數(shù)學(xué)美對(duì)數(shù)學(xué)解題的影響

楊國全 唐翠芳

【摘要】數(shù)學(xué)在日常生活中無處不在，數(shù)學(xué)也像文學(xué)一樣是美的，它的美體現(xiàn)在統(tǒng)一、簡潔、對(duì)稱、奇異、過程等方面，這篇文章主要描述數(shù)學(xué)美對(duì)數(shù)學(xué)解題有什么影響，如何加強(qiáng)數(shù)學(xué)美在數(shù)學(xué)解題中的作用.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)美;數(shù)學(xué)解題

一、數(shù)學(xué)美的概念

關(guān)于“數(shù)學(xué)美”，歷史上許多數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)美的闡述不同.

維納

維納的全名是諾伯特·維納（Norbert Wiener，1894-1964），是美國數(shù)學(xué)家，控制論的創(chuàng)始人.說：“數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)上是藝術(shù)的一種.”

徐利治

徐利治教授是國內(nèi)外著名的數(shù)學(xué)家、教育家.認(rèn)為：“數(shù)學(xué)在其內(nèi)容結(jié)構(gòu)上也都是具有其自身的某種類別的.”

美國當(dāng)代數(shù)學(xué)家A.波萊爾

A·波萊爾（Borel，Armand，1923.5.21- ），生于瑞士，學(xué)于瑞士聯(lián)邦技術(shù)學(xué)院，1952年獲巴黎大學(xué)博士學(xué)位.說：“我已經(jīng)提到了數(shù)學(xué)作為藝術(shù)的觀念，即概念構(gòu)成的詩情畫意這個(gè)觀念，以此作為出發(fā)點(diǎn)就能斷言：要能鑒賞數(shù)學(xué)，要能欣賞數(shù)學(xué)，就需要對(duì)一個(gè)很特殊的思維世界里的種種概念在精神上的雅與美有一種獨(dú)特的感受力.”

通過研究上述的觀點(diǎn)，筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)美是數(shù)學(xué)科學(xué)的本質(zhì)力量的感性與理性的呈現(xiàn)，是一種人的本質(zhì)力量通過宜人的數(shù)學(xué)思維的呈現(xiàn)，數(shù)學(xué)美的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)系統(tǒng)與作為審美主體的人的意向的結(jié)合.總而言之，數(shù)學(xué)美就是數(shù)學(xué)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)和方法上所呈現(xiàn)出來的某種類和它使人產(chǎn)生的愉悅、興奮情感的融合所產(chǎn)生的一個(gè)范疇.

二、數(shù)學(xué)美的內(nèi)容

（一）統(tǒng)一美

數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美是指數(shù)學(xué)中部分與部分之間、部分與整體之間的和諧統(tǒng)一關(guān)系，是理論內(nèi)在結(jié)構(gòu)與外在功能之間的有機(jī)統(tǒng)一.在數(shù)學(xué)的理論中一些看起來不相關(guān)的概念、法則、定理，在一定的情況下，他們可以形成一個(gè)統(tǒng)一的整體，對(duì)統(tǒng)一的追求極大地促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展.例如數(shù)形結(jié)合思想就是把代數(shù)和幾何有機(jī)地統(tǒng)一到一起的一種思想方法，數(shù)學(xué)分析中的“函數(shù)”與幾何學(xué)中的“變換”可以統(tǒng)一到“映射”概念中.

（二）簡潔美

數(shù)學(xué)的簡潔美是指數(shù)學(xué)常常能在紛繁復(fù)雜的自然現(xiàn)象中以簡單明了的方式抽象出客觀事物的數(shù)學(xué)概念、理論，然后以清晰的數(shù)學(xué)形式表現(xiàn)出來，又反過來應(yīng)用這一數(shù)學(xué)形式解釋更多的客觀現(xiàn)象的一種美.例如“∫”表示對(duì)某式子的積分，“∑”表示多個(gè)數(shù)字的連加，“∏”表示對(duì)多個(gè)數(shù)字的連乘，a2+b2=c2表示勾股定理等.數(shù)學(xué)的簡潔美還表現(xiàn)在數(shù)學(xué)學(xué)科本身理論的邏輯簡單性，就是說面對(duì)困難復(fù)雜問題時(shí)追求簡易解答.

（三）對(duì)稱美

數(shù)學(xué)的對(duì)稱美是指數(shù)學(xué)元素的各部分之間的對(duì)等與勻稱的一種美.對(duì)稱美體現(xiàn)出一種簡潔、完整，也體現(xiàn)出事物運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性.現(xiàn)實(shí)世界處處有對(duì)稱，既有軸對(duì)稱又有中心對(duì)稱，例如正三角形、圓、球等都是對(duì)稱圖形;在數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中也存在對(duì)稱，如函數(shù)與反函數(shù)、冪運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算等.

（四）奇異美

數(shù)學(xué)的奇異美是指數(shù)學(xué)中出人意料的結(jié)果、超乎想象的解題方法、新理論等，從而引起了強(qiáng)烈的差異，在這種差異中常常伴隨著人們的贊賞與嘆息的一種美.數(shù)學(xué)中有許多新的發(fā)現(xiàn)都伴隨著這種美，例如當(dāng)微積分創(chuàng)立后，牛頓—萊布尼茨積分在很長時(shí)間是暢通無阻的，但當(dāng)?shù)依死鬃鞒龊瘮?shù)D（x）=0，x∈Q

1，x∈CxQ時(shí)，原有的積分失靈了，這種奇異現(xiàn)象給積分帶來了新的思路，于是勒貝格積分誕生了.

