淺談抽象函數(shù)的圖像對(duì)稱性、周期性及奇偶性的關(guān)系

肖浩春

【摘要】函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，本文將闡述函數(shù)的圖像具有對(duì)稱性的充要條件以及函數(shù)圖像的對(duì)稱性、函數(shù)的周期性、函數(shù)的奇偶性三者之間的關(guān)系.

【關(guān)鍵詞】函數(shù);性質(zhì);關(guān)系

函數(shù)是支撐數(shù)學(xué)科知識(shí)體系的主要內(nèi)容，是貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)的一條主線，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，因此在每年的高考數(shù)學(xué)試題中，函數(shù)試題占有較高的比例，并達(dá)到必要地深度.本文將對(duì)函數(shù)的圖像對(duì)稱性、周期性及奇偶性的關(guān)系作一些探討.

定理1：函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a+b2 對(duì)稱的充要條件是f（a-x）=f（b+x）對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x都成立.

證明 充分性：若f（a-x）=f（b+x）對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x都成立，設(shè)P（x0，y0）是y=f（x）的圖像上的任一點(diǎn)，則y0=f（x0），點(diǎn)P關(guān)于直線x=a+b2 的對(duì)稱點(diǎn)是Q（a+b-x0，y0）.

∵f（a+b-x0）=f[b+（a-x0）]=f[a-（a-x0）]=f（x0）=y0，

∴點(diǎn)Q（a+b-x0，y0）在函數(shù)y=f（x）的圖像上，∴y=f（x）的圖像關(guān)于直線 x=a+b2對(duì)稱.

必要性：若函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線 x=a+b2對(duì)稱，設(shè)A（x，y）是y=f（x）的圖像上的任一點(diǎn)，則y=f（x）上點(diǎn)A關(guān)于直線x=a+b2 的對(duì)稱點(diǎn)為B（a+b-x，y）.∵y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a+b2對(duì)稱，點(diǎn)B在y=f（x）的圖像上，∴f（a+b-x）=y.∴f（a+b-x）=f（x）.

∴f（a-x）=f[a+b-（b+x）]=f（b+x）.

特殊地，當(dāng)a=b=0時(shí)，定理1為：函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的充要條件是f（-x）=f（x）對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x都成立.這是偶函數(shù)的一個(gè)性質(zhì).

推論1：函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a+b2 對(duì)稱的充要條件是f（a+b-x）=f（x）對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x都成立.

推論2：函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a+b2 對(duì)稱的充要條件是f（a+b+x）=f（-x）對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x都成立.

定理2：函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a+b2，0）對(duì)稱的充要條件是f（a-x）=-f（b+x）對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x都成立.

證明 充分性：若f（a-x）=-f（b+x）對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x都成立，設(shè)P（x0，y0）是y=（x）的圖像上的任一點(diǎn)，則y0=f（x0）上點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)a+b2，0的對(duì)稱點(diǎn)為Q（a+b-x0，-y0）.

∵ f（a+b-x0）=f[a-（x0-b）]=-f[b+（x0-b）]=-f（x0）=-y0，

∴點(diǎn)Q（a+b-x0，-y0）在y=f（x）的圖像上.∴y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)a+b2，0對(duì)稱.

必要性：若y=（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a+b2，0）對(duì)稱，點(diǎn)A（x，y）是y=f（x）的圖像上的任一點(diǎn)，則y=f（x）上點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)（a+b2，0）的對(duì)稱點(diǎn)為B（a+b-x，-y）.∵y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a+b2，0）對(duì)稱，∴點(diǎn)B在y=f（x）的圖像上.∴f（a+b-x）=-y.∴f（a+b-x）=-f（x）.

∴f（a-x）=f[a+b-（b+x）]=-f（b+x）.

特殊地，當(dāng)a=b=0時(shí)，定理2為：函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的充要條件是f（-x）=-f（x）對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x都成立.這是奇函數(shù)的一個(gè)性質(zhì).

推論1：函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a+b2，0）對(duì)稱的充要條件是f（a+b-x）=-f（x）對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x都成立.

推論2：函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a+b2，0）對(duì)稱的充要條件是f（a+b+x）=-f（-x）對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x都成立.

定理3：（1）y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱;（2）y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=b（b≠a）對(duì)稱;（3）y=f（x）是周期函數(shù)，且T=2（b-a）為其一個(gè)周期.

以其中任兩個(gè)論斷為條件，另一個(gè)論斷為結(jié)論，得到的三個(gè)命題均是真命題.

若以（1）（2）為條件，（3）為結(jié)論.

證明 ∵y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a與x=b對(duì)稱，

∴f（2a-x）=f（x），f（2b-x）=f（x）.

∴f[x+2（b-a）]=f[2b-（2a-x）]=f（2a-x）=f（x）.

∴y=f（x）是周期函數(shù)，且T=2（b-a）是它的一個(gè)周期.

