0.03921時(shí),系統(tǒng)發(fā)生周期倍化分岔,進(jìn)行周期4運(yùn)動(dòng),在相空間表現(xiàn)為4條閉軌跡,見圖2(c);當(dāng)激振頻率增大到 ω=0.039 67時(shí),系統(tǒng)的軌跡再次倍化,進(jìn)行周期8運(yùn)動(dòng);模擬發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)會(huì)一直倍化下去,直到當(dāng) ω=0.041 21時(shí),系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài),如圖2(d);圖2(f)為系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時(shí)的時(shí)間歷程圖,此時(shí)系統(tǒng)軌道看似雜亂無序,實(shí)則具有自相似性,即它們的運(yùn)動(dòng)趨勢是相似的。

圖2 相圖和時(shí)間歷程圖

2.2 由環(huán)面倍化分岔通向混沌的道路

如圖3為Poincaré映射投影圖。

圖3 Poincaré映射投影圖

另取系統(tǒng)的一組參數(shù):μm2=0.55,μm3=0.65,μk2=0.65,μk3=0.343 5,ζ=0.02,f10=1.0,f20=0.0,f30= 0.0,R=0.470 8,d=0.3,當(dāng)ω＜0.053 729時(shí),系統(tǒng)具有周期4點(diǎn)軌道,見圖3(a);當(dāng)ω=0.053 729時(shí),周期4運(yùn)動(dòng)發(fā)生Neimark-Sacker分岔,系統(tǒng)做擬周期運(yùn)動(dòng),存在4×Τ1環(huán)面,見圖3(b);當(dāng)ω繼續(xù)增大,不變?nèi)χ饾u失去光滑性,系統(tǒng)的擬周期運(yùn)動(dòng)受到干擾,如圖3(c);當(dāng)ω=0.054 045時(shí),擬周期運(yùn)動(dòng)突然發(fā)生環(huán)面倍化分岔,形成4×2Τ1環(huán),如圖3(d);隨后當(dāng)ω繼續(xù)增大,環(huán)面會(huì)持續(xù)發(fā)生倍化。當(dāng)ω=0.054 048時(shí)環(huán)面倍化成4×4Τ1環(huán)面,如圖3(e);當(dāng)分岔參數(shù)增大到ω=0.058 093時(shí),Poincaré截面上的環(huán)面將繼續(xù)發(fā)生環(huán)面倍化分岔,最后演變?yōu)榛煦鐮顟B(tài),如圖3(f)所示。(上述表達(dá)式中Τ1表示吸引不變?nèi)?p×qΤ1表示環(huán)面數(shù)為p,環(huán)面倍化次數(shù)為q)。

3 結(jié) 論

在恰當(dāng)?shù)南到y(tǒng)參數(shù)下,直線振動(dòng)篩系統(tǒng)存在周期倍化分岔和環(huán)面倍化分岔通向混沌的道路。

由于直線振動(dòng)篩分離效率的強(qiáng)弱與它的振幅、頻率和激振力有密切的關(guān)系。選取較大的振幅和激振力會(huì)提高篩面和物料的碰撞力,從而增大物料跳動(dòng)的速度,導(dǎo)致物料與物料之間的撞擊、磨損加劇,減小物料的顆粒度,可大大降低振動(dòng)篩的堵塞率;當(dāng)振動(dòng)篩選用較大的振動(dòng)頻率時(shí),可以提高物料單位時(shí)間內(nèi)在篩面上的跳動(dòng)次數(shù),使得物料穿過篩孔的概率增大,也可以提高分離效率;當(dāng)振動(dòng)篩與物料具有相同的振動(dòng)頻率時(shí),物料的分離效果最佳。因此,通過對(duì)此類系統(tǒng)在不同參數(shù)下的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行分析,獲得不同頻率段系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),可在一定程度上幫助人們選擇更加恰當(dāng)?shù)恼駝?dòng)特性參數(shù)(頻率、振幅和振動(dòng)方向角等),避免振動(dòng)篩分機(jī)運(yùn)動(dòng)在混沌狀態(tài),比如,在對(duì)篩分機(jī)進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)盡量選擇周期運(yùn)動(dòng)時(shí)的系統(tǒng)參數(shù),以提高振動(dòng)篩的分離效率,使該類設(shè)備運(yùn)行在最佳狀態(tài),更好地服務(wù)于生產(chǎn)。

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Dynamics Analysis of Three-Degree-of-Freedom Shaker Screening System

BAI Liang-liang,SHA Shi-ming
(College of Mechanical and Electrical Engineering,Lanzhou Jiaotong University,Lanzhou Gansu 730070,China)

In this paper,the mathematical expression of full response and linearization matrix of the Poincaré mapping at the fixed point are deduced by using the semi-analytical method.Based on the Poincare mapping method and the Floquet theory, flip bifurcation and torus doubling bifurcation are analyzed.The law of motion is simulated by the forth order variable step Runge-Kutta method.It is helpful to improve the sieving efficiency of the screening machine by studying this system.

screening machine;Poincaré map;bifurcation;chaos

TH113.1

A

1007-4414(2015)05-0011-03

10.16576/j.cnki.1007-4414.2015.05.004

2015-08-23

白亮亮(1990-),男,甘肅天水人,在讀碩士,研究方向:車輛工程、非線性振動(dòng)。