（五）過程美

數(shù)學(xué)的過程美是指在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)公式、符號(hào)、定理、理論、模型、解題方法過程中，既要有對(duì)它們的創(chuàng)造過程的了解，還要體會(huì)一下自己“再創(chuàng)造”的過程，在了解與再創(chuàng)造的過程中感受數(shù)學(xué)過程的美，享受學(xué)習(xí)解題的樂趣.

三、發(fā)揮數(shù)學(xué)美對(duì)數(shù)學(xué)解題的導(dǎo)向功能

（一）統(tǒng)一美培養(yǎng)解題思路

解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，解題的關(guān)鍵在于把問題與條件進(jìn)行統(tǒng)一，有內(nèi)容上的統(tǒng)一和結(jié)構(gòu)上的統(tǒng)一，進(jìn)行統(tǒng)一后的問題解法就比較明朗了.因此利用統(tǒng)一美就是將問題或條件進(jìn)行等價(jià)的轉(zhuǎn)化，相互溝通往往可以簡化解題思路，找到解決問題的方法，達(dá)到問題的解決.

（二）簡潔美簡化解題思路

簡潔美的思想方法就是在解決問題的過程中，一定要抓住問題的主要矛盾，把握問題與條件的最簡單、最基本的關(guān)系，對(duì)整體及細(xì)節(jié)都能有一個(gè)清晰的認(rèn)識(shí)和理解，把問題簡單化、有序化，自然解題過程就流暢、明快，對(duì)一個(gè)看似復(fù)雜的問題，解決起來就比較容易.

（三）對(duì)稱美調(diào)控解題思路

對(duì)稱美是數(shù)學(xué)美的最重要的特征，我們?cè)诮忸}的過程中可以嘗試?yán)脤?duì)稱性，常?？梢允盏胶唵?、快捷的解題效果，從而優(yōu)化解題思路，使學(xué)生可以感知數(shù)學(xué)的美.

（四）奇異美創(chuàng)設(shè)解題思路

現(xiàn)實(shí)生活中客觀實(shí)體為數(shù)學(xué)創(chuàng)設(shè)了良好的模型，數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)在一定程度上具有穩(wěn)定性，但奇異性就是對(duì)這種穩(wěn)定性的破壞，這種破壞是美學(xué)中的新思想、新理論、新方法對(duì)原有解題習(xí)慣的一種突破.我國著名數(shù)學(xué)家徐利治說過：“奇異是一種美，奇異到一定程度更是一種美.”奇異往往能引起贊嘆、驚訝，它常常出人意料.

（五）過程美積累解題思路

數(shù)學(xué)的過程美就是指在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)符號(hào)、圖形、公式、方法的過程時(shí)，了解當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家的思維過程、探究過程的創(chuàng)造性活動(dòng)，感受數(shù)學(xué)是一個(gè)不斷探索、不斷體驗(yàn)的學(xué)科，在這種了解與體驗(yàn)的過程中獲得美感.在平時(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的過程中注重?cái)?shù)學(xué)的過程美，認(rèn)真體悟數(shù)學(xué)創(chuàng)造的過程，對(duì)解決數(shù)學(xué)問題的思路積累有很大的幫助.

四、優(yōu)化數(shù)學(xué)美對(duì)數(shù)學(xué)解題的促進(jìn)作用

（一）數(shù)學(xué)的審美化教學(xué)

在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，注意展示數(shù)學(xué)美，創(chuàng)設(shè)一定的數(shù)學(xué)情境把數(shù)學(xué)史及趣聞軼事滲透到課堂中，使學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的發(fā)展規(guī)律，感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣;也可以選擇一些典型的問題，逐步地啟發(fā)學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生觀察、猜想，然后再進(jìn)行論證，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新實(shí)踐能力，同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的良好情感，使他們對(duì)數(shù)學(xué)美的感受能提高到文化層次，那樣學(xué)生就會(huì)更喜歡數(shù)學(xué)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的解決.

（二）數(shù)學(xué)解題過程中自覺體悟數(shù)學(xué)美

學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題、探究解題思路、進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)的時(shí)候，培養(yǎng)學(xué)生多思考在這個(gè)解題過程中有沒有數(shù)學(xué)美的存在，數(shù)學(xué)美體現(xiàn)在哪里，不能讓我們的學(xué)生成為做題的機(jī)器，讓他們從心理上感到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，感受解決數(shù)學(xué)問題的快樂.

（三）日常學(xué)習(xí)生活中注重發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美

在日常的生活中善于發(fā)現(xiàn)哪些用到了所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，體悟這些應(yīng)用中存在的數(shù)學(xué)美，學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)相關(guān)學(xué)科時(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用過程，感悟數(shù)學(xué)美.數(shù)學(xué)美作為一種誘因，常常能使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)再理解與掌握，一旦學(xué)生的學(xué)習(xí)活動(dòng)充滿了審美的趣味性，學(xué)習(xí)過程便會(huì)留下美的軌跡，學(xué)生會(huì)自覺對(duì)照前后所學(xué)的知識(shí)及所學(xué)知識(shí)與生活中的現(xiàn)實(shí)，理解它們之間的聯(lián)系，從而有助于形成有序的知識(shí)結(jié)構(gòu)和解題方法體系，減輕了學(xué)生學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)，增加了學(xué)習(xí)的效率.

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