數(shù)學(xué)問(wèn)題的分解與生成

袁云

中學(xué)階段的數(shù)學(xué)題是指：為了實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)而要求師生們解答的題目，重點(diǎn)在“要求回答或解釋的事情”上.數(shù)學(xué)題由條件（已知、前提）、結(jié)論（未知、求解、求證、求作）構(gòu)成.內(nèi)容包括一個(gè)待進(jìn)行的運(yùn)算、一個(gè)待推理的證明、一個(gè)待完成的作圖、一個(gè)待建立的概念、一個(gè)待論證的定理、一個(gè)待解決的實(shí)際問(wèn)題等.呈現(xiàn)方式有課堂上的提問(wèn)、范例、練習(xí)和所解決的概念、定理、公式，有學(xué)生的作業(yè)、測(cè)驗(yàn)、考試以及師生共同進(jìn)行的探究性、研究性課題等.有的問(wèn)題的解絕不是一蹴而就的，需要分解成若干相關(guān)的子問(wèn)題去解決.在解決一些問(wèn)題之后要回顧反思，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，生成新的問(wèn)題從而更深入地研究問(wèn)題.

一、變課本例題習(xí)題為問(wèn)題，挖掘知識(shí)內(nèi)涵與編者的用意

課本上的例題習(xí)題一般是用來(lái)對(duì)概念、公式、定理等的應(yīng)用.每個(gè)例題的設(shè)置都有其目的和作用，體現(xiàn)著本節(jié)知識(shí)應(yīng)達(dá)到的能力要求.因?yàn)檎n本是高考命題的基本依據(jù).有的試題直接取自教材，或?yàn)樵}，或?yàn)轭愵};有的試題是課本概念、例題、習(xí)題的改編;有的試題是教材中的幾個(gè)題目、幾種方法的串聯(lián)、并聯(lián)、綜合與開(kāi)拓;少量難題也是按照課本內(nèi)容設(shè)計(jì)的，在綜合性、靈活性上提出較高要求.我們要認(rèn)真鉆研課本的重要性，突出課本基礎(chǔ)知識(shí)的作用.通過(guò)把題目提煉為若干個(gè)小的問(wèn)題，一點(diǎn)點(diǎn)揭示題中知識(shí)方法等本質(zhì)的東西，以及編者的用意.

[案例]江蘇教育出版社出版的必修四第103 頁(yè)例3：如圖，三個(gè)相同的正方形連接，求證：α+β=45°.

（一）理清題意

問(wèn)題1：條件有幾個(gè)是什么？（三個(gè)全等的正方形）

問(wèn)題2：題目結(jié)論是什么？

求兩個(gè)角的和.

問(wèn)題3：條件和結(jié)論之間的聯(lián)系是什么？

角與邊的關(guān)系，可以由三角函數(shù)值聯(lián)系在一起.

問(wèn)題4：如何知道兩個(gè)角的三角函數(shù)值？

將正方形中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)語(yǔ)言.

（二）擬訂計(jì)劃

首先借助正方形邊角關(guān)系得到兩個(gè)角的正切，再利用和角的正切公式算出tan（α+β）=1，進(jìn)而求出角度.

（三）實(shí)現(xiàn)計(jì)劃

略.

（四）回顧反思

1.解題過(guò)程的反思.通過(guò)分析條件是圖形語(yǔ)言，結(jié)論是角的大小，聯(lián)系到三角函數(shù)知識(shí)，借助和角公式解題.問(wèn)題比較容易得到.但是結(jié)果出來(lái)了，問(wèn)題還將繼續(xù).

問(wèn)題5：求出正切為1，如何舍掉α+β=135°呢？

一種方法可以從圖形上看出;另一種方法計(jì)算角的三角函數(shù)值，判斷角的范圍.

