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    一類三角矩陣的特征值反問題

    2015-06-07 10:01:13李帥李志斌
    關(guān)鍵詞:理學(xué)院特征值學(xué)報(bào)

    李帥,李志斌

    (大連交通大學(xué) 理學(xué)院,遼寧 大連 116028)

    一類三角矩陣的特征值反問題

    李帥,李志斌

    (大連交通大學(xué) 理學(xué)院,遼寧 大連 116028)

    對一類奇階上三角矩陣的特征值反問題進(jìn)行研究,通過兩個(gè)給定特征對(λ,x),(μ,y)對矩陣的存在性及唯一性的條件進(jìn)行討論,在滿足條件的前提下進(jìn)行求解并給出表達(dá)式,通過數(shù)值例子驗(yàn)證算法的可行性.

    三角矩陣;特征值;反問題

    0 問題提出

    矩陣的特征值反問題不僅在數(shù)值代數(shù)理論上是有意義的,而且在解決實(shí)際應(yīng)用問題方面,也有舉足輕重的地位[1- 4].

    本文主要對如下形式的矩陣進(jìn)行研究

    其中,ai,bi,ci(i=1,2,…,n)∈R且ci=bi-1(i=1,2,…,n-2),c1=b0=0,n=2m-1.

    問題A 給出兩個(gè)非零互異實(shí)數(shù)λ,μ以及兩個(gè)非零向量x=(x1,x2,…,xn)T,y=(y1,y2,…,yn)T,求n階實(shí)矩陣J使Jx=λx,Jy=μy.

    做如下約定:

    (1)

    (2)

    (3)

    (4)

    (5)

    (6)

    (7)

    1 問題A求解

    1.1 當(dāng)1≤i≤m-1時(shí)

    由于(λ,x),(μ,y)為J的特征對,從而有

    (8)

    (9)

    由式(8)和(9)消去ai,得

    (10)

    又因?yàn)?/p>

    ci=bi-1,(i=1,2,…,n-2),結(jié)合式(2)、(3)、(10)可得

    (11)

    當(dāng)i=1時(shí),由b0=0得

    (12)

    當(dāng)i=2時(shí)

    (13)

    (14)

    對于式(14),若Di≠0(i=1,2,…,n-1),則xi,yi(i=1,2,…,m-1)不能同時(shí)為零,則ai,bi,ci(i=1,2,…,m-1)有唯一值.由式(14)解得

    (15)

    (16)

    (17)

    1.2 當(dāng)m≤i≤n-2時(shí)

    (18)

    (19)

    由式(18)和(19)消去ai,得

    (20)

    又因?yàn)閏i=bi-1(i=1,2,…,n-2),結(jié)合式(2),(4)和(20)可變?yōu)?/p>

    (21)

    當(dāng)i=m時(shí),得

    (22)

    當(dāng)i=m+1時(shí),得

    (23)

    (24)

    (25)

    類似情況2.1,當(dāng)Di≠0(i=1,2,…,n-1)時(shí),ai,bi,ci(i=m,m+1,…,n-2)有唯一值,由式(25)解得

    (26)

    (27)

    (28)

    1.3 當(dāng)i=n-1時(shí)

    (29)

    (30)

    若Dn-1≠0,則an-1,bn-1有唯一值,由式(29)和(30)解得

    (31)

    (32)

    1.4 當(dāng)i=n時(shí)

    ①若xn≠0,yn=0,anxn=λxn則an=λ;

    ②若yn≠0,xn=0,anyn=μyn則an=μ;

    ③若xn≠0,yn≠0,anxn=λxn,從而an=λ;anyn=μyn,從而an=μ,就有λ=μ,這與λ與μ互異矛盾,從而須有xnyn=0;

    ④若xn=yn=0,則an解不唯一,為確保解的唯一性,需要求xn,yn不同時(shí)為零.

    綜上,當(dāng)xnyn=0且xn,yn不同時(shí)為零時(shí),an有唯一解,解得:

    (33)

    綜上所述,對問題A,給出如下定理:

    定理 如果以下條件滿足:

    (Ⅰ)Di≠0,(i=1,2,…,n-1);

    (Ⅱ)xnyn=0且xn,yn不同時(shí)為零.

    則問題A有解,且

    (34)

    (35)

    (36)

    (37)

    (38)

    (39)

    (40)

    (41)

    2 數(shù)值例子

    c1=b0=0,c2=b1=2,c3=b2=1;

    [1]李志斌,趙鑫鑫,李偉.廣義Jacobi矩陣特征值反問題[J].大連交通大學(xué)學(xué)報(bào), 2008,29(4):6- 10.

    [2]戴華,姚承勇.Jacobi矩陣逆特征問題解存在的條件[J].高等學(xué)校計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2003,25(1):40- 49.

    [3]哈里曼.關(guān)于矩陣特征值正反問題的應(yīng)用背景[J].新疆大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 1997(4):26- 35.

    [4]WEIWEIGU,ZHIBINLI.GeneralizedInverseEigenvalueProblemforGeneralizedSnow-LikeMatrices[C].2012InternationalConferenceonComputationalandInformationSciences(ICCIS2012),Chongqing,2012:662- 664.

    Inverse Eigenvalue Problem for a Class of Triangular Matrices

    LI Shuai,LI Zhibin

    (School of Mathematics and Physics,Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,China)

    The eigenvalue of the a class of upper triangular matrix of odd order is studied,and the feature of existence and uniqueness of matrix via two given two characteristic pairs (λ,x),(μ,y)isdiscussed.Furthermore,thesolutionisbuilt,andexpressionisprovidedundersatisfiedconditions.Thefeasibityofthecalculationisexanimatedbyanumericalexample

    triangular matrix;eigenvalue;inverse problem

    1673- 9590(2015)01- 0112- 03

    2014- 03- 10

    國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61273022)

    李帥(1988-),男,碩士研究生;李志斌(1960-),教授,碩士,主要從事矩陣特征值反問題的研究

    E-mail:lishuai1988214ky@163.com.

    A

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