對(duì)一節(jié)大賽課《正態(tài)分布》的課后“問(wèn)”課

張龍

【摘要】“學(xué)貴有疑，小疑則小進(jìn)，大疑則大進(jìn).”教學(xué)亦然，課貴有問(wèn)，問(wèn)則思，思則得，得則行.“問(wèn)課”教學(xué)其實(shí)就是教師自己的反思，也就是教師以自己的教學(xué)過(guò)程為思考對(duì)象，對(duì)自己在教學(xué)過(guò)程中所作出的行為及由此所產(chǎn)生的結(jié)果進(jìn)行審視和分析的過(guò)程.在備課時(shí)，我們有必要對(duì)自己認(rèn)真三“問(wèn)”：充分備教材時(shí)，是否弄清了概念的邏輯結(jié)構(gòu)，找準(zhǔn)了概念的生長(zhǎng)點(diǎn)？備學(xué)生時(shí)，是否認(rèn)清了學(xué)生的認(rèn)知“最近發(fā)展區(qū)”，做到精心創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，激發(fā)認(rèn)知沖突，合理搭建腳手架，促進(jìn)概念自然生成？備教法時(shí)，是否做到引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)對(duì)概念多元理解，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)？

【關(guān)鍵詞】正態(tài)分布;問(wèn)課;課后反思

【注】省級(jí)課題《數(shù)學(xué)概念課的問(wèn)與品策略》項(xiàng)目批準(zhǔn)號(hào)：JG13392.

一、問(wèn)題陳述

本節(jié)課是我市第七屆青年教師優(yōu)質(zhì)課大賽的一個(gè)課題，主辦方提前一天給出課題，第二天正式比賽.作為參賽選手，經(jīng)過(guò)緊張而認(rèn)真的備課，激動(dòng)而又生動(dòng)的上課，在師生的共同配合下，筆者順利完成了本節(jié)的教學(xué)任務(wù)，也得到了專家評(píng)委的認(rèn)可，獲得了一等獎(jiǎng).但回顧整個(gè)比賽過(guò)程，筆者發(fā)現(xiàn)，本節(jié)課還有許多值得思考和可以改進(jìn)的地方，尤其是讓備課三“問(wèn)”應(yīng)落到實(shí)處.“三問(wèn)”即問(wèn)自己：充分備教材時(shí)，是否弄清了概念的邏輯結(jié)構(gòu)，找準(zhǔn)了概念的生長(zhǎng)點(diǎn)？備學(xué)生時(shí)，是否認(rèn)清了學(xué)生的認(rèn)知“最近發(fā)展區(qū)”，做到精心創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，激發(fā)認(rèn)知沖突，合理搭建腳手架，促進(jìn)概念自然生成？備教法時(shí)，是否做到引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)對(duì)概念多元理解，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)？問(wèn)課是備課的深加工，是提高概念課教學(xué)有效性的重要途徑.本文將結(jié)合課例，就問(wèn)課的過(guò)程與讀者探討如下.

二、教學(xué)過(guò)程簡(jiǎn)錄

（一）情境引入

教師多媒體演示高爾頓板實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考.

問(wèn)題1：在投放小球之前知道小球落在哪個(gè)槽中？

問(wèn)題2：給槽編號(hào)，落在槽中的小球堆積高度反映了什么？

問(wèn)題3：如何用統(tǒng)計(jì)手段研究落在各個(gè)小槽內(nèi)的小球的分布情況？

問(wèn)題4：觀察落入槽球的頻率分布直方圖有何特點(diǎn)？

（二）建立概念多媒體

教師借助多媒體演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)增加或組距不斷縮小時(shí)，頻率分布直方圖的形狀變化.從而引出“鐘形曲線”，給出正態(tài)密度函數(shù)φμ，σ（x）=1σ2πe-（x-μ）2σ2，進(jìn)而通過(guò)下列問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生理解正態(tài)分布含義.

