WXL插值樣條

王修禮

【摘要】不采用x作為自變量而采用間接參數(shù)t作插值函數(shù)，計算型值點權(quán)重，得到一種新的插值方法，WXL插值樣條，由連續(xù)4個型值點得出中間一段唯一的插值結(jié)果，型值點不受單調(diào)增加限制，插值通過給定型值點且一階導數(shù)連續(xù)，平面上4個型值點循環(huán)插值可以得到一光滑橢圓形曲線，在水輪機等效率曲線繪制使用得到比較理想的效果.

【關(guān)鍵詞】分段插值;通過型值點; 一階導數(shù)連續(xù);新插值樣條;光滑連續(xù)曲線;繪制特性曲線

引 言

在水輪機能量性能試驗中，要通過計算機自動繪制出等效率曲線及其他性能曲線.通過試驗可以得到一系列等效率點數(shù)據(jù)，繪成曲線有的是開放的有的是閉合的.對于繪制閉合曲線的基本要求是：

1.插值點通過所有給定的型值點，在型值點處不產(chǎn)生誤差;

2.型值點不受單調(diào)增減的限制，可以形成閉合曲線;

3.一階導數(shù)連續(xù)，保證曲線的光滑性.

4.曲線的凹凸性符合型值點趨向.

在插值計算中，有多種方法，如多項式插值、Hermite插值、樣條插值、有理B樣條插值等，都采用x作為自變量進行計算，采用函數(shù)就會遇到自變量x單調(diào)增加或單調(diào)減少的限制，有時不得不采用分段進行插值.現(xiàn)在常用的Hermite 三次樣條可以進行開放曲線的插值，但受到單調(diào)增減的限制;有理B樣條插值，可以得到光滑的曲線，但不是每個型值點都通過.有許多文獻介紹了不同的插值方法，但得到的曲線形狀都不是太理想.基于以上要求和現(xiàn)行的插值方法，希望從不同的角度找出一種新插值方法，以滿足要求，且不需要太大的計算量.

一、新插值樣條——WXL插值樣條

1.采用樣條進行插值，且自變量不是x，而是采用間接變量t，[0≤t≤1]，給出t的插值函數(shù)，對插值點的x 和y分別計算出各型值點的x和y的權(quán)重，得到所插點的x和y值.

2.給定4個連續(xù)型值點，確定中間一段插值，該段插值與其他點無關(guān).

3.滿足引言中提到的4項基本要求.

通過長時間（從1996年開始考慮）的探討和改進，終于找到了一種間接插值函數(shù).

給定點： P（i）=[X（i），Y（i）]，i=1，2，3，….

插值點：SP（i）=[SX（i），SY（i）]，i=1，2，3，…，S.

SX（i）為點P（i+1）到點P（i+2）之間的X插值.

SY（i）為點P（i+1）到點P（i+2）之間的Y插值.

插值函數(shù)表達式為：

SX（i）=∑i=4i=1Ri* X（i），i=1，2，3，4.（1）

SY（i）=∑i=4i=1Ri* Y（i），i=1，2，3，4.（2）

其中Ri為插值因子函數(shù)，是WXL插值樣條的關(guān)鍵.

Ri=fi（t），i=1，2，3，4.

對于X和Y都采用相同的插值fi（t）.

具體的插值函數(shù)fi（t）的表達式暫不列出.給出Ri隨t的變化規(guī)律見圖1.

圖1 Ri/Rimax隨T的變化規(guī)律

二、WXL插值樣條的使用

給定M個型值點P（i）后，用WXL插值樣條進行插值計算時，由于是每4個型值點確定中間一段插值，插值段數(shù)比給定的型值點數(shù)少兩個，還需求補充兩個邊界條件才能完成整個曲線插值.遇到的兩種情況，采用不同的處理方法.

1.給出的型值點要求完成的插值曲線是開放式的.將給定的M個型值點的第一個和最后一個進行雙重處理，得到（M+2）個型值點，進行插值后得到M段插值，完成整個插值曲線.

即：給定的型值點為：

P[X（0），Y（0）]，P[X（1），Y（1）]，P[X（2），Y（2）]，…，P[X（i），Y（i）]，…，P[X（M），Y（M）]，共M個點.經(jīng)以上處理后變?yōu)椋?/p>

P[X（0），Y（0）]，P[X（0），Y（0）]，P[X（1），Y（1）]，P[X（2），Y（2）]，…，P[X（i），Y（i）]，…，P [X（M），Y（M）]，P [X（M），Y（M）]，共（M+2）個點.

