G′／G展開法在Riccati方程中的應(yīng)用

魏帥帥，李凱輝，劉漢澤

（聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東聊城 252059）

G′／G展開法在Riccati方程中的應(yīng)用

魏帥帥，李凱輝，劉漢澤

（聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東聊城 252059）

通過齊次平衡原理和G′／G展開法對Riccati方程進(jìn)行求解，得到了滿足一定條件的Riccati方程的G′／G解。擴大了對Riccati方程的研究成果，擴展了G′／G展開法的應(yīng)用。

齊次平衡原理；G′／G展開法；Riccati方程；精確解

0 引言

由于非線性變系數(shù)發(fā)展方程可以描述許多非均勻介質(zhì)的物理現(xiàn)象，因此，這些方程的求解近年來得到了人們的廣泛關(guān)注［1］。非線性變系數(shù)發(fā)展方程往往比非線性常系數(shù)發(fā)展方程具有更廣泛的物理意義，所以尋求非線性變系數(shù)發(fā)展方程的解具有重要意義［2］。本文研究如下形式的Riccati方程：

其中：P（x）、Q（x）、R（x）是連續(xù)的函數(shù)。

Liouville在1841年已經(jīng)證明：Riccati方程沒有初等解法［3］，但是如果能找到Riccati方程的一個特解，再通過初等變換，可求出方程的通解。許多文獻(xiàn)對Riccati方程的特解進(jìn)行了研究［4－5］，但本文并沒有從求其特解這方面入手，而是用G′／G展開法［6－17］和齊次平衡原理［18－19］對Riccati方程進(jìn)行了研究，得到滿足一些條件的Riccati方程［20］具有G′／G解，并列舉一些特例。然后對一些特例進(jìn)行了驗證，并求出其精確解。

1 Riccati方程G′／G解的存在性

其中：G＝G（x）并且滿足二階線性常微分方程

把式（3）、式（5）和式（6）代入式（2）后，平衡最高階導(dǎo)數(shù)項和最高階次數(shù)項得到m＝1。那么，可設(shè)

2 求解舉例

對于上面列舉的一些例子，下面針對其中2個求出其精確解，具體過程如下。

例1如下方程：

把式（4）、式（19）和式（20）代入式（18）可以得到如下形式的解：

其中：C1和C2是任意的常數(shù)。

其中：C1和C2是任意的常數(shù)。

3 結(jié)論

開法求解有很大的便利性和發(fā)展前景。利用Lie群分析，可以將非線性發(fā)展方程約化為常微分方程，其中有些約化方程即為Riccati方程，這樣，利用本文的方法，可以求出某些Riccati方程的解，從而得到非線性發(fā)展方程的解。因此，本文的方法在求解非線性發(fā)展方程中也起著重要的作用。

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O175.2

A

1672－6871（2015）05－0092－05

國家自然科學(xué)基金項目（11171041）

魏帥帥（1991－），男，山東濟寧人，碩士生；劉漢澤（1962－），男，山東濱州人，教授，博士，碩士生導(dǎo)師，研究方向為微分方程理論與應(yīng)用.

2015－03－25