數(shù)控滾齒機(jī)幾何誤差補(bǔ)償技術(shù)研究

韓 江， 王國權(quán)， 夏 鏈， 田曉青， 吳 濤

（合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，安徽 合肥 230009）

齒輪是重要基礎(chǔ)件，數(shù)控滾齒機(jī)作為主要的齒輪加工工作“母機(jī)”，其精度決定了齒輪的加工精度。影響數(shù)控滾齒機(jī)加工精度的誤差元素主要有幾何誤差、力致誤差和熱致誤差［1］，幾何誤差是機(jī)床原始制造誤差引起的系統(tǒng)性誤差，其在機(jī)床因素中所占比例較大，為20%～30%。因此，研究分析數(shù)控滾齒機(jī)的幾何誤差特性并對其進(jìn)行補(bǔ)償，對提高最終的齒輪精度具有十分重要的意義。

關(guān)于數(shù)控機(jī)床的誤差補(bǔ)償技術(shù)，國內(nèi)外眾多學(xué)者都作了相關(guān)的研究。文獻(xiàn)［1－2］基于多自由度激光光學(xué)系統(tǒng)在線測量技術(shù)對機(jī)床的幾何誤差進(jìn)行了補(bǔ)償，利用機(jī)器人運(yùn)動學(xué)原理，得到多軸數(shù)控機(jī)床的幾何和熱誤差綜合模型，并通過實(shí)時(shí)誤差補(bǔ)償提高了機(jī)床加工精度。文獻(xiàn)［3］提出了基于3D探頭檢測五軸數(shù)控機(jī)床空間精度的方法，該方法既可以測量五軸機(jī)床移動軸的誤差，又可以測量旋轉(zhuǎn)軸的誤差；文獻(xiàn)［4］用齊次坐標(biāo)變換原理推出了加工中心的幾何和熱誤差綜合模型，并且實(shí)現(xiàn)了補(bǔ)償。

本文基于多體系統(tǒng)理論研究分析數(shù)控滾齒機(jī)的幾何誤差，得到了幾何誤差模型；并通過激光干涉儀的12線法［5］測量辨識出了滾齒機(jī)床移動軸的21項(xiàng)誤差元素，通過球桿儀測量辨識出轉(zhuǎn)動軸的12項(xiàng)誤差元素；最后，將辨識出的結(jié)果代入誤差模型得到各軸獨(dú)立的誤差補(bǔ)償量并疊加到控制系統(tǒng)實(shí)施補(bǔ)償。

1 幾何誤差模型的建立與解耦

建立準(zhǔn)確的幾何誤差模型是機(jī)床誤差辨識和補(bǔ)償?shù)幕A(chǔ)。目前三角幾何法、神經(jīng)網(wǎng)格法和誤差矩陣法等方法［6］能夠用于幾何誤差模型的建立，但只有多體系統(tǒng)理論法綜合考慮了復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)間的相互關(guān)系，并能夠解決誤差建模的準(zhǔn)確性、通用性和自動化問題［7］。因此本文以多體系統(tǒng)理論［8］為基礎(chǔ)來建立數(shù)控滾齒機(jī)幾何誤差模型。數(shù)控滾齒機(jī)物理結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示。

圖1 數(shù)控滾齒機(jī)結(jié)構(gòu)簡圖

依據(jù)多體系統(tǒng)理論建立的相鄰體間的運(yùn)動關(guān)系特征矩陣Tjk的表達(dá)式［9］為：

其中，Tjk，p為相鄰體位置特征矩陣；Tjk，pe為相鄰體位置誤差特征矩陣；Tjk，s為相鄰體位移特征矩陣；Tjk，se為相鄰體位移誤差特征矩陣。

對數(shù)控滾齒機(jī)各相鄰體進(jìn)行特征矩陣的求解，最終得到幾何誤差模型的表達(dá)式為：

其中，δx、δy、δz分別表示刀具坐標(biāo)系相對工件坐標(biāo)系沿x、y、z軸的移動位移誤差；εx、εy、εz分別為刀具坐標(biāo)系相對工件坐標(biāo)系繞x、y、z軸的旋轉(zhuǎn)角度誤差。

