《高等數(shù)學》教學中的幾何直觀

夏揆達

摘 要：《高等數(shù)學》是高職學院開設(shè)的一門重要的公共課，《高等數(shù)學》的內(nèi)容既有比較具體的計算內(nèi)容也有一部分抽象的數(shù)學概念和數(shù)學理論。本文就《高等數(shù)學》教學中應(yīng)用幾何直觀以及培養(yǎng)學生利用幾何直觀解決問題的能力提出一些探討。

關(guān)鍵詞：《高等數(shù)學》;教學;幾何直觀

高等數(shù)學是高職學院開設(shè)的一門重要的公共課，高等數(shù)學的內(nèi)容既有比較具體的計算內(nèi)容也有一部分抽象的數(shù)學概念和數(shù)學理論。教師在講授數(shù)學知識的過程中抽象的、嚴謹?shù)谋硎龇绞酵箤W生難以理解和掌握數(shù)學中的概念、定理等內(nèi)容。教師如何進行教學以幫助學生盡快掌握所學內(nèi)容是值得探討的問題。本文就高等數(shù)學教學中應(yīng)用幾何直觀以及培養(yǎng)學生利用幾何直觀解決問題的能力提出一些探討。

1 借助幾何直觀理解數(shù)學概念和數(shù)學語言

數(shù)學的學習進程實際上是思維活動的過程，是解決問題的進程，在高等數(shù)學教學中，教師往往感到抽象的數(shù)學概念及數(shù)學符號所包含的數(shù)學內(nèi)容是教學中的難點，學生在學習數(shù)學的過程中對抽象的數(shù)學概念難以理解和掌握，為了突破這個教學難點，在教學過程中教師應(yīng)盡可能地利用聯(lián)想類比等數(shù)學思考方法作出所講授的數(shù)學內(nèi)容的幾何圖形，通過圖形的直觀演示，用通俗的語言講解數(shù)學各內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，引出新的數(shù)學概念，學生通過幾何圖形的直觀認知，對引入的新的數(shù)學概念有初步的感性認識，逐步降低學習過程中的難點，高等數(shù)學中許多重要的基本概念都是用數(shù)學語言予以精確描述的。教學中應(yīng)盡可能利用多媒體演示圖形，教師在板書時結(jié)合內(nèi)容作出相應(yīng)的幾何圖形，讓學生借助幾何圖形去思考數(shù)學概念的內(nèi)涵。例如在引入空間曲面方程的概念時，為了使學生對曲面圖形和曲面方程有清晰的認識，教學時，首先展示出幾種常見的曲面模型讓學生觀察，指出曲面有各種不同的形狀，了解曲面的一個重要方面是用代數(shù)的方法，從而引出曲面方程的問題，把一個曲面模型放在空間直角坐標系中，給出這個曲面的代數(shù)方程，指出在坐標系下，曲面上的每一個點的坐標都適合方程，方程的解有無數(shù)個，它的解構(gòu)成坐標的點一定都在曲面上。這樣很容易理解曲面與方程的內(nèi)在聯(lián)系，這種利用幾何圖形的直觀認知，能使學生比較容易理解新的數(shù)學概念和數(shù)學內(nèi)容，利用幾何圖形理解數(shù)學概念和數(shù)學語言。

2 借助幾何直觀講解定理，啟發(fā)思維的敏捷性

幾何直觀圖形能以其生動的形象給人留下深刻的印象，在數(shù)學教學中對于一些重要的定理，盡可能作出幾何解釋，描繪出幾何圖形，借助幾何直觀講解定理，找出定理的證明思路，全面理解定理的含義。例如，證明拉格郎日中值定理其輔助函數(shù)的引入，定積分的積分區(qū)間的可加性原理，空間向量的坐標表示方法，曲邊圖形面積的計算原理，等都要利用幾何圖形。

在高等數(shù)學的教學過程中利用幾何圖形的直觀性容易分析和找出定理的條件和結(jié)論推導出計算公式，能提高學生盡快理解和掌握數(shù)學公式，同時也訓練了幾何作圖的能力，并利用幾何圖形及數(shù)學知識解決具體問題。

例如，在講解空間解析幾何內(nèi)容中的點到直線的距離公式，其公式的推導是教學中的難點，為降低難點，當把直線方程用點向式坐標方程表示時，為使學生容易理解和記住距離公式可作一個平行四邊形的幾何圖形，在距離公式不容易記住時，可由直觀圖形（下圖）幫助記住。點P0到直線L的距離d就是以和為鄰邊的平行四邊形的底邊S上的高，于是d=，這里P1是L上已知的一點，是L的方向向量。要計算點到直線距離，很容易作出上述幾何圖形，進而推出用坐標形式表示的計算距離公式。又如講解求以直線L為軸，半徑為R的直圓柱面方程，可以先啟發(fā)學生思考直圓柱面是怎樣形成的，它可看作為空間有一條固定直線，一個動點到這條固定直線的距離為R，這個動點的軌跡是圓柱面，由點到直線的距離公式推出直圓柱面方程。

由于空間坐標系的建立，把代數(shù)方程的數(shù)學形式與幾何圖形有機地結(jié)合起來，這樣可以把思考代數(shù)的問題轉(zhuǎn)變?yōu)閹缀蔚膯栴}來思考，思維范圍更加廣泛和敏捷。

例如，求以直線L：==為軸，半徑為R的直圓柱面方程，只要把它看成是空間中到直線L的距離為R的動點P（x，y）的軌跡，就可以容易地寫出它的方程：

=R

由于坐標系的建立，把圖形與方程聯(lián)系起來，這就使得從幾何上思考代數(shù)問題具有更加廣泛的意義。

綜上所述，借助幾何直觀，有利于學生深刻理解高等數(shù)學的概念、定理，有利于啟發(fā)學生思維的敏捷性，是培養(yǎng)和提高學生分析問題和解決問題能力的一種有效教學途徑。