基于粒模型的PAD情感模型描述方法

林君煥，陳月芬

(1．臺州職業(yè)技術(shù)學院 機電學院，浙江臺州318000;2．臺州學院物理與電子工程學院，浙江 臺州318000)

1 引 言

PAD情感模型可以對情感進行有效的描述。它可以將人類的抽象情感映射到由P，A，D三個維度構(gòu)成的空間里，并通過三個維度坐標來實現(xiàn)特定情感的量化表達，其中三個維度的具體涵義為:愉悅度(Pleasure)代表個體情感狀態(tài)的正負特性，激活度(Arousal)代表個體的神經(jīng)生理激活水平，優(yōu)勢度(Dominance)代表個體對情景和他人的控制狀態(tài)。PAD三維情感模型作為情感與計算之間的橋梁，具有很強的可操作性，便于計算機的處理。

原有PAD情感模型存在幾個問題:① 人類情感豐富細膩，復(fù)雜情感可能由2個以上基本情感合成。②人在認知情感時，可能會從不同層面上去獲取有關(guān)情感知識，如宏觀層面上來說，情感總的可以分成消極情感和積極情感，往下一層可以進一步將積極情感分成高興、輕松等，消極情感可以分為害怕、發(fā)怒等。如何在PAD情感空間里對情感進行不同層面的描述，是情感計算的關(guān)鍵之一。

基于此，本文通過基于商空間理論的粒模型與方法來描述PAD情感模型，并最終能夠在一定程度上解決如上所述的一系列情感計算問題。

2 粒的基本概念

定義1 設(shè)U是非空有限集合，稱之為論域。P(U)為論域U的冪集，U上的一個等價關(guān)系R:U→P(U)。由R在U上產(chǎn)生一個劃分U/R={［u］R/u∈U}={U1，U2，Ui，…，Um}，稱為 R 的等價類或基本集，U1，U2，Ui，…，Um稱為 R 的粒［1］。且滿足:

(1)UiU，Ui≠φ

(2)Ui∩Uj=φ，i≠j，i，j=1，2，3，…，m

定義2 定義R的粒度［2］為

式中:當定義1中U為離散論域時，A 表示A的基數(shù)，當U為連續(xù)論域時，A =∫Ad x，下同。

定理1 設(shè)R在U上的一個等價關(guān)系，其產(chǎn)生的劃分 U/R={U1，U2，…，Um}，則有

證明略。

性質(zhì)1 設(shè)R是U上的一個等價關(guān)系，則有

證明 當R是相等關(guān)系時，即R=ω時，R的粒度最小論域關(guān)系，即R=σ時，R的粒度最大，G(R)=

定義3 設(shè)R是論域U上的一個等價關(guān)系族，且 R1，R2∈R，若對 x，y∈U，xR1yxR2y，則稱R1比 R2細，記為 R1R2。

性質(zhì)2 設(shè)R1，R2是論域U的兩個等價關(guān)系，且 R1R2，則 G(R1)＜G(R2)。

定義4 設(shè)R是U上的一個等價關(guān)系，R在U上產(chǎn)生一個劃分U/R={U1，U2，…，Um}，則 R 在 U的子集構(gòu)成的σ－代數(shù)上定義的概率分布為［3］

定義5 設(shè)R是U上的一個等價關(guān)系，U/R={［u］R/u∈U}={U1，U2，Ui，…，Um}，定義 R 的信息熵H(R)為

信息熵也是R對論域U進行劃分的粗細程度的衡量。

性質(zhì)3 當R由最粗的論域關(guān)系到最細的相等關(guān)系時，H(R)由0增大到log2U。

證畢。

3 基于商空間的粒

3.1 商空間模型

定義6 設(shè)U為所要研究的論域，在U上有屬性函數(shù)f:U→W，其中W可以是多維的，各維既可以是實數(shù)域，也可以是其他的集合。拓撲T用來描述U中各元素之間的關(guān)系，則稱三元組(U，f，T)為所要研究的對象［4］。

定義7 設(shè)R是U上的一個等價關(guān)系，則由R產(chǎn)生的劃分構(gòu)成U的一個商集［U］。在［U］上定義的商拓撲［T］為［T］={u/p－1(u)∈T，u∈［U］}，其中，p:U→［U］是自然投影;p－1是 p的逆變換。在［U］上構(gòu)造出屬性函數(shù)［f］，則稱三元組(［U］，［f］，［T］)為(U，f，T)的商空間［4］。

