一道高三數學調研試題的解法探究

趙虎 藺興旺

題目：△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB，（1）求角B（略）;（2）若b=2，求△ABC面積的最大值.

一、解法的緣由

因第（1）問題求出B=π4，S△=12acsinB=24ac，由余弦定理得4=a2+c2-2ac·cosπ4，故a2+c2-2ac=4（*），求△ABC面積最大值轉化為求ac的最大值.從而引發(fā)多種思考.

二、多種不同的解法

解法1：（運用輔助角公式法）由bsinB=2R=2sinπ4得R=2，

故ac=2RsinA·2RsinC=8·sinA·sin3π4-A

=8sinA（22cosA+22sinA）

=22sinA-22cosA=22

=4sin（2A-π4）+22.

由0

-22<4 sin（2A-π4）≤4，

∴0

∴（S△）max=2+1，此時A=3π8.

解法2：（運用基本不等式法）由（*）得a2+c2-2ac=4，故a2+c2=4+2ac.由基本不等式

a2+c2≥2ac得4+2ac≥2ac，故ac≤4+22，此時a=c，即A=3π8時，（S△）max=2+1.

解法3：（運用判別式法）由（*）得a2+c2-2ac=4，令ac=t，得c=ta，代入（*）式a2+c2-2ac=4，整理得t2-22 c2t+c4-2c2=0.

由判別式Δ=（2t+4）2-4·1·t2≥0，得t2-42t-8≤0，解得-4+22≤t≤4+22.又t>0，

∴0

解法4：（運用參數法）由（*）得a2+c2-2ac=4得（a-22c）2+（22c）2=4.

令a-22c=2cosA，22c=2sinA，則a=2sinA+2cosA，c=22sinA，從而

ac= （2sinA+2cosA）·22sinA=42sin2A+42sinA cosA=42·1-cos2A2+42·12 sin2A=22sin2A-22cos2A+22=4 sin（2A-π4）+22.

∴（ac）max=4+22，進而（S△）max=2+1.

三、多種解法后對教學的反思

一道數學題，因思考的角度不同可得到多種不同的思路.在教學中，用多種方法解答同一道數學題，不僅能牢固地掌握和運用所學知識，又能幫助不同程度的學生運用自己的方法去解題.通過一題多解，分析比較，尋找到解題的最佳途徑和方法，這對提高學生數學學習興趣和積極培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力大有益處.本題原是已知△ABC中，B=π4，b=2，求△ABC的面積的最大值，即化歸為已知三角形的對邊、對角，求與此三角形有關的最值與值域（如周長、面積、a2+b2+c2的范圍等），通過一題多解，可讓不同層次的學生都有不同的發(fā)展，這也是當前新課標教育的要求.