基于總體最小二乘法的二維坐標轉(zhuǎn)換方法

趙景堂，杜國明，李秀海

（1.中國石油集團東北煉化工程有限公司吉林設計院，吉林吉林 132021；2.遼寧省鞍鋼大孤山鐵礦采礦車間，遼寧鞍山 114046；3.黑龍江工程學院測繪工程學院，黑龍江哈爾濱 150050）

基于總體最小二乘法的二維坐標轉(zhuǎn)換方法

趙景堂1，杜國明2，李秀海3

（1.中國石油集團東北煉化工程有限公司吉林設計院，吉林吉林 132021；2.遼寧省鞍鋼大孤山鐵礦采礦車間，遼寧鞍山 114046；3.黑龍江工程學院測繪工程學院，黑龍江哈爾濱 150050）

介紹總體最小二乘法進行二維坐標轉(zhuǎn)換的原理和方法。通過具體工程案例，研究利用總體最小二乘法進行坐標轉(zhuǎn)換，結(jié)果表明：與普通最小二乘法相比較，總體最小二乘方法能夠提高坐標成果轉(zhuǎn)換精度，但如果應用不當，則不如普通最小二乘法的轉(zhuǎn)換結(jié)果。

二維坐標轉(zhuǎn)換；最小二乘法；總體最小二乘法；誤差

坐標轉(zhuǎn)換問題在測量工作中經(jīng)常遇到，如利用GNSS技術(shù)建立的各類控制網(wǎng)需要將WGS84坐標成果轉(zhuǎn)換到國家坐標系或地方城市坐標系及工程獨立坐標系下的成果，將北京54坐標系成果轉(zhuǎn)換為西安80坐標系或相反等等，二維平面坐標轉(zhuǎn)換是經(jīng)常采用的一種坐標轉(zhuǎn)換方法。傳統(tǒng)二維坐標轉(zhuǎn)換通常采用4參數(shù)方法，即2個平移參數(shù)、1個尺度參數(shù)和1個旋轉(zhuǎn)參數(shù)，利用2個以上重合點的坐標采用最小二乘方法（Least Squares，LS）求取4個轉(zhuǎn)換參數(shù)實現(xiàn)兩種坐標之間的變換。在建立坐標轉(zhuǎn)換模型時，僅考慮目標坐標的誤差，而把源坐標視為無誤差，這與實際情況是不符的，因為任何測量和計算都存在誤差。近年來，利用總體最小二乘法（Total Least Squares，TLS）進行坐標轉(zhuǎn)換得到了重視［1－4］和應用，總體最小二乘法同時考慮源坐標和目標坐標誤差，從理論上較基于普通的最小二乘法坐標轉(zhuǎn)換方法具有優(yōu)勢［5－7］，本文主要利用TLS進行坐標轉(zhuǎn)換，為坐標轉(zhuǎn)換提供一種新的轉(zhuǎn)換方法。

1 基于LS的二維坐標轉(zhuǎn)換方法

二維坐標轉(zhuǎn)換通常采用如下4參數(shù)轉(zhuǎn)換模型［8］

式中：Δx，Δy為2個平移參數(shù)，k為尺度參數(shù)，θ為旋轉(zhuǎn)參數(shù)。式（1）是非線性方程，用附加未知參數(shù)

得到線性化方程

當有2個以上重合點的坐標時，采用LS法求式（4）中的未知參數(shù)，并把式（4）寫成誤差方程為

2 總體最小二乘法解算坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)

與LS法不同，TLS不僅考慮式（5）中觀測量的誤差，還考慮系數(shù)矩陣B的誤差，其數(shù)學模型為

式中：EB為系數(shù)矩陣B的誤差，等權(quán)TLS以式（8）為基礎進行參數(shù)估計。

式中：vec指將矩陣按行拉直所得到的列向量，排列的順序從左至右。

TLS問題的求解一般采用奇異值分解法。首先構(gòu)造增廣矩陣［B，L］，對其進行奇異值分解

式中：m為未知數(shù)個數(shù)，f為式（9）中F的元素。

由于在式（5）B中的元素并非都存在誤差，如式（4）右邊系數(shù)矩陣前2列對應的平移參數(shù)系數(shù)矩陣皆為常數(shù)，不需要修正，僅對后兩列修正即可。將B及X分解為