問(wèn)題5：小球很小時(shí)，如何更為具體地刻畫小球的位置呢？（引導(dǎo)認(rèn)識(shí)到小球第1次與高爾頓板底部接觸時(shí)的坐標(biāo) X是一個(gè)隨機(jī)變量）

問(wèn)題6：如何計(jì)算小球落在某個(gè)區(qū)間[a，b]內(nèi)的概率？（引出正態(tài)分布概念）

問(wèn)題7：你能解釋高爾頓板試驗(yàn)中小球觸底坐標(biāo)X為什么服從正態(tài)分布？（引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)正態(tài)分布產(chǎn)生的背景）

（三）探究密度曲線特點(diǎn)

問(wèn)題8：從函數(shù)和概率的角度看，正態(tài)分布曲線有哪些特征呢？（學(xué)生合作探究）

問(wèn)題9：正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ對(duì)正態(tài)曲線的有何影響？（幾何畫板演示，學(xué)生觀察總結(jié)）

問(wèn)題10：你知道正態(tài)分布的意義嗎？（介紹3σ原則，滲透辯證法中“重點(diǎn)論”等價(jià)值觀內(nèi)容）

三、課后反思中“問(wèn)”課

1.充分備教材，要弄清概念的邏輯結(jié)構(gòu)，找準(zhǔn)概念的生長(zhǎng)點(diǎn)

教師在備課時(shí)，應(yīng)充分研究教材，同時(shí)要經(jīng)常常自問(wèn)，概念在數(shù)學(xué)知識(shí)體系中地位如何？上下位概念是什么？與學(xué)生的生活實(shí)際有什么聯(lián)系？在學(xué)生的已有知識(shí)結(jié)構(gòu)中生長(zhǎng)點(diǎn)在哪兒？引導(dǎo)學(xué)生探究概念本質(zhì)的的問(wèn)題主線是什么？要追求的教學(xué)目標(biāo)有哪些？這些問(wèn)題都是我們備課時(shí)已知的“大道理”，但真正弄清每個(gè)問(wèn)題，并不容易.

眾所周知，正態(tài)分布是一個(gè)在數(shù)學(xué)、物理、工程等領(lǐng)域都非常重要的概率分布，它能刻畫很多隨機(jī)現(xiàn)象.由中心極限定理知一個(gè)隨機(jī)變量如果是由眾多的、相互獨(dú)立的、偶然因素共同作用的結(jié)果，那么就可以認(rèn)為它服從或近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布是高中學(xué)習(xí)內(nèi)容中唯一一種連續(xù)型分布，屬于概率論的范疇，但同時(shí)又是統(tǒng)計(jì)學(xué)的基石.

本節(jié)內(nèi)容在人教A版選修2-3教材中，被安排在第二章《隨機(jī)變量及其分布》最后一節(jié)，僅占1課時(shí).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試驗(yàn)）》中對(duì)這一內(nèi)容的要求是：“通過(guò)實(shí)際問(wèn)題，借助直觀，認(rèn)識(shí)正態(tài)曲線的特點(diǎn)和曲線所表示的意義.”本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生學(xué)習(xí)了離散型隨機(jī)變量及其分布的基礎(chǔ)上進(jìn)行研究的，正態(tài)分布的隨機(jī)變量是一種連續(xù)型隨機(jī)變量，這讓學(xué)生對(duì)隨機(jī)變量由離散到連續(xù)有一個(gè)深入的認(rèn)識(shí)，是對(duì)本章知識(shí)體系的一個(gè)完善，也是必修3統(tǒng)計(jì)和概率知識(shí)的一種拓展;同時(shí)該教學(xué)內(nèi)容體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法，以及統(tǒng)計(jì)思維與確定性思維的差異.正態(tài)分布的研究、高爾頓試驗(yàn)、棣莫弗和高斯等數(shù)學(xué)家的工作成就，有著豐富的人文內(nèi)蘊(yùn)，是滲透情感態(tài)度和價(jià)值觀的重要載體.

2.備學(xué)生時(shí)，要認(rèn)清學(xué)生的認(rèn)知“最近發(fā)展區(qū)”，合理搭建腳手架，促進(jìn)概念自然生成

正態(tài)分布密度曲線及密度函數(shù)的推導(dǎo)十分困難，一般教科書都采用直接給出，這使得很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)學(xué)生不十分理解正態(tài)分布的實(shí)際含義，故本課從學(xué)生熟悉的高爾頓試驗(yàn)引入，采取了“墊、聯(lián)、變、串、遷、創(chuàng)”概念教學(xué)模式，即：通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生觀察小球落入球槽的分布情況，提出問(wèn)題：“在投放小球之前，你知道小球落入哪個(gè)槽中嗎？”以期學(xué)生注意到試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性;重復(fù)投放n個(gè)小球，引導(dǎo)學(xué)生思考、聯(lián)想球槽中小球堆積的高度與頻率和頻率分布直方圖有關(guān);為了能讓學(xué)生感受到“越來(lái)越像‘鐘形曲線”，我們?cè)诮虒W(xué)中多次演示高爾頓試驗(yàn)，并且要求學(xué)生觀察、對(duì)比，不斷強(qiáng)化“中間高、兩頭低”的特點(diǎn)，最后借助幾何畫板成功地引入了正態(tài)分布密度曲線.在教學(xué)中通過(guò)多媒體演示高爾頓板試驗(yàn)，讓學(xué)生觀察總結(jié)規(guī)律.從對(duì)一次試驗(yàn)結(jié)果感性認(rèn)識(shí)，上升到對(duì)正態(tài)分布密度曲線的理性把握，需要很多的認(rèn)知突破，目的就為了能使學(xué)生感受到概念的自然生成.