問(wèn)題6：為什么選擇求正切值呢？為什么不是其他兩個(gè)三角函數(shù)值呢？到底哪個(gè)更好些呢？

因?yàn)楸绢}中兩個(gè)角都是銳角，和在（0，π）上余弦函數(shù)是單調(diào)的，因此每個(gè)余弦值對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)角，正切函數(shù)雖然不單調(diào)，但每個(gè)正切值也是對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)角，但在（0，π）上每個(gè)正弦值要對(duì)應(yīng)兩個(gè)角，如果求出正弦值再求角，要根據(jù)隱含條件舍掉一個(gè)角，比較一下，本題最好求正切值或余弦值，不求正弦值.

2.解題方法的回顧.首先應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合的方法，實(shí)現(xiàn)兩種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化.這是一道大家認(rèn)為非常簡(jiǎn)單的例題，要解得答案非常容易.但是通過(guò)把解題分解成解決若干個(gè)問(wèn)題，不僅實(shí)現(xiàn)了結(jié)果，還可以提煉解決一類題目的方法.

問(wèn)題7：通過(guò)解本題你能獲得如何求一個(gè)角的大小嗎？

在三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題中，角問(wèn)題轉(zhuǎn)化求出該角的某個(gè)三角函數(shù)值.

3.反思.關(guān)注學(xué)生易錯(cuò)點(diǎn).通過(guò)問(wèn)題5強(qiáng)調(diào)了在解決三角函數(shù)問(wèn)題時(shí)要關(guān)注角的范圍，這也是易錯(cuò)點(diǎn).通過(guò)問(wèn)題6讓學(xué)生學(xué)會(huì)去選擇最合適的方法.

二、設(shè)定理性質(zhì)的推導(dǎo)證明為題，探尋知識(shí)足跡和數(shù)學(xué)家思維軌跡

有人認(rèn)為，上課的前半部分是講概念、定理，后半部分做的才是題，其實(shí)，如何構(gòu)建概念、如何論證定理也是題.數(shù)學(xué)概念的生成、公式定理的推導(dǎo)理解，

是一個(gè)知識(shí)再現(xiàn)再生成的過(guò)程.有別于數(shù)學(xué)家的思考.但是可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生去解決不斷呈現(xiàn)的一個(gè)又一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，還原公式定理產(chǎn)生的過(guò)程，學(xué)習(xí)用已知或已經(jīng)解決的問(wèn)題來(lái)幫助解決新的問(wèn)題，學(xué)習(xí)像數(shù)學(xué)家那樣去思考.

[案例]等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo).

（一）理清題意

問(wèn)題1：條件是什么？

等差數(shù)列定義、通項(xiàng)公式、特點(diǎn).

問(wèn)題2：結(jié)論是什么？

前n項(xiàng)和.

問(wèn)題3：聯(lián)系是什么？

每一項(xiàng)的值與和的關(guān)系.

（二）擬訂計(jì)劃

這是一個(gè)抽象的問(wèn)題，所以要設(shè)置一個(gè)與學(xué)生比較貼近的生活情境，讓學(xué)生感受為什么要研究求和公式，怎么求.

問(wèn)題4：學(xué)農(nóng)需要準(zhǔn)備一架木頭梯子，要求梯子的各級(jí)的寬度成等差數(shù)列，梯子的最高一級(jí)寬28厘米，相鄰兩節(jié)之間寬度差4厘米，這架梯子的前3級(jí)共需要準(zhǔn)備多少木料？

學(xué)生采用算出前三項(xiàng)求和即可.

問(wèn)題5：若梯子共12級(jí)，這架梯子中間各級(jí)一共需要準(zhǔn)備多少木料？

項(xiàng)數(shù)增多，算每一項(xiàng)求和比較麻煩，提出新的解決方案.

a1+a2+…+a12=a1+a1+d）+…+（a1+11d）=12a1+（1+2+…+11）d.

問(wèn)題6：如何計(jì)算1+2+…+11=？

可以配對(duì)（1+11）+（2+10）+…+（5+7）+6.