3.2 模糊商空間理論

定義8 設(shè)U是論域，U上的一個模糊集A是指u∈U，有-μA∈［0，1］，稱為 u對 A 的隸屬程度，映射 μA:U→［0，1］，u→μA(u)稱為 A 的隸屬函數(shù)［5］。

令F(U)表示U的模糊子集的冪集，則F(U)實際上是由 μAi:U→［0，1］，Ai∈F(U)，i=1，2，3，…組成的函數(shù)族。

定義 9 設(shè) R∈F(U×U)，若滿足［5］:

(1) u∈U，R(u，．u)=1

(2) u，v∈U，R(u，．v)=R(v，．u)

(3) u，v，w∈U，R(v，．w)≥

supu(min(R(v，．u)，R(u，．w)))

則稱R是U上的一個模糊等價關(guān)系。

命題1 設(shè)R是U上的一個模糊等價關(guān)系，若u，v∈U，R(u，v)=1，則稱是 U 上的一個普通等價關(guān)系，可令由構(gòu)造的對應(yīng)商空間為［U］［5］。

命題2 設(shè)R是U上的一個模糊等價關(guān)系，令 Rλ={(u，v)/R(u，v)≥λ}，0≤λ≤1，則 Rλ是U上的一個普通等價關(guān)系，稱Rλ為R的截關(guān)系，令由 Rλ構(gòu)造的對應(yīng)商空間為 U(λ)［5］。

定義10 設(shè)R是U上的一個模糊等價關(guān)系，Rλ為R的截關(guān)系，Rλ構(gòu)造的對應(yīng)商空間為U(λ)={U1(λ)，U2(λ)，Ui(λ)，…，Um(λ)}，則稱U1(λ)，U2(λ)，Ui(λ)，…，Um(λ)為 Rλ的粒。

定義11 根據(jù)定義2和定義10，Rλ的粒度定義為

式中:當定義9中U為離散論域時，A 表示A的基數(shù)，當U為連續(xù)論域時，A =∫Ad x，下同。

定理2 設(shè)R是U上的一個模糊等價關(guān)系，Rλ為R的截關(guān)系，且由Rλ構(gòu)造的對應(yīng)商空間為U(λ)={U1(λ)，U2(λ)，Ui(λ)，…，Um(λ)}，則有

證明 由定理1同理可得。

性質(zhì)4 設(shè)R是U上的一個模糊等價關(guān)系，Rλ是 R 的截關(guān)系，則有 0≤λ2≤λ1≤1Rλ1＜Rλ2U(λ2)是 U(λ1)的商集。于是商空間族{U(λ)/0≤λ≤1}按照商集的包含關(guān)系構(gòu)成一個有序鏈，稱{U(λ)/0≤λ≤1}為U上的一個分層遞階結(jié)構(gòu)［5］。

性質(zhì)5 設(shè)R是U上的一個模糊等價關(guān)系，Rλ1，Rλ2是 R 的截關(guān)系，且有 Rλ2＞Rλ1，則有 G(Rλ1)＜G(Rλ2)。

命題3 給定一個U上的模糊等價關(guān)系，則對應(yīng)一個U上的分層遞階結(jié)構(gòu)［5］。

定義12 設(shè)R是U上的一個模糊等價關(guān)系，可得到一個與它等價的U的商空間［U］上的歸一化等腰距離d。對a∈［U］，定義μa(b)=1－d(a，b)，b∈［U］。那么每個 μa就定義了［U］上一個模糊集。由這些模糊集構(gòu)成的空間就對應(yīng)于模糊等價關(guān)系R的模糊商空間{μa/a∈［U］}，或稱其為U上的一個模糊知識基。注:U的商空間［U］上的歸一化等腰距離的相關(guān)概念見文獻［5］。

定義13 設(shè)R1，R2是U上的兩個模糊等價關(guān)系，若對(u，v)∈(U×U)，有 R1(u，v)≤R2(u，v)，則稱 R2比 R1細，記為 R1≤R2。