采用變微分法對得到的幾何誤差模型進(jìn)行解耦［10］，得到機(jī)床各軸的誤差補(bǔ)償量為：

其中，α為加工斜齒輪時(shí)滾刀的安裝角；θC為工件旋轉(zhuǎn)角度；θB為滾刀的旋轉(zhuǎn)角度；L為刀具坐標(biāo)系相對工件坐標(biāo)系在x方向的偏離距離。

2 幾何誤差元素辨識

2.1 移動軸幾何誤差辨識

數(shù)控滾齒機(jī)共有x、y、z軸3個(gè)移動軸。本文選擇激光干涉儀的12線法對其進(jìn)行測量辨識，12線法測量3個(gè)移動軸21項(xiàng)幾何誤差的測量示意圖如圖2所示，選取測量空間為135mm×45mm×410mm。

圖2 12線法測量示意圖

2.1.1 定位誤差的辨識

數(shù)控滾齒機(jī)共有δx（xi）、δy（yi）及δz（zi）3個(gè)定位誤差。用激光干涉儀分別測出圖2中線1、2、3所示方向的位移誤差，設(shè)測量起始點(diǎn)均為（0，0，0），終點(diǎn)分別為（xi，0，0）、（0，yi，0）和（0，0，zi）。位移誤差即為定位誤差，計(jì)算公式如下：

其中，ΔLi為理想與實(shí)際距離之差，即位移誤差。

2.1.2 顛擺和偏擺誤差的辨識

數(shù)控滾齒機(jī)顛擺和偏擺誤差有：εx（yi）、εx（zi）、εy（xi）、εy（zi）、εz（xi）、εz（yi）。分別沿圖2中線4～9每隔一定距離測量其位移誤差值，并結(jié)合已獲得的定位誤差值，即可解得顛擺和偏擺誤差，具體計(jì)算公式為：

2.1.3 直線度誤差的辨識

數(shù)控 滾 齒 機(jī) 共 有δy（xi）、δz（xi）、δx（yi）、δz（yi）、δx（zi）、δy（zi）6個(gè)直線度誤差，直線度誤差可以通過建立其與對應(yīng)軸的偏擺和顛擺角度誤差的關(guān)系獲得，即

其中，Pu（vi）（u，v＝x，y，z且u≠v）為前i個(gè)測量點(diǎn)的偏擺誤差或顛擺誤差的積分，且這2種誤差均可表示成測量點(diǎn)vi的n次多項(xiàng)式，n由擬合精度確定［11］。最佳擬合積分Pu（vi）的直線Lu（vi）的計(jì)算公式為：

基于最小二乘法擬合所得系數(shù)a、b的計(jì)算公式為：

2.1.4 滾擺誤差和垂直度誤差的辨識

數(shù)控滾齒機(jī)共有εx（x）、εy（y）、εz（z）3個(gè)滾擺誤差和Sxy、Syz、Sxz3個(gè)垂直度誤差。分別沿圖2中的線10～12每隔一定距離測量其位移誤差值，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，從中分離辨識出3個(gè)滾擺誤差和垂直度誤差如下：

2.2 旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差測量與辨識

數(shù)控滾齒機(jī)共有工件軸C和刀具軸B 2個(gè)旋轉(zhuǎn)軸。由于數(shù)控滾齒機(jī)旋轉(zhuǎn)軸的特定結(jié)構(gòu)，其與五軸數(shù)控機(jī)床以及其他類數(shù)控機(jī)床旋轉(zhuǎn)軸幾何誤差辨識方法有所不同，因此，本文以C軸為例，提出一種新的球桿儀分離辨識6項(xiàng)誤差元素δx（θC）、δy（θC）、δz（θC）、εx（θC）、εy（θC）及εz（θC）的方法。刀具軸B辨識方法與C軸類似。球桿儀的測量安裝示意圖如圖3所示。設(shè)初始狀態(tài)P點(diǎn)的齊次坐標(biāo)為［L0H

