關(guān)于初等函數(shù)概念的若干注記

楊麗霞 徐裕光

【摘要】初等函數(shù)的概念是微積分中重要的基本概念，它的一般定義是“由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次復合步驟所得到的函數(shù)為初等函數(shù)”.但在對待初等函數(shù)這個概念與之相關(guān)的一些問題上，存在一些模糊的認識.本文通過構(gòu)造若干實例討論了這些問題，可供教師教學和學生學習時參考.

【關(guān)鍵詞】初等函數(shù);分段函數(shù);無限次四則運算;無限次復合運算

一、初等函數(shù)與分段函數(shù)

教材[1]在介紹初等函數(shù)概念時斷言“不是用一個式子表示的函數(shù)，就不是初等函數(shù)”.通常，分段函數(shù)在其定義域的各個部分上用對應的解析式表示函數(shù)關(guān)系，有時是不能用一個解析式表示函數(shù)關(guān)系，有時卻是為了使函數(shù)關(guān)系更為明確，才表示為分段函數(shù)的.

例1 f（x）=x ?x≥0，

-xx<0.

函數(shù)f（x）的上述表達式是分段函數(shù)形式，但f（x）的等價表達式

f（x）=x2=x x∈R

卻清楚地表明它是定義在實數(shù)集上的初等函數(shù).

例2 ?g（x）=1 ?x>0，

-1x<0.是定義在上的分段函數(shù).g（x）在R上有一間斷點x=0，但 g（x）的另一等價形式：g（x）=x2x，表明g（x）是初等函數(shù).

例3 函數(shù) D（x）=1 x∈[0，1]且為有理數(shù);

0 x∈[0，1]且為有理數(shù).

它不是初等函數(shù)，并不是因為它是分段函數(shù)，原因在于D（x）在定義區(qū)間[0，1]上處處不連續(xù)，而初等函數(shù)在其定義區(qū)間上應當是連續(xù)的（參見[2]）.

所以，函數(shù)的分段表示并不能用來判斷是否為初等函數(shù)的依據(jù).因函數(shù)的分段表示在數(shù)學問題或其他應用問題中有其特殊的方便之處.如果沒有分段函數(shù)，像D（x）這樣簡單的Lebesgue可測函數(shù)的解析表達就遇到困難了.

二、初等函數(shù)與無限次四則運算

依照初等函數(shù)的定義，基本初等函數(shù)通過有限次四則運算產(chǎn)生初等函數(shù)，那么基本初等函數(shù)無限次四則運算的結(jié)果是否為初等函數(shù)？這個問題需要作兩方面的討論.

一方面，基本初等函數(shù)無限次四則運算的結(jié)果可以是初等函數(shù)，如：

例4 ex=1+x+x22！+…+xnn！+… x∈R.

例5 11-x=1+x+x2+x3+…+xn+… |x|<1.

這兩個例子有一點細微的差別：例4中的函數(shù) f（x）=ex 的定義域與其冪級數(shù)展開式中每一項的定義域同為R，例5中的函數(shù)g（x）=11-x的定義域受到限制，而和其冪級數(shù)展開式中每一項的定義域不同.

另一方面，基本初等函數(shù)無限次四則運算的結(jié)果可以不是初等函數(shù).

例6 設有一列定義在區(qū)間[0，1]上的基本初等函數(shù)如下：

f1（x）=x，f2（x）=x2， f3（x）=x3，…，fn（x）=xn，….

其前n個函數(shù)的乘積為初等函數(shù)：

Fn（x）=f1（x） 瘙 簚 f2（x） 瘙 簚 f3（x） 瘙 簚 … 瘙 簚 fn（x）=xn（n+1）2.

但其無限個函數(shù)的乘積：

F（x）=limn→∞Fn（x）=0 0≤x<1;

1 x=1

不是[0，1]上的初等函數(shù)，因為它在定義區(qū)間上不連續(xù).

三、 初等函數(shù)與無限次的復合運算

基本初等函數(shù)在有限次復合運算下生成初等函數(shù)，那么在無限次復合運算下是否生成初等函數(shù)？這個問題也需要作兩方面的討論.

一方面，一個初等函數(shù)經(jīng)過無限次復合后可以是初等函數(shù).

例7 設有初等函數(shù)f（x）=45（x+4）-4，x∈R.

因為：

f2（x）=f[f（x）]=452（x+4）-4，

f3（x）=f[f2（x）]=453（x+4）-4.

使用數(shù)學歸納法，我們有：

fn（x）=f[fn-1（x）]=45n（x+4）-4，x∈R，n∈N.

函數(shù)的這種復合方式被稱作f（x）的n次迭代.于是當?shù)螖?shù)無限增加，即復合步驟為無限時，

F（x）=limn→∞fn（x）=-4，x∈R.

顯然，F(xiàn)（x）是初等函數(shù).

另一方面，初等函數(shù)經(jīng)無限次復合步驟后結(jié)果可以不是初等函數(shù).

例8 設有初等函數(shù)f（x）=x2，x∈[0，1].因為：

f2（x）=f[f（x）]=x4，f3（x）=f[f2（x）]=x8，…，

我們有：

fn（x）=f[fn-1（x）]=x2n，x∈[0，1]，n∈N.

于是，當復合次數(shù)無限增加時，則

F（x）=limn→∞fn（x）=0 x∈[0，1）;

1 x=1.

顯然，F(xiàn)（x）在其定義區(qū)間上并不是連續(xù)函數(shù)，因此它不是初等函數(shù).

其實，數(shù)學研究中經(jīng)常用積分來表示非初等函數(shù)，如：

∫e-x2dx，∫dxlnx，∫x1sinttdt.

初等函數(shù)類是微積分研究中最基本的對象，初等函數(shù)概念是微積分研究中的基本概念.對這個概念的討論，有利于澄清一些對于初等函數(shù)概念的模糊認識，有利于提高學生對微積分的學習，有利于學生對數(shù)學的嚴謹性和科學性的認識.

【參考文獻】

[1]中央電大經(jīng)濟數(shù)學編寫組.經(jīng)濟應用數(shù)學基礎[J].中央廣播電視大學出版社，1991.

[2]復旦大學數(shù)學系.數(shù)學分析[J].復旦大學出版社，2003.