定理3 在上述定義的關(guān)系“＜”下，所有U上的模糊商空間全體構(gòu)成一個完備半序格R［5］。

證明略。

4 PAD情感空間的粒模型

PAD空間中的三個坐標軸具體量值含義為:+P代表愉悅，－P代表不愉悅;+A代表激活，－A代表不激活;+D代表優(yōu)勢，－D代表沒有優(yōu)勢，每個維度上的數(shù)值范圍為［－1，+1］，－1表示該維度上的值比較低，相反+1表示該維度上的值比較高，例如希望的坐標是(0．2，0．2，－0．1)。通過這種量化表示，OCC(由 Ortony，Clore，Collins三位學者提出的情感模型，稱為OCC模型，在該模型中，他們根據(jù)不同的情感刺激提出了22類情感)中的情感類型與PAD三維情感模型的對應(yīng)關(guān)系［6］如表1所示。

將PAD空間的情感狀態(tài)通過粒模型來描述，首先是將P，A，D三維坐標構(gòu)成的空間作為所要研究的對象論域。該論域由表1中的24個離散情感狀態(tài)構(gòu)成。

定義14 設(shè)PAD情感空間論域為U:P×A×D，在U:P×A×D 上有屬性函數(shù)f:P×A×D→E，E 為情感狀態(tài)空間。拓撲T是U:P×A×D上各元素之間的關(guān)系。則(U，f，T)就是PAD情感空間上所要研究的對象。

定義15 設(shè)R是U:P×A×D上的一個等價關(guān)系，則由R產(chǎn)生的劃分構(gòu)成U:P×A×D的一個商集［U］。在［U］上定義的商拓撲［T］為［T］={u/p－1(u)∈T，u∈［U］}，其中，p:U→［U］是自然投影;p－1是p的逆變換。在［U］上構(gòu)造出屬性函數(shù)［f］，則稱三元組(［U］，［f］，［T］)為(U，f，T)的PAD情感商空間。

定義16 設(shè)R∈F(U×U)，若滿足:

(1) u∈U，R(u，．u)=1

(2) u，v∈U，R(u，．v)=R(v，．u)則稱R是U上的一個模糊相似關(guān)系。

表1 OCC情感類型與PAD三維情感模型的對應(yīng)關(guān)系Tab．1 Corresponding relationship between emotions of OCC and the 3-dimension emotional model of PAD

定理 4 令 R(x，y)=1－d(x，y)，其中 d(x，y)是U:P×A×D上歐氏歸一化距離，則R是U:P×A×D上的一個模糊相似關(guān)系。

證明 R(x，x)=1－d(x，x)=1滿足定義 16的條件(1);

R(x，y)=1－d(x，y)=1－d(y，x)=R(y，x)滿足定義16的條件(2)。證畢。

定理5 設(shè)模糊矩陣A，則A的傳遞閉包t(A)是

證明略。

定理6 模糊相似矩陣R的傳遞閉包是模糊等價矩陣，且

證明略。

定理7 設(shè)R是模糊相似矩陣，則存在一個最小自然數(shù) k(k≤n)，使得傳遞閉包 t(R)=于任何自然數(shù) b≥k，都有 Rb=Rk，此時t(R)=是模糊等價矩陣［7］。

證明略。

定理 8 令 R(x，y)=1－d(x，y)，其中 d(x，y)是 U:P×A×D 上歐氏歸一化距離，由 R(x，y)組成矩陣 R∈μ24×24，其中 μi×j=R(xi，yj)，則有模糊等價矩陣t(R)=，k(k≤n)。

證明:由定理4和定理7可證。

根據(jù)表1和定理4計算PAD情感空間論域U:P×A×D上的模糊相似關(guān)系矩陣。

根據(jù)定理8和式(7)求得R對應(yīng)的模糊等價矩陣。

定義17 R是由式(8)確定的模糊等價關(guān)系，Rλ為R的截關(guān)系，Rλ構(gòu)造的對應(yīng)情感商空間為U(λ)={U1(λ)，U2(λ)，Ui(λ)，…，Um(λ)}，則稱 U1(λ)，U2(λ)，Ui(λ)，…，Um(λ)為 Rλ的情感粒。

定義18 根據(jù)定義2和定義17，Rλ的情感粒度定義為

式中: A 表示A的基數(shù)。情感粒度是衡量PAD情感空間上的情感粒粗細度的尺度之一。

定理9 R是由式(8)確定的模糊等價關(guān)系，Rλ為R的截關(guān)系，且由Rλ構(gòu)造的對應(yīng)情感商空間為 U(λ)={U1(λ)，U2(λ)，Ui(λ)，…，Um(λ)}，則有

