求解函數(shù)極限的方法

肖柏文

【摘要】高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)極限求值方法教學(xué)是難點(diǎn)，同時(shí)也是重點(diǎn).而且，數(shù)學(xué)函數(shù)極限知識內(nèi)容比較枯燥，會導(dǎo)致很多學(xué)生不愿意學(xué)習(xí)極限函數(shù).文章分析了極限函數(shù)教學(xué)障礙，以及如何改進(jìn)教學(xué)方法，提高教學(xué)質(zhì)量.

【關(guān)鍵詞】極限函數(shù);數(shù)學(xué);求值方法

一、前 言

高等數(shù)學(xué)是理工學(xué)生和數(shù)學(xué)專業(yè)必修的課程之一，在高等數(shù)學(xué)中，函數(shù)極限知識是微積分知識核心部分.如果學(xué)生的函數(shù)知識不牢固，這樣必然會影響到整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程.而且，極限函數(shù)不同于文史類知識，它們沒有生動的語言，沒有靈活的想象平臺，而是枯燥的函數(shù)極限知識，這直接影響學(xué)生對該類知識的學(xué)習(xí)，隨著時(shí)間的推移，學(xué)生無法提起學(xué)習(xí)興趣，從而影響到教學(xué)效果.

二、造成學(xué)生函數(shù)極限學(xué)習(xí)障礙和解決方法

（一）教學(xué)環(huán)境影響

高中數(shù)學(xué)是主科，在課程設(shè)置中一般都安排得比較密集，時(shí)常會出現(xiàn)一天都有數(shù)學(xué)課.面對應(yīng)試，數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)時(shí)間是比較長的，教學(xué)力度也是相對大的.這樣的課程安排會使得學(xué)生倍感壓力.很多學(xué)生一天下來都是在數(shù)學(xué)的海洋中，各種知識的糾結(jié)，各種解題方法的求解.學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不是因?yàn)榕d趣愛好，而是為了應(yīng)試，這樣的函數(shù)極限學(xué)習(xí)效率會低下.而進(jìn)入大學(xué)，高數(shù)學(xué)習(xí)環(huán)境輕松，課程時(shí)間安排不太緊密.

（二）教學(xué)方法問題

很多教師在進(jìn)行極限函數(shù)教學(xué)時(shí)，一般都是在課程之間時(shí)間講解概念含義，引入例子，再根據(jù)例子解答，然后課程布置學(xué)生幾道相關(guān)的題，讓學(xué)生嘗試解答，最后教師再講解.這樣的教學(xué)方法，教師占據(jù)的課程時(shí)間比較多，教師是課堂的主體，學(xué)生缺少思考的空間.有的學(xué)生基礎(chǔ)知識比較差，對于教師的講解理解難度大，教師沒有針對性地教學(xué)，沒有給學(xué)生思考的空間，沒有因材施教，必然會影響教學(xué)效果.

（三）解決高校學(xué)生函數(shù)極限學(xué)習(xí)障礙的對策

第一，教學(xué)方式上遵循教學(xué)規(guī)律.任何新知識的學(xué)習(xí)都要遵循循序漸進(jìn)的過程，對大一新生來講，極限與微積分知識的學(xué)習(xí)，教師可采用漸進(jìn)式教學(xué)，不求一步到位.用“動”來代替“靜”，也即用動態(tài)來定義極限的概念，用作圖的方式來理解“無限趨近”.教學(xué)盡量用多媒體課件展示動態(tài)，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中逐步體會常量與變量、有限與無限、近似與準(zhǔn)確、動與靜、直與曲的對立統(tǒng)一，這樣才能更好地培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)能力，才能幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中可以使用辯證思考的思維解答習(xí)題.第二，教學(xué)方式直觀簡明化.函數(shù)極限學(xué)習(xí)理當(dāng)堅(jiān)持多學(xué)多練之原則，在練習(xí)過程中學(xué)生加強(qiáng)對數(shù)學(xué)概念的理解以及對知識的掌握.對于教師而言，應(yīng)該精講多練，應(yīng)該降低理論講解、抽象講解.理當(dāng)拿出實(shí)例來證明極限.學(xué)生也可以嘗試作圖，使用作圖去輔助解答習(xí)題，從觀察函數(shù)的左右近似值去判斷極限是否存在.這樣的教學(xué)方法能夠鍛煉學(xué)生的歸納能力以及學(xué)生的推算能力.教師充分地考慮了學(xué)生接受能力，而且能夠兼顧教學(xué)需求，掌握該教學(xué)原則，從而幫助學(xué)生喜愛上數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).第三，教學(xué)中增加應(yīng)用實(shí)踐因素.教學(xué)理論使用于實(shí)踐基礎(chǔ)上，讓理論在實(shí)踐中得以發(fā)揮出來，這樣的學(xué)習(xí)方式才會顯得比較有意義.學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動性才會跳動起來.一般而言，函數(shù)極限知識在生活中都能運(yùn)用到，教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)，涉及的內(nèi)容應(yīng)該通俗易懂.可以將生活中常見的機(jī)械極限、運(yùn)動極限以及生理極限引入課程中，使用故事的方式作為開頭進(jìn)行講解，這樣才能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.同時(shí)，在進(jìn)行課程學(xué)習(xí)之前，進(jìn)行預(yù)習(xí)和課外知識的拓展都是非常有必要的.學(xué)生課前預(yù)習(xí)，能夠?qū)τ谒鶎W(xué)的知識及時(shí)地進(jìn)入到了解的狀態(tài)，這也是進(jìn)行學(xué)生興趣培養(yǎng)之關(guān)鍵.