3.給出的型值點要求完成的插值曲線是閉合式的.在給定的M個型值點的第一個之前加進最后一個型值點;在最后一個之后加進第一個型值點，得到（M+2）個型值點，進行插值后得到M段插值的閉合曲線.給定的型值點為：

P[X（0），Y（0）]，P[X（1），Y（1）]，P[X（2），Y（2）]，… P[X（i），Y（i）]，…

P[X（M），Y（M）].共M個點.經(jīng)處理后變?yōu)椋?/p>

P [X（M），Y（M）]，P[X（0），Y（0）]，P[X（1），Y（1）]，P[X（2），Y（2）]，… P[X（i），Y（i）]，… P [X（M），Y（M）]，P[X（0），Y（0）].共（M+2）個點.

三、WXL插值樣條的性質(zhì)

1.連續(xù)性

插值因子函數(shù)Ri=fi（t），i=1，2，3，4，為連續(xù)函數(shù)，改變間接變量t的步長可以得到所需要的插值點數(shù).

2.過型值點

從插值因子值表1可以得出，在某一插值段插值結(jié)束時，即t=1時，R3=1，其他因子值均為0，插值為該段第三點的值;而在隨后的插值段值插開始時，即t=0時，R2=1，其他因子值均為0，插值為第二點的值，也就是上段第三點的值，插值通過該點.

3.唯一性

4個型值點確定唯一一段（中間兩點之間）插值，無論插如多少點，曲線形狀不變.

4.很強的外凸性

通過插值的圖形可以看出圖形有很強的外凸性，這對單調(diào)曲線插值不利，但在作逼近（用梯形面代替積分）計算時有利.

5.權(quán) 性

滿足∑i=4i=1Ri=1.

圖2顯示的是平面上4點，P1（4，3），P2（-4，3），P3（-4，-3），P4（4，-3），通過插值（插入9個點，本文所有插圖都是按9個點插值給出）計算后的橢圓圖形.

圖2 4個型值點插值后的橢圓圖形

6.一階導數(shù)連續(xù)

分別對函數(shù)表達式（1）和（2）對自變量t進行求導，即分別對插值因子函數(shù)Ri對t進行求導，得到一階導數(shù)：

y′=∑i=4i=1 SY′ （i）t/ ∑i=4i=1SX′ （i）t，i=1，2，3，4，….（3）

表2給出根據(jù)插值因子函數(shù)fi（t）的一階導數(shù)計算出的導數(shù)插值因子（每段插值3個點，t的步長為0.25，保留4位小數(shù)）.

通過計算可得，在某一插值段插值結(jié)束時，即t=1時，左導數(shù)與隨后的插值段值插開始時，即t=0時，右導數(shù)相等，斜率值為該點的前后兩點的y增量與x增量之比.這個導數(shù)值是插值方法所希望得到的值.

7.插值不越界

計算可得，結(jié)合在型值點的導數(shù)性質(zhì)，可得由P1（-8，-4），P2（-6，0），P3（2，1），P4（4，-2）所確定的插值P2到P3段，插值點都處于過P2點的直線（斜率與P1和P3連線相同）與過P3點的直線（斜率與P2和P4連線相同）相交點及P2，P3點所形成的區(qū)域內(nèi).見圖3.該性質(zhì)保證插值結(jié)果的穩(wěn)定性，不會造成插值超差.

圖3 插值點在固定區(qū)域內(nèi)

8.與插值方向無關(guān)

給定一系列的型值點，從開始到結(jié)尾插值或從結(jié)尾到開始點插值，得到的結(jié)果完全相同，得到的是唯一的一條插值曲線.

9.二階導數(shù)不連續(xù)

仿照一階導數(shù)的方法求出二階導數(shù)的插值函數(shù)，計算出二階導數(shù)值，在型值點處左右導數(shù)不同，即二階導數(shù)在型值點處不連續(xù).中間插值二階導數(shù)是連續(xù)的.

10.幾何不變性

平移或旋轉(zhuǎn)型值點后，得到的圖形形狀不變，與坐標系的選擇無關(guān).

圖4顯示平面4點，P1（-5，-3），P2（0，6），P3（5，3），P4（0，0），經(jīng)過45°旋轉(zhuǎn)后再平移10，前后形狀對比，圖形本身形狀不變.

圖4 圖形幾何形狀保持不變

11.直線保持性

給定的4個型值點共線，插值段也保持共線.

12.多維插值性

由于是通過間接變量t進行計算，可以同時對多維參數(shù)進行插值.例如在水輪機模型試驗中，同一工況點有單位轉(zhuǎn)速、單位流量、單位功率、效率等多個參數(shù)，要求出在某一效率下的其他參數(shù)值，只要把該效率值所對應的某插值段的t值求出，就可以按該t值計算出其他所有參數(shù)的對應值，不用像以往分別進行效率對各個參數(shù)的插值計算.

