回歸分析在測(cè)力環(huán)校準(zhǔn)中的研究

周亦泉 王福泉 何濟(jì)泉

(廣東省肇慶市質(zhì)量計(jì)量監(jiān)督檢測(cè)所，肇慶 526060)

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回歸分析在測(cè)力環(huán)校準(zhǔn)中的研究

周亦泉 王福泉 何濟(jì)泉

(廣東省肇慶市質(zhì)量計(jì)量監(jiān)督檢測(cè)所，肇慶 526060)

運(yùn)用回歸分析中散點(diǎn)圖和相關(guān)系數(shù)的方法確定測(cè)力環(huán)的負(fù)荷和百分表示值的相互關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，采用最大似然估計(jì)法對(duì)數(shù)學(xué)模型的各個(gè)參數(shù)進(jìn)行求解，獲得與已知數(shù)據(jù)相匹配的最佳函數(shù)方程，最后對(duì)回歸函數(shù)進(jìn)行有效性分析，證明回歸函數(shù)能夠很好地達(dá)到預(yù)測(cè)效果。

回歸分析；測(cè)力環(huán)校準(zhǔn)；最大似然估計(jì)法；有效性分析；顯著性檢驗(yàn)

0 引言

測(cè)力環(huán)作為常用儀器，經(jīng)常用于公路、鐵路工程項(xiàng)目的試驗(yàn)中，它適用于公路土基、底基層材料等各種路面材料強(qiáng)度的試驗(yàn)。在測(cè)力環(huán)的校準(zhǔn)工作中，我們一般按照規(guī)程的要求選擇特定的校準(zhǔn)點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量。在實(shí)際工作中，工程技術(shù)人員使用測(cè)力環(huán)對(duì)路面材料強(qiáng)度進(jìn)行試驗(yàn)，得到的試驗(yàn)結(jié)果是百分表的示值(即變形量)，而工程技術(shù)人員需要的試驗(yàn)數(shù)據(jù)是百分表示值對(duì)應(yīng)的力值，如果這個(gè)示值并不是校準(zhǔn)點(diǎn)中一個(gè)，那么研究獲得校準(zhǔn)點(diǎn)以外的力值就顯得非常有必要了。我們可以通過(guò)對(duì)校準(zhǔn)的數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析，獲得相匹配的回歸函數(shù)，就可以對(duì)校準(zhǔn)點(diǎn)以外的力值進(jìn)行預(yù)測(cè)，以獲得最佳效果。

1 測(cè)力環(huán)的校準(zhǔn)和測(cè)量數(shù)據(jù)

在實(shí)際的測(cè)力環(huán)校準(zhǔn)工作中，依據(jù)JJG 455—2000《工作測(cè)力儀》檢定規(guī)程的要求，我們使用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)顯測(cè)力儀對(duì)測(cè)力環(huán)進(jìn)行測(cè)量，測(cè)力環(huán)校準(zhǔn)時(shí)一般安裝固定在一個(gè)工作試驗(yàn)臺(tái)上(如路面材料強(qiáng)度測(cè)力儀工作臺(tái)等)，校準(zhǔn)時(shí)不要使用工作試驗(yàn)臺(tái)本身的電動(dòng)裝置來(lái)施加壓力，因?yàn)殡妱?dòng)裝置的加荷速度不好控制，加荷速度過(guò)快會(huì)導(dǎo)致儀器的物理性損壞，而且讀數(shù)也不準(zhǔn)確，所以我們另外配置了一個(gè)手動(dòng)液壓千斤頂作為加荷裝置。

把手動(dòng)液壓千斤頂放在測(cè)力環(huán)正下方，兩者的距離要略大于標(biāo)準(zhǔn)數(shù)顯測(cè)力儀的高度，然后把標(biāo)準(zhǔn)數(shù)顯測(cè)力儀平穩(wěn)地放在千斤頂?shù)纳厦?，手?dòng)對(duì)千斤頂施加壓力，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)顯測(cè)力儀和測(cè)力環(huán)剛接觸到(標(biāo)準(zhǔn)數(shù)顯測(cè)力儀開(kāi)始有力值顯示)時(shí)，開(kāi)始緩慢平滑地手動(dòng)對(duì)千斤頂施加壓力，仔細(xì)觀察標(biāo)準(zhǔn)數(shù)顯測(cè)力儀的力值(即測(cè)力環(huán)負(fù)荷)與測(cè)力環(huán)的百分表行程示值，讀取兩者對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)，得到一組測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)(xi,yi)。以量程為7.5kN的測(cè)力環(huán)為例，測(cè)量數(shù)據(jù)如表1，其中yi為標(biāo)準(zhǔn)測(cè)力儀的力值，xi為測(cè)力環(huán)百分表的示值。