問(wèn)題7：為什么可以配對(duì)？

學(xué)生甲：初中學(xué)過(guò)高斯的1+2+…+100就是配對(duì)的;

學(xué)生乙：a1+a2+…+a12=（a1+a12）+（a2+a11）+…+（a6+a7）=6a1+a12.

問(wèn)題8：如何評(píng)價(jià)這三種做法的區(qū)別與聯(lián)系？

第一種直接求出每一項(xiàng)再求和有局限性，第二種方法借助相同和差異部分研究，與第三種方法都用到規(guī)律解題.區(qū)別：法一，知識(shí)的起點(diǎn)通項(xiàng)公式，借助公式求出每一項(xiàng)，再求和.法二，知識(shí)的起點(diǎn)各項(xiàng)之間的聯(lián)系，有相同的部分，其實(shí)是遞推關(guān)系的應(yīng)用.法三，通項(xiàng)的性質(zhì)m+n=p+qam+an=ap+aq，距離首尾項(xiàng)距離相等的項(xiàng)的和相等.聯(lián)系：通項(xiàng)公式是關(guān)鍵，可以用來(lái)求項(xiàng)，也可以看出項(xiàng)之間的關(guān)系.法二中1+2+…+11也可以配對(duì)，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列.所以配對(duì)的前提是等差數(shù)列求和，存在距離相等的項(xiàng)的和相等的前提.

問(wèn)題9：若梯子共n級(jí)，這架梯子一共需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的木料？

分類討論，當(dāng)為偶數(shù)項(xiàng)的時(shí)候，首位配對(duì)剛好配成對(duì)，且總對(duì)數(shù)為項(xiàng)數(shù)一半;當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，配對(duì)多中間一項(xiàng)，如果把中間一項(xiàng)看成首尾項(xiàng)中項(xiàng)的話，剛好也是一半，結(jié)果同偶數(shù)項(xiàng)，從而得到求和公式.

問(wèn)題10：發(fā)現(xiàn)結(jié)果與項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)無(wú)關(guān)，那么能不能避開(kāi)討論呢？

將數(shù)列倒過(guò)來(lái)再兩個(gè)式子相加就可以，這樣就使得項(xiàng)數(shù)變成偶數(shù).

（三）實(shí)現(xiàn)計(jì)劃

略.

（四）回顧反思

1.解題過(guò)程的回顧.因?yàn)閱?wèn)題條件結(jié)論比較抽象，所以加入情境，通過(guò)實(shí)際生活的需要，激發(fā)學(xué)生去思考.通過(guò)問(wèn)題設(shè)置求幾項(xiàng)和，求十幾項(xiàng)和，求很多項(xiàng)和，讓學(xué)生感覺(jué)到原有的理解一項(xiàng)一項(xiàng)加起來(lái)的方法行不通，激發(fā)探求求和公式的必要性.通過(guò)問(wèn)題6、7并沒(méi)有使得結(jié)果出來(lái)問(wèn)題終結(jié)，而是繼續(xù)挖掘配對(duì)應(yīng)該是倒序相加法的本質(zhì)，這樣不僅可以追溯到等差通項(xiàng)的性質(zhì)，而且為倒序相加只是一個(gè)便于配對(duì)的方式手段做鋪墊.通過(guò)問(wèn)題8在幾種方法解決完問(wèn)題讓學(xué)生對(duì)方法進(jìn)行重新的審視、比較是對(duì)知識(shí)應(yīng)用的一個(gè)升華過(guò)程，是必不可少的環(huán)節(jié).要比較不同方法對(duì)解決這個(gè)問(wèn)題的有效性，要比較不同方法的出發(fā)點(diǎn)歸宿與區(qū)別與聯(lián)系.哪些地方是統(tǒng)一的，在不同的方法中尋找解決問(wèn)題的切入口與根源.讓學(xué)生學(xué)習(xí)判斷選擇最佳解決問(wèn)題的途徑.問(wèn)題10追問(wèn)為什么結(jié)果是一樣的，為什么與項(xiàng)數(shù)的奇偶性無(wú)關(guān).其實(shí)內(nèi)在是統(tǒng)一的，就是配對(duì)時(shí)要關(guān)注成對(duì)，中項(xiàng)的地位是均值所以和自己成對(duì)，也可以通過(guò)倒過(guò)來(lái)使得成偶數(shù)便于配對(duì).揭示了倒序相加法的實(shí)質(zhì)，從而求和公式水到渠成.