式中：B1為不需要修正的分塊系數(shù)矩陣，X1為其對應的未知參數(shù)，B2為需要修正的分塊系數(shù)矩陣，X2為其對應的未知參數(shù)。TLS的解應滿足等式

對式（12）的求解一般是先對B1進行QR分解，再把QT左乘到［B，L］上，得到

由式（14）可建立方程

先利用TLS方法由式（16）求出X2，再將X2代入式（15），即可求出X1，從而實現(xiàn)全部未知參數(shù)的解算。

3 算例分析

某礦業(yè)權(quán)核查C級GPS控制網(wǎng)，具有北京54和西安80兩套國家坐標系成果，選擇其中7個控制點作為轉(zhuǎn)換參數(shù)，8個控制點作為檢核點。設計以下3個研究方案：

方案1：以傳統(tǒng)最小二乘方法求取坐標轉(zhuǎn)化參數(shù)進行的坐標轉(zhuǎn)換；

方案2：把式（5）中系數(shù)矩陣B的系數(shù)都作為具有誤差的量進行總體最小二乘方法求解轉(zhuǎn)化參數(shù)進行的坐標轉(zhuǎn)換；

方案3：把式（5）中系數(shù)矩陣B的系數(shù)分成兩部分，僅考慮子矩陣B2矩陣中元素的誤差進行總體最小二乘的坐標轉(zhuǎn)換。

三種坐標轉(zhuǎn)換方法求取的轉(zhuǎn)換參數(shù)見表1。

表1 三種方案求取的坐標轉(zhuǎn)換參數(shù)

三種坐標轉(zhuǎn)換方案的坐標轉(zhuǎn)換精度見表2。

表2 坐標轉(zhuǎn)換精度統(tǒng)計

從表1可知，方案2和方案1、3求定的轉(zhuǎn)換參數(shù)差異較大。在表2坐標轉(zhuǎn)換的精度統(tǒng)計中，方案2的坐標轉(zhuǎn)換精度也最低，分析原因主要是把系數(shù)矩陣B中的所有量（包括常量）視為具有觀測誤差的觀測值是不合理的。在3個坐標轉(zhuǎn)換方案中，方案3坐標轉(zhuǎn)換精度比方案1提高了約5mm，說明利用整體最小二乘法進行坐標轉(zhuǎn)換比普通最小二乘法的坐標轉(zhuǎn)換精度有所提高。

4 結(jié)束語

本文基于總體最小二乘法對二維坐標轉(zhuǎn)換進行的研究表明，把具有常數(shù)的誤差方程系數(shù)矩陣中所有元素視為具有誤差的變量是不合理的，其坐標轉(zhuǎn)換獲得的結(jié)果不如利用普通最小二乘轉(zhuǎn)換的結(jié)果。基于整體最小二乘法的二維坐標轉(zhuǎn)換精度比普通最小二乘轉(zhuǎn)換法精度有所提高。

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［8］孔祥元，梅是義.控制測量學［M］.武漢：武漢大學出版社，2004：147-148.

［責任編輯：郝麗英］

A study of two dimensional coordinate transformation based on total least squares

ZHAO Jing-tang1，DU Guo-ming2，LI Xiu-hai3

（1.Jilin Design Institute of Petro China Northeast Refining ＆Chemicals Engineering Co.Ltd.，Jilin 132021，China；2.Ansan Dagushan Iron Mine，Anshan 114046，China；3.College of Surveying and Mapping Engineering，Heilongjiang Institute of Technology，Harbin 150050，China）

The method and principle of two dimensional coordinate transformation based on total least squares are introduced.The total least squares are applied to a survey engineering example in two dimensional coordinate transformation.The results show that compared with least squares，two dimensional coordinate transformation based on total least squares can improve the precision of transformation and deteriorate it if incorrect by using this method.

two dimensional coordinate transformation；least squares；total least squares；error

TU198

A

1671-4679（2015）01-0021-02

2014-11-14

黑龍江省教育廳資助項目（12511465）

趙景堂（1966－），男，高級工程師，研究方向：工程測量.