表1 測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)(xi,yi)

針對(duì)上述測(cè)量數(shù)據(jù)，我們下面將采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的回歸分析方法求解得到回歸函數(shù)。

2 回歸分析原理和內(nèi)容

回歸分析的原理是利用數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的原理，通過(guò)數(shù)學(xué)方法對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析推導(dǎo)，研究確定變量之間的內(nèi)在關(guān)系，建立變量的回歸函數(shù)，通過(guò)回歸函數(shù)推斷未知變量。

回歸分析的內(nèi)容和步驟：從一組數(shù)據(jù)出發(fā)，畫(huà)出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，判斷變量之間的相關(guān)性；根據(jù)變量之間的關(guān)系建立回歸模型，求解回歸系數(shù)，求解回歸系數(shù)采用的數(shù)學(xué)方法有很多種，常用最小二乘法，最大似然估計(jì)法等；對(duì)求得的回歸函數(shù)進(jìn)行有效性檢驗(yàn)；利用所求的回歸函數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。下面我們按照回歸分析的步驟分步來(lái)進(jìn)行。

3 測(cè)力環(huán)的測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)(xi,yi)的相關(guān)性

要確定回歸函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，我們首先要分析表1中的數(shù)據(jù)對(duì)(xi,yi)的內(nèi)在關(guān)系，也就是它們之間的相關(guān)性。

依據(jù)表1的測(cè)量數(shù)據(jù)(xi,yi)畫(huà)出相關(guān)圖(又稱散點(diǎn)圖)，具體做法如下：用直角坐標(biāo)系的x軸代表自變量xi，y軸代表因變量yi，將表1的測(cè)量數(shù)據(jù)用坐標(biāo)點(diǎn)的形式描繪出來(lái)，以此來(lái)描述相關(guān)點(diǎn)分布狀況，從而得到觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)(xi,yi)的散點(diǎn)圖，如圖1所示。

圖1 測(cè)力環(huán)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖

由圖1可以很直觀地看出，測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)幾乎在同一條直線上，而且yi隨著xi的增大而增大，由此可見(jiàn)它們是高度正相關(guān)。

同時(shí)，我們也可以通過(guò)計(jì)算(xi,yi)之間的相關(guān)系數(shù)定量衡量?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量xi和yi相互依賴的程度，進(jìn)一步分析數(shù)據(jù)對(duì)(xi,yi)潛在的內(nèi)部關(guān)系。

根據(jù)相關(guān)系數(shù)的定義，它等于兩個(gè)變量xi和yi的協(xié)方差除以各自方差之積的正平方根，所以數(shù)據(jù)對(duì)(xi,yi)的相關(guān)系數(shù)r(xi,yi)為：

(1)

式中s(xi)為樣本xi的標(biāo)準(zhǔn)偏差，公式為：

(2)

s(yi)為樣本yi的標(biāo)準(zhǔn)偏差，公式為：

(3)

s(xi,yi)為樣本協(xié)方差，公式為：

(4)

由表1的測(cè)量數(shù)據(jù)可以求出，s(xi)=0.370562，s(yi)=2.160247，s(xi,yi)=0.8005，所以r(xi,yi)=0.999994，根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)，如果r(xi,yi)大于0.8，則說(shuō)明xi和yi是高度正相關(guān)，yi會(huì)隨著xi的增加(減少)而增加(減少)，(xi,yi)分散在一條上升的直線附近。

