Robin型無窮多點邊值問題正解的存在性

覃仕霞， 羅圓

(1.成都信息工程學院應用數(shù)學學院， 成都610225；2.西南交通大學土木工程學院， 成都610031)

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Robin型無窮多點邊值問題正解的存在性

覃仕霞1， 羅圓2

(1.成都信息工程學院應用數(shù)學學院， 成都610225；2.西南交通大學土木工程學院， 成都610031)

常微分方程；Robin型無窮多點邊值問題；等價積分方程；正解；不動點定理

引言

常微分方程多點邊值問題對應用數(shù)學、流體力學及彈性理論等領(lǐng)域的發(fā)展都具有非常重要的作用，關(guān)于其正解存在性的討論，已成為該領(lǐng)域的一個研究熱點[1-9]。2009年，馬如云[10]等研究無窮多點邊值問題：

并且得到了f在超線性或次線性增長條件下的正解存在性結(jié)果。2010年，LuoY[11]等又證明了f在更一般的條件下，上述二階非線性無窮多點邊值問題至少存在一個正解。但關(guān)于Robin型無窮多點邊值問題可解性的討論，還未見相關(guān)報道。

本文運用錐上不動點定理，討論了Robin型無窮多點邊值問題：

(1)

(2)

下正解的情況。通過借助線性方程

u″+a(t)u′+b(t)u=0

(3)

的特解構(gòu)造新的Green函數(shù)，進而證明了問題(1)等價于一個簡單積分方程，然后通過研究此積分方程討論原邊值問題是否存在正解。本文的主要結(jié)果改進和推廣了Robin型邊值問題以及無窮多點邊值問題的相關(guān)結(jié)果。

1 相關(guān)引理

本文假設(shè)：

的唯一正解。

(H2)f:[0,∞)->[0,∞)是連續(xù)函數(shù)，h∈C([0,1],[0,∞))并且存在x0∈(0,1)，使得h(x0)>0。

(H3)a∈C[0,1],b∈C([0,1],(-∞,0))。

本文的主要工具是錐上不動點定理。設(shè)K是實Banach空間，并且

其中，0

引理2[13]假設(shè)(H3)成立，設(shè)φ1和φ2分別是線性問題

(4)

和

(5)

的解，則

(1)φ1為[0,1]上的不減函數(shù)，且φ1>0在[0,1]上。

(2)φ2為[0,1]上的嚴格減函數(shù)。

(3)φ2′(0) < 0。

并且問題(4)和(5)均有唯一解。

引理3[14]設(shè)x1(t),x2(t),…xn-1(t),xn(t)是方程

引理4設(shè)(H1)～(H3)成立，則問題(1)等價于積分方程

(6)

其中

(7)

(8)

(9)

ρ= -φ1(0)φ2′(0)

(10)

證明為了方便，令y(t)=h(t)f(u(t))。首先，設(shè)u(t)是方程(1)的一個解，驗證它可以由(6)式表示。由引理2可知，線性方程u"+a(t)u′+b(t)u=0有兩個線性無關(guān)的解φ1和φ2，因為

所以可以采用常系數(shù)變易法，令

再利用引理3得到

(11)

于是將方程(1)的通解表示為：

(12)

其中，c1和c2為常數(shù)。

再把c1和c2代入(12)式并注意到u(1)=A,ρ=-W(0)，化解即可得到

其次，驗證由式(6)定義的u(t)是問題(1)的解。由于

對式兩邊分別對t求導，可推出

把u(t)、u′(t)和u″(t)的表達式以及等式(11)代入u″+a(t)u′+b(t)u中，并利用引理3有

u″+a(t)u′+b(t)u=

A(φ″1(t)+a(t)φ1′(t)+b(t)u(t))=

A(φ″1(t)+a(t)φ1′(t)+b(t)u(t))=

-y(t)+A(φ″1(t)+a(t)φ1′(t)+

b(t)u(t))=y(t)

驗證u(t)滿足問題(1)的邊界條件。由于

那么

綜上所述，(6)式定義的u(t)是問題(1)的解，證畢。

(13)

令

由引理2知，φ1(t)是a≤t≤b上的不減函數(shù)，φ2(t)是a≤t≤b上的嚴格減函數(shù)，所以有

令M=min{M0,φ1(a)}，那么

G(t,s)≥MG(s,s),a≤t≤b,0≤s≤1

(14)

因此，構(gòu)造由非負函數(shù)構(gòu)成的錐

(15)

定義算子T:C[0,1]→C[0,1]：

(16)

由引理4，邊值問題(1)有解當且僅當T在[0,1]上至少有一個不動點。

引理5(ⅰ)TK?K；(ⅱ)T是全連續(xù)算子。

證明引理5(ⅰ)由式(13)和引理2可得，G(t,s)≤G(s,s)。因為

所以，

又由式(14)可知

故，Tu∈K并且TK?K。

(ⅱ)不難驗證T:K→K是全連續(xù)的，這里不再贅述。

2 主要結(jié)果

定理1如果(H1)、(H2)和(H3)成立，并且f滿足下面兩個條件之一

其中

則，問題(1)至少有一個正解。

證明由引理4，只需證明T在[0,1]上有一個不動點，再根據(jù)引理5，T:K→K是全連續(xù)的。證明T滿足引理1的其余部分：

(17)

令φ(t)=1,?t∈[0,1]，那么φ∈?K1。證明

u≠Tu+λφ,u∈?KR,λ>0

(18)

假設(shè)式(18)不成立，那么存在λ0使得u0=Tu0+λ0φ。令δ=min{u0(t):a≤t≤b}，由式(17)可知，δ≥η，并且

即δ≥δ+λ0，矛盾。

u≠Tu+λφ,u∈?KR,λ>0

假設(shè)該式不成立，那么存在λ0和u0∈?KR使得u0=Tu0+λ0φ。令δ=min{u0(t):a≤t≤b}，則可以推出

u0=Tu0+λ0φ=

即δ≥δ+λ0，矛盾。證畢。

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Beingness of the Positive Solutions for ∞-Point Boundary Value Problems of Robin Type

QINShixia1,LUOYuan2

(1.College of Applied Mathematics, Chengdu University of Information Technology, Chengdu 610225, China; 2.School of Civil Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

The existence of positive solutions for the second order ∞-point boundary value problems of Robin type was discussed through using the fixed point theorem in cone. Firstly, the special solution of a linear equation was used to construct a new Green function, and then, the differential equation of the ∞-point boundary value problems of Robin type was proved that it is equivalent to a simple integral equation. Finally, the integral equation was studied through using the fixed point theorem and the ∞-point boundary value problems of Robin type mentioned above was derived that there at least exists one positive solution if the condition of 0≤f+0

ordinary differential equation; ∞-point boundary value problems of Robin type; equivalence integral equation; positive solutions; fixed-point theory

2015-05-14

國家自然科學基金項目(11171046)

覃仕霞(1985-)，女，湖南常德人，助教，碩士，主要從事應用數(shù)學方面的研究，(E-mail)shixiaq@cuit.edu.cn

1673-1549(2015)03-0090-06

10.11863/j.suse.2015.03.19

O29

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