圖3 C轉(zhuǎn)臺球桿儀測試安裝示意圖

1］T，C轉(zhuǎn)臺回轉(zhuǎn)角度為αC，在理想狀態(tài)下P點(diǎn)的坐標(biāo)為：

實(shí)際情況下，當(dāng)C轉(zhuǎn)臺作回轉(zhuǎn)運(yùn)動時(shí)會產(chǎn)生位移誤 差δx（θC）、δy（θC）、δz（θC）和 轉(zhuǎn) 角 誤 差εx（θC）、εy（θC）、εz（θC），因此其誤差變換矩陣為：

由于誤差的存在，P點(diǎn)實(shí)際坐標(biāo)為：

實(shí)際坐標(biāo)與理論坐標(biāo)之差為：

測量過程中，設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為測量時(shí)保持理論桿長l0不變，則有：

測量中先選取一組測量組合L和H，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角度為αi時(shí)，任取一個(gè)值y1，求得對應(yīng)的z1，連續(xù)取3次，得到y(tǒng)1、z1，y2、z2，y3、z3。編制程序，控制主軸按上述3個(gè)位置運(yùn)動，即可得到3個(gè)桿長變化量。測量過程如圖4所示。

圖4 球桿儀測量示意圖

當(dāng)球桿儀每處于1個(gè)位置時(shí)，記錄球心A和P的坐標(biāo)。假設(shè)軸3個(gè)方向的夾角為A、B、C，則測量中心座球心A在x＝x0平面3個(gè)不同的位置，可得：

其中，ΔLi為球桿儀桿長變化量；Δx、Δy和Δz分別為x、y、z方向理想坐標(biāo)與實(shí)際坐標(biāo)之差。由（15）式可得出Δx、Δy和 Δz的值，即為（13）式矩陣中的值。通過3次改變L和H的不同組合值得到3種不同的測量模式，聯(lián)立方程最終可以解出C轉(zhuǎn)臺所有的6項(xiàng)誤差元素，公式如下：

3 幾何誤差補(bǔ)償

誤差補(bǔ)償實(shí)施是通過移動數(shù)控機(jī)床上的運(yùn)動副以使刀具與工件在機(jī)床空間誤差的逆方向上有一相對運(yùn)動而實(shí)現(xiàn)的。目前主要有2種面向數(shù)控（computer numerical control，CNC）滾齒機(jī)型的補(bǔ)償策略，即反饋中斷法和原點(diǎn)平移法［12］。反饋中斷法是將空間誤差補(bǔ)償信號插入伺服系統(tǒng)的反饋環(huán)中以實(shí)現(xiàn)補(bǔ)償，不需要改變CNC控制軟件，但需要特殊的電子裝置。原點(diǎn)平移法是將空間誤差量作為補(bǔ)償信號送至CNC控制器，通過I／O口平移控制系統(tǒng)的參考原點(diǎn)以實(shí)現(xiàn)誤差補(bǔ)償，不影響執(zhí)行的工件程序，但要修改CNC控制器中的PLC程序。

數(shù)控機(jī)床幾何誤差補(bǔ)償?shù)挠行?shí)施不僅取決于準(zhǔn)確的誤差模型和合適的辨識方法，還要有適應(yīng)所開發(fā)系統(tǒng)的補(bǔ)償機(jī)制。針對數(shù)控滾齒機(jī)，本課題組基于ARM＋DSP＋FPGA嵌入式平臺，開發(fā)了擁有完全自主知識產(chǎn)權(quán)的滾齒數(shù)控系統(tǒng)，ARM內(nèi)嵌Windows CE操作系統(tǒng)主要完成豐富的人機(jī)交互功能。其中，ARM為RISC微處理器；DSP為數(shù)字信號處理器；FPGA為現(xiàn)場可編程門陣列。