嚴(yán)格地講，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，這個(gè)頻率分布直方圖的極限形狀是一個(gè)二項(xiàng)分布的圖形，不是一個(gè)光滑的鐘形曲線.只有高爾頓板中小木板的排數(shù)越多，底部球槽的個(gè)數(shù)越多，分布的形狀就越“像”鐘形曲線，這些解釋的理論依據(jù)是中心極限定理.這些對(duì)學(xué)生無(wú)法解釋清楚，故只能采用以上描述性語(yǔ)言，引導(dǎo)學(xué)生感悟正態(tài)分布密度曲線的來(lái)龍去脈，從而增強(qiáng)對(duì)概念學(xué)習(xí)的興趣.

高爾頓板投球試驗(yàn)中小球落地的坐標(biāo)X是個(gè)什么類型隨機(jī)變量？它為什么服從正態(tài)分布？正態(tài)分布為何定義為“滿足P（a

教學(xué)設(shè)計(jì)的鋪墊與導(dǎo)入是否符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)？創(chuàng)設(shè)的情境是否能造成學(xué)生的認(rèn)知沖突，能否激發(fā)學(xué)生的探究欲望？新概念與學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)聯(lián)系是否自然順暢？如何為學(xué)生合理搭建腳手架，讓學(xué)生跨越認(rèn)知障礙，更好地理解概念？這些是我們備學(xué)生時(shí)應(yīng)該經(jīng)常拷問(wèn)自己的問(wèn)題.

3.備教法，要完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)概念多元理解，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)

本節(jié)課筆者通過(guò)多媒體演示高爾頓板試驗(yàn)，引出正態(tài)分布密度曲線，通過(guò)合理搭設(shè)腳手架，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)了一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布是用P（a

正態(tài)分布是一種非常重要的分布，教材中列舉了許多服從正態(tài)分布隨機(jī)變量的實(shí)例，盡管高中學(xué)生沒(méi)有學(xué)習(xí)中心極限定理，但在教學(xué)中，筆者還是堅(jiān)持引導(dǎo)學(xué)生分析它們?yōu)槭裁炊冀品恼龖B(tài)分布，以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)正態(tài)分布隨機(jī)變量產(chǎn)生背景的印象.讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)的魅力，激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)，是我們教育工作者的責(zé)任.

四、關(guān)于問(wèn)課

宋朝朱熹曾說(shuō)過(guò)：“學(xué)貴有疑，小疑則小進(jìn)，大疑則大進(jìn).”教學(xué)亦然，課貴有問(wèn)，問(wèn)則思，思則得，得則行.“問(wèn)課”教學(xué)其實(shí)就是教師自己的反思，也就是教師以自己的教學(xué)過(guò)程為思考對(duì)象，對(duì)自己在教學(xué)過(guò)程中所作出的行為及由此所產(chǎn)生的結(jié)果進(jìn)行審視和分析的過(guò)程.筆者作為周學(xué)玲省級(jí)課題組成員，得到周老師的不少點(diǎn)撥和啟發(fā)，對(duì)自己的這節(jié)課進(jìn)行了認(rèn)真的反思，深深地自“問(wèn)”，感覺(jué)弄清楚了很多問(wèn)題.其實(shí)問(wèn)課應(yīng)該成為一種習(xí)慣，我們可以問(wèn)自己、問(wèn)學(xué)生、問(wèn)同行對(duì)我們教學(xué)的感受和意見(jiàn)，以便我們能對(duì)自己的教學(xué)深刻反思和深度加工，從而改進(jìn)教學(xué)手段，完善教學(xué)方法，提升教學(xué)水平，從而獲得最佳的課堂教學(xué)效果.