證明 由定理1同理可得。

定義19 R是由式(8)確定的模糊等價關(guān)系，Rλ為R的截關(guān)系，且由Rλ構(gòu)造的對應(yīng)情感商空間為 U(λ)={U1(λ)，U2(λ)，Ui(λ)，…，Um(λ)}，則Rλ在U的子集構(gòu)成的σ－代數(shù)上定義的概率分布為

定義20 R是由式(8)確定的模糊等價關(guān)系，Rλ為R的截關(guān)系，且由Rλ構(gòu)造的對應(yīng)情感商空間為 U(λ)={U1(λ)，U2(λ)，Ui(λ)，…，Um(λ)}，定義Rλ的PAD情感空間上的情感熵H(R)為

情感熵也是衡量PAD情感空間上的情感粒粗細度的尺度之一。

例1 對于式(8)的模糊等價矩陣，求取該模糊等價矩陣的截關(guān)系矩陣Rλ，λ=0．87時的情感商空間、情感粒度、情感熵。

解:

由式(8)和 Rλ，λ=0．87 可得

由定義15得R0．87等價截關(guān)系下的一個情感商集［U］:P×A×D 為:

{{欽佩，滿足，感激，幸福，希望，高興，喜歡，愛，傲慢，輕松，滿意}，{發(fā)怒，厭惡，憎恨，責備}，{失望，痛苦，害怕，恐懼，同情，懊悔，憤恨，羞愧}，{幸災(zāi)樂禍}}

上式中:{欽佩，滿足，感激，幸福，希望，高興，喜歡，愛，傲慢，輕松，滿意}是原情感空間U:P×A×D上比較正性情感的集合，{發(fā)怒，厭惡，憎恨，責備}是原情感空間U:P×A×D上比較負性且直接作用于客體的情感的集合，{失望，痛苦，害怕，恐懼，同情，懊悔，憤恨，羞愧}是原情感空間U:P×A×D上比較負性且比較傾向于內(nèi)省的情感的集合，{幸災(zāi)樂禍}是原情感空間U:P×A×D上無利益沖突時表現(xiàn)出的負面情感的集合，該結(jié)果證明了通過R0．87等價截關(guān)系求得的商集，能夠有效地將原空間提升到更宏觀的層面進行描述和總結(jié)。

情感商空間的情感粒度

情感熵

例2 對于式(8)的模糊等價矩陣，分別取該模糊等價矩陣的截關(guān)系矩陣 Rλ1，λ1=0．87 和 Rλ2，λ2=0．9，試比較兩者產(chǎn)生的情感商空間的情感粒粗細度。

解:

由式(8)和 Rλ，λ=0．9 可得

由定義15得R0．87等價關(guān)系下的一個情感商集［U］:P×A×D］為:

{{欽佩，滿足，感激，幸福，希望，高興，喜歡，愛，傲慢}，{發(fā)怒，憎恨}，{厭惡}，{失望，痛苦，恐懼，同情，懊悔，羞愧}，{害怕}，{幸災(zāi)樂禍}，{輕松，滿意}，{責備}，{憤恨}}

由定義 3、性質(zhì) 2、性質(zhì) 3 和 G(R0．87) ＞G(R0．9)、H(R0．87)＜H(R0．9) 可得 R0．87的情感商空間比 R0．9的情感商空間粗。

比較 R0．87的情感商空間和 R0．9的情感商空間，可以發(fā)現(xiàn) R0．87的情感商空間是 R0．9的情感商空間集合的集合，也證明了R0．87的情感商空間是R0．9的情感商空間的商空間。

5 結(jié) 論

情感的可計算問題一直是人工智能領(lǐng)域研究的熱點之一。情感計算的關(guān)鍵是將情感投影到特定空間上進行量化，并建立起有效的數(shù)學模型對其進行相關(guān)的計算，計算結(jié)果可以為后續(xù)的情感推理模型提供依據(jù)。本文以基于商空間理論的粒模型和粒計算為方法，對PAD情感模型進行了粒的描述。從粒的角度，定性和定量地刻畫了PAD情感空間里的情感狀態(tài)。通過實例證明了基于商空間理論的粒模型在描述PAD情感狀態(tài)上具有一定的有效性和可行性。目前本文只是對PAD情感模型作了初步的粒描述。未來還將研究通過基于商空間理論的粒模型和粒計算的方法，定性和定量地描述情感在不同商空間上的拓撲關(guān)系以及情感在不同商空間上的運算法則，從而實現(xiàn)情感在不同層面(商空間)上的遷移、合成和分解等。

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