四、插值結(jié)果圖形分析

1.平面4點循環(huán)插值圖形與橢圓線的比較

（1）圖2中所得到的插值點與對應橢圓公式（x2/5.5872）2+y2/（4.2426）2=1）的計算點完全相同，并保持橢圓長短軸的坐標方向相同.

（2）計算各點的一階導數(shù)與根據(jù)橢圓公式求導所得的導數(shù)值也完全相同.

（3）但是若增加型值點數(shù)（在橢圓線上的點），得出的插值點值和一階導數(shù)值就不完全與公司計算的相同了，在t=0.5時偏差最大.圖5 顯示在半個橢圓上4個型值點插值后的曲線與橢圓線的對比.

圖5 半橢圓插值（4點）與橢圓線比較

2.與Hermite 三次樣條比較

Hermite三次樣條在現(xiàn)行的插值領(lǐng)域已經(jīng)得到廣泛的使用，但使用中受到一些限制.

（1）Hermite三次樣條每段都是一元三次函數(shù)，型值點必須是單調(diào)增減（或減少），否則計算出錯，遇到型值點返回時，只能采用分段進.

（2）行，這樣在分段點處導數(shù)就不連續(xù)了.而WXL插值樣條是采用間接變量t作自變量，分別對x，y進行計算，型值點可以任意增減.

（3）Hermite三次樣條在給定的型值點較多時，計算量很大，但現(xiàn)在計算機的發(fā)展，這個問題已經(jīng)不困難了.而WXL插值樣條計算量很小，每4個點確定一段插值，計算量不隨型值點的增加而增加.

（4）在型值點出Hermite三次樣條二階導數(shù)連續(xù)，而WXL插值樣條不連續(xù)，但有很強的外凸性.

（5）Hermite三次樣條有時會產(chǎn)生插值越界現(xiàn)象，這對插值計算和不利，越界現(xiàn)象出現(xiàn)的規(guī)律還不好掌握，而WXL插值樣條沒有越界現(xiàn)象，插值穩(wěn)定，是比較理想的.

3.與有理B樣條比較

在AUTOCAD和Excel中都采用有理B樣條，通過控制偏差進行逼近和擬合，優(yōu)點是曲線光滑，不受型值點單調(diào)增減限制，不會產(chǎn)生插值越界現(xiàn)象，缺點是除開始和結(jié)尾兩點外其他點有微小偏差，在中間的插值偏小.取單位圓上的4個坐標軸點，分別用AUTOCAD的“Spline”擬合和用WXL插值樣條插值，兩者比較可以看出，WXL插值樣條與單位圓完全重合，“Spline”擬合的曲線在兩點中間產(chǎn)生偏差，其值與圓的半徑之比為0.0173.圖6表示對比結(jié)果.

圖6 “Spline”擬合線與WXL插值樣條線

五、繪制水輪機等效率曲線

在水輪機模型試驗中，等效率曲線是很重要的，等效率線的繪制是將某一等效率值下的一系列工況點（即對應各個導葉開度下的單位流量和單位轉(zhuǎn)速值）光滑連成曲線.效率的綜合誤差一般為0.25%，等效率線擬合時方法不當，造成的偏差有時會大于綜合誤差.現(xiàn)大多采用Hermite三次樣條分段進行，得到的結(jié)果不是非常理想.圖7是某混流式轉(zhuǎn)輪用現(xiàn)行方法繪制的等效率曲線.

圖7 一混流式轉(zhuǎn)輪等效率曲線

采用WXL樣條對中心三條等效率線進行插值，得到結(jié)果見圖8.

圖8 WXL樣條等效率線

從插值曲線結(jié)果可以看出，在每段的插值點都有外凸的趨向，使得曲線不是很光滑，但總體效果還是比較理想的.

六、在其他領(lǐng)域的使用

由于WXL插值樣條不受型值點走向的限制，曲線光滑連續(xù)，在繪制地圖等高線、計算機圖形仿真、斷面近似逼近計算等都可以采用，相信可以得到比較理想的結(jié)果.

七、結(jié) 語

采用間接變量計算4點權(quán)重進行插值計算的WXL插值樣條，不受型值點單調(diào)增減的限制，具有良好的光滑連續(xù)等優(yōu)良特性，在水輪機綜合特性曲線繪制使用效果理想，可以在許多需要插值計算領(lǐng)域推廣采用.

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