三、 高數(shù)中函數(shù)極限求解方法

（一）利用極限的描述性定義

在進(jìn)行教學(xué)中，教師將極限的描述定義如下：如果自變量的絕對值|x|無限增大，那么在條件不變的情況下，函數(shù)值f（x）也會有和常數(shù)A無限地接近，這個(gè)時(shí)候就可以稱當(dāng)x值逐漸趨向無窮函數(shù)時(shí)，x以A為函數(shù)極限.或者是x縮小到A，這樣就可以記錄為“x-A（x→∞）”.經(jīng)過上述的描述方式進(jìn)行函數(shù)期限數(shù)值求值時(shí)，該方法比較簡單.不同類型基礎(chǔ)的等級函數(shù)可以進(jìn)行描述性定義.另外，還可以和圖像結(jié)合，這樣就可以得出參數(shù)值.想要進(jìn)行復(fù)雜函數(shù)求值，需要在掌握基本初級函數(shù)求值基礎(chǔ)知識.但是在求值過程中，比較容易被混淆，因此，要多加注意.

（二）用兩個(gè)重要極限求解

重要極限sinxx中，sinx和x是兩個(gè)類型完全不同的X數(shù)，但是卻可以通過該極限促使三角函數(shù)和一次函數(shù)之間建立起函數(shù)關(guān)系，將兩者進(jìn)行比值就可以求解.而且極限使用范圍非常廣泛，可以解決一些現(xiàn)實(shí)的問題.在很多高等數(shù)學(xué)中，極限求值問題可以將其化為極限求值，但是當(dāng)學(xué)生在借助重要極限進(jìn)行函數(shù)極限求值時(shí)，這個(gè)使用需要充分掌握極限的形式以及特點(diǎn)，只有這樣才可以將極限求值進(jìn)行化解，使得極限形式一致.例如：limx-0sinxx=1，limx-0（1+x）1x=e.

（三）利用極限的等價(jià)定理

這里講解到的等價(jià)定理，主要是單側(cè)極限以及雙側(cè)極限之間的關(guān)系定理，這種求值方法比較特別，在進(jìn)行求解時(shí)，一般比較合適使用于分段函數(shù)中.利用極限的存在性定理.極限的存在定理，主要有兩個(gè)定理，而且是比較常用的兩個(gè).第一是夾逼定理，第二是單調(diào)有界數(shù)定理.這兩個(gè)定理是使用于數(shù)列極限以及函數(shù)存在性證明的，有的時(shí)候也可以將其使用于極限求值中，尤其是數(shù)列極限問題求值.例如：

limx→0tanx-sinxsin3x的極限.

limx→0tanx-sinxsin3x=limx→0sinxcosx-sinxsin3x=limx→0sinx（1-cosx）cosxsin3x=limx→02lim2x2sin2x=lim2×14

sin2x2x2

2xsinx2=12.

這樣就可以輕松的求出函數(shù)值.