2.解題方法的回顧.條件與結(jié)論是兩個(gè)信息源，在分析完條件與結(jié)論是什么，有什么聯(lián)系后，從條件發(fā)出的信息預(yù)示可知并啟發(fā)解題手段，從結(jié)論發(fā)出的信息預(yù)告需知并誘導(dǎo)解題方向.為了從中獲取盡可能多的信息，我們需要分析條件、分析結(jié)論、分析它們之間的關(guān)系，需要輔以圖形或記號(hào)，以求得目標(biāo)與手段的統(tǒng)一.追憶過(guò)去在什么地方、什么情況下曾出現(xiàn)過(guò)類似的題目，從“存儲(chǔ)機(jī)構(gòu)”中提取出與本問(wèn)題有關(guān)的已知的知識(shí)，調(diào)動(dòng)潛在的技能，進(jìn)行信息的對(duì)比、借鑒和再生.

3.反思.抓住學(xué)生的思維火花，要關(guān)注學(xué)生在解題過(guò)程中衍生出來(lái)的問(wèn)題.比如學(xué)生提到類比高斯的求和得出配對(duì)的思想，不僅要表?yè)P(yáng)學(xué)生學(xué)會(huì)類比，而且要進(jìn)一步挖掘配對(duì)的本質(zhì)，而不是從同學(xué)的嘴巴里說(shuō)出了配對(duì)的方法，就停留在直接用上，而要關(guān)注學(xué)生是否真的明白配對(duì)的實(shí)質(zhì).

三、以數(shù)學(xué)解題為題，學(xué)會(huì)怎樣解題促進(jìn)思維自由生長(zhǎng)

數(shù)學(xué)解題根據(jù)波利亞的解題表分為四個(gè)步驟：弄清題意、擬訂計(jì)劃、實(shí)現(xiàn)計(jì)劃、回顧反思.通過(guò)對(duì)解題的分析學(xué)會(huì)在問(wèn)題的解決中學(xué)會(huì)提問(wèn)、學(xué)會(huì)解決.

例 已知函數(shù)f（x）=ax2-c滿足-4≤f（1）≤-1，-1≤f（2）≤5，求f（3）的取值范圍.

（一）理清題意

問(wèn)題1：條件是什么？

含參數(shù)的函數(shù)，以及兩個(gè)函數(shù)值的范圍.

問(wèn)題2：結(jié)論是什么？

求函數(shù)值的范圍.

問(wèn)題3：條件與結(jié)論之間的聯(lián)系？

均要求把變量值代入同一個(gè)解析式，三個(gè)值均與a、c有關(guān).

（二）擬訂計(jì)劃

問(wèn)題4：f（1）、f（2） 的范圍有何用？

-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5，如果把a(bǔ)、c看成兩個(gè)變量，那么兩個(gè)不等式就確定一個(gè)線性區(qū)域，而且根據(jù)經(jīng)驗(yàn)是一個(gè)平行四邊形.

問(wèn)題5：f（3）如何確定？

f（3）=9a-c屬于截距型線性規(guī)劃問(wèn)題.

問(wèn)題5：有沒(méi)有其他解法？再看f（1）、f（2） 的范圍有何用以及與f（3）的聯(lián)系？

看到三者均與a、c有關(guān)，可以通過(guò)條件把a(bǔ)、c的范圍確定下來(lái).

