基于CGCS2000橢球的子午弧長正算

甘夢仙，胡 鵬，亢瑞紅

（1.池州學院 資源環(huán)境與旅游系，安徽池州 247000；2.安徽新華學院 土木與環(huán)境工程學院，安徽合肥230088；3.安徽大學 資源與環(huán)境工程學院，安徽合肥230601）

大地測量外業(yè)的成果是以鉛垂線和大地水準面作為基準線和基準面，內業(yè)計算時需要的參考基準是法線和參考橢球面。因此，要得到內業(yè)的成果，需要將外業(yè)測量數據計算和轉換，這一工作稱為大地測量計算。子午線弧長在測量計算時經常會用到，如研究高斯投影計算、弧度測量計算。

2000國家大地坐標系是我國新一代地心坐標系統(tǒng)，自2008年開始啟用。目前的大地測量學和控制測量學等相關教科書上，橢球子午弧長等公式、算例均是基于Krassovsky橢球和IAG-75國際橢球參數。原有的教學內容已不能滿足2000國家大地坐標系下橢球面上的測量計算要求。因此，為了與原有坐標承接，確保測繪教學內容實時更新，給出新坐標系下的子午弧長正反算公式十分有必要。李海祥[1]將子午線弧長積分公式按e2展開至e16項，實現高精度的子午線弧長解算；劉仁釗[2]根據二項式定理及三角函數積分遞推關系導出弧長積分任意精度的公式；過家春等[3]采用橢圓第二類積分方法實現了弧長的解算，完善了子午線弧長理論。本文在國家高精度子午弧長正算公式的基礎上，給出的新坐標系下子午弧長正算實用公式，原理簡單、計算簡便。計算結果與文獻[1]和文獻[2]（以下簡稱迭代算法和遞歸算法）方法的結果進行比較，得出結論。

1 橢球基本參數簡介

2000國家大地坐標系的地球橢球參數與克拉索夫斯基橢球、IAG-75國際橢球、WGS-84橢球體的參數列表如下：

表1 常用地球橢球參數

2 子午弧長正算實用公式

根據國家測繪局《現有測繪成果轉換到2000國家大地坐標系技術指南》（下面簡稱“指南”）的規(guī)定，子午弧長計算公式各系數精度有所變動。

設有子午線上一點p，其大地緯度為B，則該點至赤道的子午線弧長X計算公式：

式中

為方便編程計算，令t=tanB，將上式倍角函數化簡為冪級數：

其中：

第一偏心率是小于1的數，上式e的10次項以上對結果的影響小于0.0001m，因此可將上式保留8次項即可：

上式（3）為CGCS2000橢球子午弧長計算的實用公式。

3 實例計算與分析

將格拉索夫斯基橢球參數代入式（3），以MATLAB編程計算，結果與已有兩種算法（迭代與遞歸）作對比分析[5-8]，解算結果如表2。

表2 子午弧長計算結果

由上表可以看出，以子午線弧長實用公式計算的子午線弧長可保留0.001項的精度，可達到mm級，滿足工程控制測量的精度要求。MATLAB編程計算時，在同等運算精度條件下，e的10次及以上的項對結果的精度影響可以忽略不計。為便于學生手工計算或電算，將適于CGCS2000的子午線弧長實用計算式表示如下：

我國的大地測量計算中還會用到原來采用過的橢球參數，以下是控制測量學教科書中未列出CGCS2000橢球的實用計算式：

WGS-84橢球子午線弧長計算式與我國CGCS2000計算式在主項上基本一致，本文不列出；如有需要計算的，請參照CGCS2000計算式解算。

4 結論

計算表明，該方法簡便實用，方便學生和測繪工作者手算和電算，可作為教學和學習的參考。文中特色之處在于將子午弧長正算的精密公式改進為方便實用的計算式，并補充了相關教材缺少的CGCS2000子午弧長計算的示例。至于子午弧長的反算及其在高斯投影垂足緯度的計算問題將是下一步研究的內容。

[1]李海祥，張偉國.高精度任意元素橢球面子午線長度的正反算[J].測繪與空間地理信息，2013（5）:179-181，184.

[2]劉仁釗，伍吉倉.任意精度的子午線弧長遞歸計算[J].大地測量與地球動力學，2007（5）:59-62.

[3]過家春，趙秀俠，徐麗，等.基于第二類橢圓積分的子午線弧長公式變換及解算[J].大地測量與地球動力學，2011（4）:94-98.

[4]孔祥元，郭際明，劉宗泉.大地測量學基礎[M].武漢:武漢大學出版社，2010：114-120．

[5]覃軍，駱奇峰.在Excel中實現統(tǒng)一橢球的高斯投影正反算[J].測繪與空間地理信息，2009（2）:205-208.

[6]趙英志，劉永濤，鄭玉軍.利用VB6.0實現2000國家大地坐標系高斯正反算程序的編寫[J].測繪通報，2010（5）:38-41.

[7]劉修善.計算子午線弧長的數值積分法[J].測繪通報，2006（5）:4-6.

[8]過家春.基于第二類橢圓積分的子午線弧長反解新方法[J].大地測量與地球動力學，2012（3）:116-120.