DSP主要完成系統(tǒng)的復(fù)雜運(yùn)算和實(shí)時(shí)控制功能，如插補(bǔ)、位控等。ARM和DSP之間通過HPI（host port interface）高速并行總線交換數(shù)據(jù)，實(shí)現(xiàn)前后臺通信的協(xié)調(diào)。FPGA網(wǎng)絡(luò)主機(jī)是一座“數(shù)據(jù)橋梁”，負(fù)責(zé)上層CPU與下層網(wǎng)絡(luò)鍵盤板、網(wǎng)絡(luò)I／O接口板等從機(jī)節(jié)點(diǎn)之間包括運(yùn)動控制命令、鍵盤指示燈信息在內(nèi)的數(shù)據(jù)交換。本文提出以下幾何誤差補(bǔ)償策略。

首先通過激光干涉儀和球桿儀在離線情況下測得與誤差參數(shù)相關(guān)的幾何誤差元素，再通過專門的輸入輸出接口將運(yùn)動位置信號送入PC機(jī)。在PC機(jī)內(nèi)，將測得的誤差值經(jīng)參數(shù)辨識后傳入幾何誤差元素?cái)?shù)據(jù)庫，給各誤差元素賦值，再根據(jù)事先建立的綜合數(shù)學(xué)模型計(jì)算刀具相對工件的誤差，然后對誤差模型進(jìn)行解耦和離散化處理得到各軸獨(dú)立的誤差補(bǔ)償量，送至CNC控制器輸入模塊實(shí)施補(bǔ)償。數(shù)控滾齒機(jī)幾何誤差補(bǔ)償策略如圖5所示。

圖5 數(shù)控滾齒機(jī)幾何誤差補(bǔ)償策略

在本系統(tǒng)中，由于DSP要完成復(fù)雜的運(yùn)算和實(shí)時(shí)控制，為了避免給DSP增加負(fù)擔(dān)，在ARM平臺上進(jìn)行幾何誤差補(bǔ)償軟件的開發(fā)，并利用ARM在界面開發(fā)上的優(yōu)勢對誤差補(bǔ)償過程進(jìn)行控制，如觀察補(bǔ)償狀況等。在ARM內(nèi)部，考慮到補(bǔ)償?shù)姆奖阈院秃啙嵭裕谄渲械木幾g環(huán)節(jié)實(shí)施補(bǔ)償。補(bǔ)償界面如圖6所示。

圖6 誤差補(bǔ)償界面

在具體的誤差補(bǔ)償過程中，考慮到機(jī)床響應(yīng)的速度以及運(yùn)行的精度和平穩(wěn)性，對各運(yùn)動軸取一系列離散點(diǎn)進(jìn)行補(bǔ)償，然后將實(shí)測的誤差補(bǔ)償點(diǎn)列成誤差修正表存入計(jì)算機(jī)，當(dāng)機(jī)床的的實(shí)際變量與誤差修正表中的某一數(shù)據(jù)點(diǎn)相同時(shí)，通過查表取出該點(diǎn)的誤差修正量，進(jìn)行誤差修正。

4 結(jié)束語

本文在建立的數(shù)控滾齒機(jī)幾何誤差模型的基礎(chǔ)上，基于激光干涉儀的12線法辨識出了移動軸的21項(xiàng)誤差元素，并通過球桿儀將回轉(zhuǎn)軸的12項(xiàng)誤差元素辨識出來。這種辨識方法與其他方法相比，具有測量更簡單、限制條件更少以及測量設(shè)備少等特點(diǎn)。最后基于本課題組所開發(fā)的數(shù)控滾齒系統(tǒng)，提出了適合本系統(tǒng)的幾何誤差補(bǔ)償策略。隨著高性能高精度數(shù)控機(jī)床的不斷發(fā)展，本文辨識和補(bǔ)償技術(shù)對齒輪加工精度的提高具有一定的理論與實(shí)際意義。

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