若以（1）（3）為條件，（2）為結(jié)論.

證明 ∵y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱，∴f（2a-x）=f（x）.又∵y=f（x）是周期函數(shù)，且2（b-a）是它的一個(gè)周期，

∴f[x+2（b-a）]=f（x）.

∴f（2b-x）=f[2a-x+2（b-a）]=f（2a-x）=f（x）.

∴y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=b對(duì)稱.

同理可證以（2）（3）為條件，（1）為結(jié)論所得的命題的正確性.

推論：（1）y=f（x）是偶函數(shù);（2）y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a（a≠0）對(duì)稱;（3）y=f（x）是周期函數(shù)，且T=2a為其一個(gè)周期.

以其中任兩個(gè)論斷為條件，另一個(gè)論斷為結(jié)論，所得的三個(gè)命題均是真命題.

定理4：（1）y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱;（2）y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（b，0）（b≠a）對(duì)稱;（3）y=f（x）是周期函數(shù)，且T=2（b-a）為其一個(gè)周期.

以其中任兩個(gè)論斷為條件，另一個(gè)論斷為結(jié)論，所得的三個(gè)命題均為真命題.

若以（1）（2）為條件，（3）為結(jié)論.

證明 ∵y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a，0）與（b，0）對(duì)稱，

∴f（2a-x）=-f（x），f（2b-x）=-f（x）.

∴f[x+2（b-a）]=f[2b-（2a-x）]=-f（2a-x）=f（x）.

∴y=f（x）是周期函數(shù)，且T=2（b-a）是它的一個(gè)周期.

若以（1）（3）為條件，（2）為結(jié)論.

證明 ∵y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱，∴f（2a-x）=-f（x）.又∵y=f（x）是周期函數(shù)，且T=2（b-a）是它的一個(gè)周期，

∴f[x+2（b-a）]=f（x）.

∴f（2b-x）=f[2a-x+2（b-a）]=f（2a-x）=-f（x）.

∴y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（b，0）對(duì)稱.

同理可證以（2）（3）為條件，（1）為結(jié)論所得的命題的正確性.

推論：（1）y=f（x）是奇函數(shù);（2）y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（a，0）（a≠0）對(duì)稱;（3）y=f（x）是周期函數(shù)，且T=2a為其一個(gè)周期.

以其中任兩個(gè)論斷為條件，另一個(gè)論斷為結(jié)論，所得的三個(gè)命題均是真命題.

定理5：若y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱，且關(guān)于點(diǎn)（b，0）（b≠a）對(duì)稱，則y=f（x）是周期函數(shù)，且T=4（b-a）為其一個(gè)周期.

證明 ∵y=f（x）的圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱，且關(guān)于點(diǎn)（b，0）對(duì)稱，

∴f（2a-x）=f（x），f（2b-x）=-f（x）.

∴f[x+4（b-a）]=f[2b-（4a-2b-x）]=-f（4a-2b-x）

=-f[2a-（2b-2a+x）]=-f（2b-2a+x）=-f[2b-（2a-x）]

=f（2a-x）=f（x）.

∴y=f（x）是周期函數(shù)，且T=4（b-a）為其一個(gè)周期.

推論1：若y=f（x）是偶函數(shù)，且其圖像關(guān)于點(diǎn)（a，0）（a≠0）對(duì)稱，則y=f（x）是周期函數(shù)，且T=4a為其一個(gè)周期.

推論2：若y=f（x）是奇函數(shù)，且其圖像關(guān)于直線x=a（a≠0）對(duì)稱，則y=f（x）是周期函數(shù)，且T=4a為其一個(gè)周期.

例1 已知函數(shù)f（x）定義在實(shí)數(shù)集R上，且對(duì)一切實(shí)數(shù)x滿足等式f （2+x）=f（2-x）和f（7+x）=f（7-x），設(shè)x=0是f（x）=0的一個(gè)根，記f（x）=0在[-1000，1000]中的根的個(gè)數(shù)為N，求N的最小值.（1984年第2屆美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）

解 依題意，f（x）的圖像關(guān)于直線x=2和x=7對(duì)稱，據(jù)定理3知f（x）是周期函數(shù)，且T=2（7-2）=10為其一個(gè)周期，又f（4）=f（2+2）=f（2-2）=f（0）=0，f（10）=f（7+3）=f（7-3）=f（4）=0，∴f（x）=0在[0，10）上至少有兩個(gè)根.∴f（x）=0在[-1000，1000]上至少有200×2+1=401個(gè)根.故N的最小值為401.

例2 已知y=f（x）是奇函數(shù)，且f（3）=50，g（x）=f（x+2）也是奇函數(shù)，試求f（2003）的值.

解 ∵g（x）=f（x+2）是奇函數(shù)，∴其圖像關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱.∴y=f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（2，0）對(duì)稱.據(jù)定理4的推論知f（x）是周期函數(shù)，且T=4為其一個(gè)周期.