問(wèn)題6：如何確定a、c的范圍？

兩個(gè)變量?jī)蓚€(gè)方程a-c=f（1），4a-c=f（2），解出a、c，代入f（3）.

（三）實(shí)現(xiàn)計(jì)劃

在巡視中發(fā)現(xiàn)有同學(xué)這樣解：把已知條件中的兩個(gè)不等式進(jìn)行運(yùn)算，-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5，得到a、c的范圍，進(jìn)而代入求解.

問(wèn)題7：這樣解對(duì)嗎？說(shuō)明理由.

學(xué)生課后作為課題研究，興趣很濃，也有自己的見(jiàn)解.

見(jiàn)解一：結(jié)果與正確的不相同，所以錯(cuò)誤.

見(jiàn)解二：從線性規(guī)劃的角度看，后者確定的區(qū)域是矩形比原來(lái)平行四邊形區(qū)域大，所以擴(kuò)大了范圍.

見(jiàn)解三：兩個(gè)變量?jī)蓚€(gè)方程a-c=f（1），4a-c=f（2），解出a、c，是等價(jià)轉(zhuǎn)化，而把已知條件中的兩個(gè)不等式進(jìn)行運(yùn)算，-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5 ，得到a、c的范圍，是不等價(jià)的，放大了范圍.

（四）回 顧

1.解題過(guò)程的回顧.弄清題意是關(guān)鍵，不僅要知道條件與結(jié)論是什么，與哪些知識(shí)相關(guān).還要弄清題目的條件和結(jié)論有哪些初步的數(shù)學(xué)聯(lián)系，是一種什么樣的結(jié)構(gòu).即題型結(jié)構(gòu)，進(jìn)行模式識(shí)別，在記憶中搜索相應(yīng)的方法.

2.解題方法的回顧.一個(gè)關(guān)注的是不等式對(duì)應(yīng)的區(qū)域，對(duì)線性規(guī)劃知識(shí)比較熟悉.一個(gè)關(guān)注的是等價(jià)轉(zhuǎn)化、方程的思想，同時(shí)運(yùn)用了不等式的運(yùn)算，是在了解它的目標(biāo)與原始基礎(chǔ)上用“差異分析”，看看結(jié)論與條件之間的區(qū)別.只要把f（3）轉(zhuǎn)化為f（1）、f（2）就可以了.兩種解題方法體現(xiàn)了不同的知識(shí)起點(diǎn).

3.反思.正確對(duì)待學(xué)生的錯(cuò)誤.學(xué)生的錯(cuò)誤有時(shí)候是一次對(duì)知識(shí)方法重新認(rèn)識(shí)的機(jī)會(huì).把分析錯(cuò)誤的原因作為問(wèn)題研究，不僅利于找出問(wèn)題的根源，把握問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，而且調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高自主學(xué)習(xí)的能力.

解數(shù)學(xué)題把“題”作為研究的對(duì)象，把“解”作為研究的目標(biāo)，關(guān)注問(wèn)題的結(jié)果.而挖掘數(shù)學(xué)題的內(nèi)涵將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，不僅實(shí)現(xiàn)了由條件到結(jié)論，而且把整個(gè)“解題活動(dòng)”作為對(duì)象，去研究如何審題發(fā)現(xiàn)隱含的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如何制訂計(jì)劃求解，反思方法總結(jié)經(jīng)驗(yàn).使得各種水平的學(xué)生都有機(jī)會(huì)在自己現(xiàn)有的水平上，由淺入深地作出回答.注重解決問(wèn)題過(guò)程中情感、態(tài)度、價(jià)值觀的培養(yǎng).使學(xué)生能夠?qū)W會(huì)綜合地、創(chuàng)造性地運(yùn)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)去解決那種并非單純練習(xí)題式的問(wèn)題，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”.

【參考文獻(xiàn)】

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