四、高數(shù)教學(xué)方法

（一）主體式教學(xué)方法

主體式教學(xué)方法來源于美國頭腦風(fēng)暴教學(xué)法，這種學(xué)習(xí)方式相對于簡單的個(gè)人學(xué)習(xí)，獲得學(xué)習(xí)效果會更加明顯.具體做法是，教師要選擇出合適的教學(xué)素材，選擇合適的學(xué)習(xí)伙伴，學(xué)習(xí)伙伴針對當(dāng)前教學(xué)問題提出異議，提出自己的觀點(diǎn).教師根據(jù)學(xué)生的觀點(diǎn)再進(jìn)行總結(jié).極限函數(shù)數(shù)學(xué)教學(xué)中，主體式教學(xué)方式需要教師合理利用，這樣獲得的教學(xué)效果會更加明顯.這種教學(xué)方式能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，使得學(xué)生學(xué)習(xí)獲得創(chuàng)造性思維.首先，教師應(yīng)該做好材料選擇工作，然后再進(jìn)行分組討論，這樣可以獲得良好的教學(xué)效果.需要注意的是，主體式教學(xué)方法應(yīng)該需要獲得一個(gè)平等和民主課堂教學(xué)氛圍，作為初中數(shù)學(xué)教師，需要學(xué)生在課堂中充分地表達(dá)自己的觀點(diǎn)，教師要尊重學(xué)生的觀點(diǎn)，使得學(xué)生在思維上獲得更大思維空間.教師要充分利用學(xué)生思維見解不同之處，基于無錯(cuò)原則進(jìn)行評價(jià)學(xué)生發(fā)言.

（二）培養(yǎng)學(xué)生參與意識

學(xué)生參與課堂教學(xué)，使得課堂變得活躍，教師教學(xué)積極性也提高，學(xué)生學(xué)習(xí)積極性也得到激發(fā).在教師暗示或者提示下，學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)問題尋找出問題所在.找到問題根源之后，需要選擇出應(yīng)對方法.一般而言個(gè)人發(fā)現(xiàn)的問題和小組發(fā)現(xiàn)的問題都不相同.不論怎樣需要明確這些問題重要性，通過課程教學(xué)解決問題.另外，學(xué)生應(yīng)該明確自身的學(xué)習(xí)任務(wù)，該課程傳輸?shù)闹R，在課程學(xué)習(xí)中自己學(xué)到了哪些知識，這些知識對自己有何用處.當(dāng)獲得了課程知識之后，需要分享知識，傾聽其他同學(xué)的學(xué)習(xí)心得，最后匯聚成結(jié)論.

（三）概念教學(xué)方法

極限函數(shù)數(shù)學(xué)概念可以識別一類數(shù)字的共性，對此作出不同的感性，這一學(xué)習(xí)過程就是概念學(xué)習(xí)過程.概念學(xué)習(xí)最明顯的特點(diǎn)是要抽取出一類對象，這些對象有著共同的特性，進(jìn)行辨別學(xué)習(xí)過程中，就是識別一類對象不同特性之過程.這兩者是有區(qū)別可言的.但是，進(jìn)行極限函數(shù)數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)時(shí)，共性抽象是需要在一定的區(qū)分范圍內(nèi)的，因此要求學(xué)生要有區(qū)分能力.這也是學(xué)習(xí)概念前提.眾所周知，數(shù)學(xué)研究對象，這是實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系以及空間形式最有效的方式.數(shù)學(xué)概念可以清晰地反映出這個(gè)對象的本質(zhì)和屬性，可以將數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)表示為一種思維形式.數(shù)學(xué)概念具有抽象和具體的雙重性.數(shù)學(xué)概念可以反映出事物數(shù)量關(guān)系以及空間形態(tài)之間的本質(zhì)屬性，它屬于思維形式.極限函數(shù)數(shù)學(xué)概念的使用，可以抽象地將事物內(nèi)在的聯(lián)系表現(xiàn)出來.一般而言，這些抽象的具體事物一般都會離開物質(zhì)內(nèi)容，附于數(shù)學(xué)概念基礎(chǔ)上進(jìn)行多層次的抽象升級.

結(jié)束語

另外，還可以使用四則運(yùn)算方法，不過四則運(yùn)算方法是最為基礎(chǔ)的方法.該方法的使用和結(jié)構(gòu)良性知識比較相近，在實(shí)際使用過程中可以直接求解.總而言之，數(shù)學(xué)函數(shù)極限，地位非常高，在進(jìn)行函數(shù)極限學(xué)習(xí)時(shí)，理當(dāng)基于把握教學(xué)方法基礎(chǔ)上開展教學(xué).

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