我們從描繪的散點(diǎn)圖和求解相關(guān)系數(shù)的結(jié)果可以看到，測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)xi和yi是高度相關(guān)，(xi,yi)會(huì)分散在一條直線附近，這條直線稱為回歸直線，同時(shí)說(shuō)明測(cè)力環(huán)負(fù)荷和百分表行程具有良好的線性關(guān)系，完全滿足一元線性回歸方程模型，所以我們可以建立一個(gè)一元一次的回歸模型。

4 建立回歸模型和最大似然估計(jì)法

4.1 建立回歸模型

從上面的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的相關(guān)性分析知道，測(cè)力環(huán)負(fù)荷和百分表行程具有線性關(guān)系，所以對(duì)應(yīng)的函數(shù)為一元一次函數(shù)方程，我們可以假設(shè)回歸函數(shù)模型如下：

Y=a+bx+ε

(5)

其中a為截距，b為斜率，都是未知參數(shù)，ε～N(0，σ2)屬于隨機(jī)誤差。σ2越大表示隨機(jī)誤差越大，可以通過(guò)求解平方和分解公式進(jìn)行估算。在這里如何求解a、b是關(guān)鍵，在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中可以采用多種數(shù)學(xué)方法分析推斷未知參數(shù)a、b，如最小二乘法、最大似然估計(jì)法等，下面我們用最大似然估計(jì)法來(lái)求解參數(shù)。

4.2 最大似然估計(jì)法

取x的n個(gè)不全相同的值x1，x2……xn作獨(dú)立試驗(yàn)，得到一組測(cè)量數(shù)據(jù)(x1,Y1)，(x2,Y2)……(xn,Yn)，其中Y1，Y2……Yn也是獨(dú)立的，則得到基于Y1，Y2……Yn的似然函數(shù)：

(6)

在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中，L取最大值時(shí)，a、b取值為最大似然估計(jì)。顯然這里L(fēng)要取最大值，就要令式(7)中的平方和為最?。?/p>

(7)

我們知道，當(dāng)Q關(guān)于a,b的偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)等于0時(shí)，Q為最小值。所以，下面方程組成立：

(8)

通過(guò)求解上述方程組，可以得到a,b的最大似然估計(jì)：

(9)

其中：

(10)

測(cè)力環(huán)的回歸方程的參數(shù)可以用上面的原理來(lái)推導(dǎo)出來(lái)，根據(jù)上面的測(cè)量數(shù)據(jù)可知，n=7，為方便計(jì)算回歸函數(shù)的參數(shù)，我們可以做一個(gè)詳細(xì)直觀的列表，如表2。

表2 回歸函數(shù)的參數(shù)

由表2得：

所以得到：

10.615×5.829621=-5.840204

于是得到回歸函數(shù)為：

y=-5.840204+5.829621x

上面得到的回歸函數(shù)是從測(cè)量數(shù)據(jù)出發(fā)分析，是一元線性回歸的經(jīng)驗(yàn)公式，它是否有效及其可信程度，即回歸函數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)是否有效可用，必須從以下方面進(jìn)行檢驗(yàn)評(píng)估，包括線性假設(shè)的顯著性檢驗(yàn)、回歸函數(shù)擬合效果和Y的觀測(cè)值的預(yù)測(cè)效果等方面進(jìn)行評(píng)價(jià)。

5 回歸函數(shù)的有效性分析

5.1 線性假設(shè)的顯著性檢驗(yàn)

若回歸方程的線性假設(shè)需要符合實(shí)際，則參數(shù)b應(yīng)不為零，因?yàn)閎=0，則y不依賴于x。因此我們檢驗(yàn)假設(shè)：

(11)

我們采用t檢驗(yàn)法進(jìn)行檢驗(yàn)，根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的有關(guān)推斷得到：

H0:b=0的拒絕域?yàn)椋?/p>

(12)

要對(duì)式(12)進(jìn)行求解，首先需要對(duì)σ2進(jìn)行估算求解。

5.1.1σ2的估算

通過(guò)估算σ2的大小可以評(píng)估獲得的回歸函數(shù)有效性，σ2越小，表示回歸函數(shù)y=a+bx作為Y的近似導(dǎo)致的均方誤差就越小，也就是說(shuō)觀測(cè)數(shù)據(jù)偏離回歸方程的程度越小，同時(shí)說(shuō)明得到的回歸函數(shù)越有效。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中通過(guò)求解平方和分解公式得到σ2：

下面我們對(duì)上面根據(jù)測(cè)力環(huán)的測(cè)量數(shù)據(jù)得到的回歸函數(shù)進(jìn)行σ2的估算，由表2得到：

5.1.2 檢驗(yàn)回歸效果是否顯著(取a =0.05)

由上面可知，σ2=0.000066，σ=0.00812，Sxx=0.823896，則式(12)中：

=651.659

5.2 回歸函數(shù)擬合效果的分析

表3 回歸函數(shù)擬合效果

由表3可知，用回歸函數(shù)計(jì)算出來(lái)的結(jié)果與測(cè)量值相對(duì)誤差均小于1%，符合有關(guān)規(guī)程的要求，擬合效果很好。

如果回歸函數(shù)的回歸效果不顯著或擬合效果不好，可以分段進(jìn)行回歸擬合以達(dá)到最佳的效果。

5.3Y的觀測(cè)值的預(yù)測(cè)及效果驗(yàn)證

如果我們對(duì)x=xi時(shí)對(duì)應(yīng)Y的觀測(cè)值Yi感興趣，但是我們沒(méi)有x=xi處的實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)，這時(shí)可以利用回歸方程獲得xi對(duì)應(yīng)的Yi。例如，當(dāng)工程人員使用測(cè)力環(huán)工作時(shí)，得到的百分表的示值xi，而這個(gè)點(diǎn)并不在上面的測(cè)量數(shù)據(jù)中，這時(shí)就可以使用回歸方程獲得xi對(duì)應(yīng)的測(cè)力環(huán)的力值yi，也就是使用回歸方程對(duì)Y的觀測(cè)值進(jìn)行預(yù)測(cè)。

下面我們做一個(gè)試驗(yàn)，把回歸方程對(duì)Y的觀測(cè)值進(jìn)行預(yù)測(cè)得到的值Yi和我們實(shí)測(cè)的值yi進(jìn)行比較驗(yàn)證。我們按照測(cè)力環(huán)的校準(zhǔn)方法，給測(cè)力環(huán)施加一個(gè)壓力，這時(shí)測(cè)力環(huán)百分表的示值為1.325mm，標(biāo)準(zhǔn)數(shù)顯測(cè)力儀顯示的力值yi為1.879kN，則：

Yi=a+bxi=-5.840204+5.829621x

=-5.840204+5.829621×1.325

=1.884044kN

=0.27%

從相對(duì)誤差δi的結(jié)果可以看到，預(yù)測(cè)的效果非常滿意，回歸函數(shù)的擬合效果很好。

6 小結(jié)

利用回歸分析方法對(duì)測(cè)力環(huán)的校準(zhǔn)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，獲得的回歸函數(shù)是對(duì)測(cè)力環(huán)的荷載和百分表行程之間關(guān)系的最佳擬合，可得到與實(shí)際更為接近的測(cè)力環(huán)結(jié)果，為有關(guān)實(shí)驗(yàn)室的檢測(cè)試驗(yàn)提供了較高精度的數(shù)據(jù)處理方法，有效地?cái)U(kuò)展測(cè)力環(huán)的測(cè)量范圍，并提高現(xiàn)有儀器的使用效率。實(shí)踐證明，測(cè)力環(huán)回歸方程具有較高的應(yīng)用價(jià)值，具有較好應(yīng)用前景。

[1] 盛驟，等．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì).第4版．高等教育出版社，2008

[2] 何書(shū)元．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)．高等教育出版社，2006

[3] 麻青春，錢(qián)武威．基于最小二乘法的測(cè)力環(huán)線性回歸分析與檢驗(yàn)．交通標(biāo)準(zhǔn)化，2009(15)

[4] 朱林，李志峰，何建新，毛勤衛(wèi)．基于MATLAB的應(yīng)力環(huán)校準(zhǔn)方程線性回歸分析．計(jì)量技術(shù)，2013(8)

[5] 潘思曦，簡(jiǎn)衛(wèi)平．回歸分析法在電路檢驗(yàn)中的應(yīng)用．計(jì)量技術(shù)，2009(7)

10.3969/j.issn.1000-0771.2015.11.20